Série 3 — tout ramener à la même base

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Dix questions, douze minutes. Comme toujours : les dix réponses d'abord, les corrigés ensuite, et on note le score sur dix.

Toutes ces questions ont la même clé. Les bases écrites dans l'énoncé sont différentes, mais elles sont toutes des puissances d'un même petit nombre : 22, 33 ou 55. Trouvez-le, réécrivez, et la question s'effondre.

Après les dix, trois questions de plus, hors chrono : un calcul à taper, un vrai ou faux, un texte à trous.

La table à connaître de tête tient en trois lignes : 4=224 = 2^{2}, 8=238 = 2^{3}, 16=2416 = 2^{4}, 32=2532 = 2^{5}, 64=2664 = 2^{6} ; 9=329 = 3^{2}, 27=3327 = 3^{3}, 81=3481 = 3^{4} ; 25=5225 = 5^{2}, 125=53125 = 5^{3}. Sans elle, cette famille de questions coûte deux minutes chacune ; avec elle, trente secondes.

Exercices

Exercice 1

84=?8^{4} = ?

  1. 484^{8}
  2. 272^{7}
  3. 2322^{32}
  4. 2122^{12}
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Réponse : D 2122^{12}

Corrigé :

8=238 = 2^{3}

On réécrit la base sur 22.

(23)4=212\big(2^{3}\big)^{4} = 2^{12}

Puissance de puissance : les exposants se multiplient.

La bonne réponse : « 2122^{12} ». « 272^{7} » — c'est 3+43 + 4 : les exposants additionnés. « 2322^{32} » — c'est 8×48 \times 4 : la base 88 prise pour un exposant. « 484^{8} » — les deux nombres échangés de place. Le contrôle rapide : 848^{4} vaut 4 0964\,096, et 2122^{12} aussi.

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Exercice 2

27394=?\dfrac{27^{3}}{9^{4}} = ?

  1. 3−13^{-1}
  2. 353^{5}
  3. 99
  4. 33
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 33

Corrigé :

273=(33)3=39\begin{aligned}27^{3} &= \big(3^{3}\big)^{3} \\ &= 3^{9}\end{aligned}

Le numérateur sur la base 33.

94=(32)4=38\begin{aligned}9^{4} &= \big(3^{2}\big)^{4} \\ &= 3^{8}\end{aligned}

Le dénominateur aussi.

39−8=31=3\begin{aligned}3^{9-8} &= 3^{1} \\ &= 3\end{aligned}

La bonne réponse : « 33 ». « 99 » — c'est 323^{2} : une des deux réécritures faite avec un exposant de trop. « 3−13^{-1} » — la soustraction inversée, 8−98 - 9. « 353^{5} » — c'est 39−43^{9-4} : le numérateur réécrit en 393^{9}, mais le dénominateur laissé en 949^{4} et son exposant soustrait tel quel. La discipline qui évite tout : réécrire les deux nombres entièrement avant de soustraire quoi que ce soit.

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Exercice 3

2x=322^{x} = 32. Combien vaut xx ?

  1. 1616
  2. 55
  3. 66
  4. 44
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 55

Corrigé :

32=2532 = 2^{5}

On écrit le membre de droite sur la même base que celui de gauche.

2x=25⇒x=5\begin{aligned}2^{x} &= 2^{5} \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}

Bases égales, donc exposants égaux.

La bonne réponse : « 55 ». « 1616 » — c'est 32:232 : 2 : l'équation traitée comme une multiplication. « 44 » — c'est l'exposant de 1616, un cran trop bas. « 66 » — celui de 6464, un cran trop haut. Ces deux-là punissent une table de puissances de 22 apprise à peu près.

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Exercice 4

43⋅25=?4^{3} \cdot 2^{5} = ?

  1. 2112^{11}
  2. 282^{8}
  3. 2152^{15}
  4. 888^{8}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2112^{11}

Corrigé :

43=(22)3=26\begin{aligned}4^{3} &= \big(2^{2}\big)^{3} \\ &= 2^{6}\end{aligned}

Le premier facteur sur la base 22.

26⋅25=2112^{6} \cdot 2^{5} = 2^{11}

Puis le produit : les exposants s'additionnent.

La bonne réponse : « 2112^{11} ». « 282^{8} » — c'est 3+53 + 5 : la réécriture de 434^{3} oubliée, l'exposant 33 pris tel quel. « 888^{8} » — les bases multipliées et les exposants additionnés : les deux règles appliquées en même temps. « 2152^{15} » — c'est 3×53 \times 5.

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Exercice 5

52n=?5^{2n} = ?

  1. 10n10^{n}
  2. 25n25^{n}
  3. 2⋅5n2 \cdot 5^{n}
  4. 5n+5n5^{n} + 5^{n}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 25n25^{n}

Corrigé :

52n=(52)n5^{2n} = \big(5^{2}\big)^{n}

On coupe l'exposant en produit : 2n=2×n2n = 2 \times n.

=25n= 25^{n}

La bonne réponse : « 25n25^{n} ». « 10n10^{n} » — c'est 5×25 \times 2 : le coefficient 22 de l'exposant multiplié dans la base. « 5n+5n5^{n} + 5^{n} » vaut 2⋅5n2 \cdot 5^{n}, pas 52n5^{2n} : doubler n'est pas élever au carré. « 2⋅5n2 \cdot 5^{n} » — la même confusion, écrite directement. Contrôle avec n=1n = 1 : l'expression vaut 2525, et « 25n25^{n} » est la seule à le donner.

