Série 2 — les exposants négatifs

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions, douze minutes, chrono lancé. Répondez aux dix avant d'ouvrir un seul corrigé : c'est la seule façon de mesurer votre vitesse réelle.

Cette série ne contient qu'une idée, mais elle revient sous quatre déguisements : un exposant négatif change de côté de la barre de fraction, et rien d'autre. Il ne rend jamais un résultat négatif.

Après les dix, trois questions de plus, hors chrono : un calcul à taper, un vrai ou faux, un texte à trous.

Quand une soustraction d'exposants porte sur un nombre négatif, écrivez la parenthèse. 4−(−3)4 - (-3) mal recopié devient 4−34 - 3, et l'option correspondante vous attend dans la liste. Deux secondes de parenthèse contre une question perdue.

Exercices

Exercice 1

3−2=?3^{-2} = ?

  1. −6-6
  2. −9-9
  3. 16\dfrac{1}{6}
  4. 19\dfrac{1}{9}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 19\dfrac{1}{9}

Corrigé :

3−2=132=19\begin{aligned}3^{-2} &= \dfrac{1}{3^{2}} \\ &= \dfrac{1}{9}\end{aligned}

L'exposant négatif renvoie la puissance au dénominateur.

La bonne réponse : « 19\tfrac{1}{9} ». « −9-9 » — le signe de l'exposant recopié sur le résultat. Une puissance d'un nombre positif est toujours positive, quel que soit l'exposant. « −6-6 » — c'est 3×(−2)3 \times (-2) : l'exposant traité comme un facteur. « 16\tfrac{1}{6} » — la bonne idée de fraction, mais 323^{2} confondu avec 3×23 \times 2.

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Exercice 2

(25)−1=?\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1} = ?

  1. −25-\dfrac{2}{5}
  2. −52-\dfrac{5}{2}
  3. 25\dfrac{2}{5}
  4. 52\dfrac{5}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 52\dfrac{5}{2}

Corrigé :

(ab)−1=ba\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1} = \dfrac{b}{a}

Un exposant −1-1 sur une fraction la renverse : c'est le cas le plus utile de la règle.

(25)−1=52\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1} = \dfrac{5}{2}

La bonne réponse : « 52\tfrac{5}{2} ». « −25-\tfrac{2}{5} » — le signe moins appliqué à la fraction au lieu de la renverser. « 25\tfrac{2}{5} » — la fraction laissée telle quelle, comme si l'exposant −1-1 ne faisait rien. « −52-\tfrac{5}{2} » — le bon renversement, plus un signe moins de trop. Retenez la forme courte : exposant −1-1 sur une fraction, on la retourne.

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Exercice 3

a≠0a \ne 0. a4a−3=?\dfrac{a^{4}}{a^{-3}} = ?

  1. aa
  2. 1a7\dfrac{1}{a^{7}}
  3. a−12a^{-12}
  4. a7a^{7}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D a7a^{7}

Corrigé :

a4a−3=a4−(−3)\dfrac{a^{4}}{a^{-3}} = a^{4 - (-3)}

On écrit la parenthèse avant de calculer.

=a4+3=a7= a^{4+3} = a^{7}

Soustraire un nombre négatif, c'est ajouter.

La bonne réponse : « a7a^{7} ». « aa » — c'est 4−34 - 3 : la parenthèse oubliée, exactement le piège que le conseil de la série annonçait. « a−12a^{-12} » — c'est 4×(−3)4 \times (-3). « 1a7\tfrac{1}{a^{7}} » — le bon exposant mais placé du mauvais côté : le résultat de la soustraction est positif, donc le facteur reste au numérateur.

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Exercice 4

2−3⋅25=?2^{-3} \cdot 2^{5} = ?

  1. 14\dfrac{1}{4}
  2. 256256
  3. 44
  4. −4-4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 44

Corrigé :

2−3⋅25=2−3+5=22\begin{aligned}2^{-3} \cdot 2^{5} &= 2^{-3+5} \\ &= 2^{2}\end{aligned}

Produit de même base : les exposants s'additionnent, négatifs compris.

=4= 4

La bonne réponse : « 44 ». « 14\tfrac{1}{4} » — c'est 2−22^{-2} : l'addition faite dans le mauvais sens, −5+3-5 + 3. « 256256 » — c'est 282^{8} : les deux exposants additionnés en valeur absolue, le signe moins ignoré. « −4-4 » — le signe de l'exposant reporté sur le résultat.

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Exercice 5

Laquelle de ces expressions est la plus grande ?

  1. 2−32^{-3}
  2. 2−22^{-2}
  3. 2−42^{-4}
  4. 2−12^{-1}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 2−12^{-1}

Corrigé :

2−1=122−4=116\begin{aligned}2^{-1} &= \tfrac{1}{2} \\ \quad 2^{-4} &= \tfrac{1}{16}\end{aligned}

Plus l'exposant négatif est grand en valeur absolue, plus le dénominateur grossit.

12>14>18>116\tfrac{1}{2} > \tfrac{1}{4} > \tfrac{1}{8} > \tfrac{1}{16}

Donc plus la valeur est petite.

La bonne réponse : « 2−12^{-1} ». Les trois autres sont plus petites, et l'erreur qui les fait choisir est toujours la même : lire −4-4 comme « le plus négatif, donc le plus grand en valeur ». C'est l'inverse — le dénominateur grossit, la fraction rétrécit. Sur une échelle de puissances, plus l'exposant descend, plus la valeur descend, sans rupture au passage de zéro.

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Exercice 6

x≠0x \ne 0. Laquelle de ces égalités est vraie ?

  1. 1x−5=1x5\dfrac{1}{x^{-5}} = \dfrac{1}{x^{5}}
  2. 1x−5=x5\dfrac{1}{x^{-5}} = x^{5}
  3. 1x−5=x−5\dfrac{1}{x^{-5}} = x^{-5}
  4. 1x−5=−x5\dfrac{1}{x^{-5}} = -x^{5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 1x−5=x5\dfrac{1}{x^{-5}} = x^{5}

Corrigé :

x−5=1x5x^{-5} = \dfrac{1}{x^{5}}

On remplace d'abord le dénominateur.

1  1/x5  =x5\dfrac{1}{\;1/x^{5}\;} = x^{5}

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.

La bonne réponse : « 1x−5=x5\tfrac{1}{x^{-5}} = x^{5} ». « −x5-x^{5} » — le signe de l'exposant transformé en signe du résultat. « x−5x^{-5} » — l'exposant recopié sans traiter la barre. « 1x5\tfrac{1}{x^{5}} » — le signe moins simplement effacé, alors qu'il devait faire remonter le facteur. Formule à retenir : un facteur qui traverse la barre change le signe de son exposant, dans les deux sens.

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Exercice 7

(5−2)−3=?\big(5^{-2}\big)^{-3} = ?

  1. 555^{5}
  2. 5−55^{-5}
  3. 565^{6}
  4. 5−65^{-6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 565^{6}

Corrigé :

(5−2)−3=5(−2)×(−3)\big(5^{-2}\big)^{-3} = 5^{(-2) \times (-3)}

Puissance de puissance : on multiplie, signes compris.

=56= 5^{6}

Deux négatifs font un positif.

La bonne réponse : « 565^{6} ». « 5−65^{-6} » — le bon produit 2×32 \times 3, mais un seul des deux signes pris en compte. « 5−55^{-5} » — c'est −2+(−3)-2 + (-3) : la règle du produit au lieu de celle de la puissance de puissance. « 555^{5} » — la même addition, avec le signe perdu en route.

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Exercice 8

c−4c−9=?\dfrac{c^{-4}}{c^{-9}} = ? (c≠0c \ne 0)

  1. c−5c^{-5}
  2. c−13c^{-13}
  3. c36c^{36}
  4. c5c^{5}
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Réponse : D c5c^{5}

Corrigé :

c−4c−9=c−4−(−9)\dfrac{c^{-4}}{c^{-9}} = c^{-4 - (-9)}

La parenthèse d'abord, toujours.

=c−4+9=c5= c^{-4+9} = c^{5}

La bonne réponse : « c5c^{5} ». « c−5c^{-5} » — la soustraction faite dans le mauvais sens, −9+4-9 + 4 : c'est le bas moins le haut. « c−13c^{-13} » — les deux exposants additionnés. « c36c^{36} » — leur produit. Le contrôle de bon sens : le numérateur porte l'exposant le plus grand des deux (−4>−9-4 > -9), donc le résultat doit être une puissance positive.

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Exercice 9

4−1+40=?4^{-1} + 4^{0} = ?

  1. 44
  2. −1-1
  3. 1,251{,}25
  4. 0,250{,}25
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Réponse : C 1,251{,}25

Corrigé :

4−1=14=0,25\begin{aligned}4^{-1} &= \tfrac{1}{4} \\ &= 0{,}25\end{aligned}

Exposant −1-1 : l'inverse du nombre.

40=14^{0} = 1

Exposant nul : toujours 11.

0,25+1=1,250{,}25 + 1 = 1{,}25

La bonne réponse : « 1,251{,}25 ». « 0,250{,}25 » — 404^{0} pris pour 00, l'erreur la plus répandue sur l'exposant nul. « −1-1 » — c'est −1+0-1 + 0 : les deux exposants additionnés au lieu des deux valeurs. « 44 » — c'est 41+04^{1} + 0 : le signe de l'exposant perdu, et la même erreur sur 404^{0} que dans l'option précédente.

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Exercice 10

kk est un entier positif. Laquelle de ces expressions est nécessairement plus petite que 11 ?

  1. 3k3^{k}
  2. 3−k3^{-k}
  3. k−3k^{-3}
  4. (−3)k(-3)^{k}
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Réponse : B 3−k3^{-k}

Corrigé :

3−k=13k3^{-k} = \dfrac{1}{3^{k}}

Un sur une puissance de 33, avec k≥1k \ge 1.

3k≥3 ⇒ 13k≤13<13^{k} \ge 3 \ \Rightarrow\ \dfrac{1}{3^{k}} \le \tfrac{1}{3} < 1

Le dénominateur vaut au moins 33, donc la fraction est au plus un tiers.

La bonne réponse : « 3−k3^{-k} ». « (−3)k(-3)^{k} » — négative pour kk impair, mais elle vaut 99 pour k=2k = 2 : le mot nécessairement la disqualifie. « 3k3^{k} » — vaut au moins 33. « k−3k^{-3} » — vaut 18\tfrac{1}{8} pour k=2k = 2, mais exactement 11 pour k=1k = 1 : une seule valeur suffit à la faire tomber. Sur une question en « nécessairement », la méthode est toujours celle-ci : chercher une valeur qui casse chaque option.

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Exercice 11

Combien vaut 15−2\dfrac{1}{5^{-2}} ?

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Réponse : 25

Corrigé :

15−2=52\dfrac{1}{5^{-2}} = 5^{2}

Le facteur traverse la barre : son exposant change de signe.

52=255^{2} = 25

25. Le piège est 125\tfrac{1}{25} : l'exposant négatif lu, mais la barre oubliée.

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Exercice 12

(13)−2=9\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = 9.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

(13)−2=32\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} = 3^{2}

L'exposant −1-1 retourne la fraction.

32=93^{2} = 9

Vrai. Un exposant négatif sur une fraction la retourne, puis on élève au carré.

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Exercice 13

Complétez.

2−4=1x2^{-4} = \dfrac{1}{x} avec x=x = ____, et 3−3=1y3^{-3} = \dfrac{1}{y} avec y=y = ____.

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Réponse : 2−4=1x2^{-4} = \dfrac{1}{x} avec x=x = 16, et 3−3=1y3^{-3} = \dfrac{1}{y} avec y=y = 27.

Corrigé :

2−4=124=116\begin{aligned}2^{-4} &= \dfrac{1}{2^{4}} \\ &= \dfrac{1}{16}\end{aligned}
3−3=133=127\begin{aligned}3^{-3} &= \dfrac{1}{3^{3}} \\ &= \dfrac{1}{27}\end{aligned}

16 et 27. Le piège est −8-8 ou −9-9 : un exposant négatif ne rend pas négatif.

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