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Exercice 6

3x+1=813^{x+1} = 81. Combien vaut xx ?

  1. 33
  2. 44
  3. 55
  4. 2727
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 33

Corrigé :

81=3481 = 3^{4}

Même base des deux côtés.

x+1=4⇒x=3\begin{aligned}x + 1 &= 4 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

On égale les exposants, puis on résout l'équation qui reste.

La bonne réponse : « 33 ». « 44 » — l'exposant trouvé, mais l'équation x+1=4x + 1 = 4 jamais résolue : c'est l'erreur de dernière ligne, et elle est très fréquente sur cette forme. « 2727 » — c'est 81:381 : 3. « 55 » — l'équation résolue dans le mauvais sens, x=4+1x = 4 + 1.

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Exercice 7

16282=?\dfrac{16^{2}}{8^{2}} = ?

  1. 44
  2. 22n2^{2n}
  3. 22
  4. 88
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 44

Corrigé :

16282=(168)2\dfrac{16^{2}}{8^{2}} = \left(\dfrac{16}{8}\right)^{2}

Les exposants sont égaux : les bases se divisent. Aucune réécriture n'est même nécessaire.

=22=4= 2^{2} = 4

La bonne réponse : « 44 ». « 22 » — le rapport des bases pris pour la réponse, l'exposant 22 oublié. « 88 » — c'est 16−816 - 8 : les bases soustraites au lieu d'être divisées, et l'exposant laissé de côté. « 22n2^{2n} » — une lettre nn qui n'apparaît nulle part dans l'énoncé : c'est le distracteur qui teste si vous relisez la question.

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Exercice 8

Laquelle de ces expressions est égale à 2102^{10} ?

  1. 4104^{10}
  2. 32232^{2}
  3. 838^{3}
  4. 10210^{2}
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Réponse : B 32232^{2}

Corrigé :

32=2532 = 2^{5}
322=(25)2=210\begin{aligned}32^{2} &= \big(2^{5}\big)^{2} \\ &= 2^{10}\end{aligned}

Les exposants se multiplient : 5×2=105 \times 2 = 10.

La bonne réponse : « 32232^{2} ». « 4104^{10} » vaut 2202^{20} : la base élevée sans que l'exposant soit ajusté. « 10210^{2} » — les deux chiffres du symbole 2102^{10} recopiés en désordre ; l'expression vaut 100100, contre 1 0241\,024. « 838^{3} » vaut 292^{9}, à un cran près — et c'est celle qui piège les élèves rapides.

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Exercice 9

9n⋅3n=?9^{n} \cdot 3^{n} = ?

  1. 12n12^{n}
  2. 33n3^{3n}
  3. 27n227^{n^{2}}
  4. 32n3^{2n}
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Réponse : B 33n3^{3n}

Corrigé :

9n=(32)n=32n\begin{aligned}9^{n} &= \big(3^{2}\big)^{n} \\ &= 3^{2n}\end{aligned}

Le premier facteur sur la base 33.

32n⋅3n=33n3^{2n} \cdot 3^{n} = 3^{3n}

Produit de même base : 2n+n=3n2n + n = 3n.

La bonne réponse : « 33n3^{3n} ». « 27n227^{n^{2}} » — les exposants multipliés au lieu d'être additionnés, et les bases multipliées : deux erreurs empilées. « 32n3^{2n} » — c'est seulement 9n9^{n} : le second facteur oublié. « 12n12^{n} » — c'est 9+39 + 3 : les bases additionnées. Notez que 27n27^{n} serait aussi correct — c'est la même valeur écrite autrement — mais cette écriture-là n'est pas proposée.

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Exercice 10

2k⋅8=292^{k} \cdot 8 = 2^{9}. Combien vaut kk ?

  1. 88
  2. 33
  3. 66
  4. 1212
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Réponse : C 66

Corrigé :

8=238 = 2^{3}

Le facteur isolé se réécrit lui aussi.

2k⋅23=2k+32^{k} \cdot 2^{3} = 2^{k+3}
k+3=9⇒k=6\begin{aligned}k + 3 &= 9 \Rightarrow k \\ &= 6\end{aligned}

Bases égales, exposants égaux.

La bonne réponse : « 66 ». « 33 » — l'exposant de 88 recopié comme réponse. « 1212 » — c'est 9+39 + 3 : l'équation résolue dans le mauvais sens. « 88 » — le nombre 88 de l'énoncé pris pour la réponse, sans aucun calcul. Contrôle : 26×8=64×8=5122^{6} \times 8 = 64 \times 8 = 512, et 29=5122^{9} = 512.

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Exercice 11

93⋅2735=3n\dfrac{9^{3} \cdot 27}{3^{5}} = 3^{n}. Combien vaut nn ?

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Réponse : 4

Corrigé :

93=3627=33\begin{aligned}9^{3} &= 3^{6} \\ \quad 27 &= 3^{3}\end{aligned}

Tout sur la base 33.

36+3−5=343^{6 + 3 - 5} = 3^{4}

4. Le piège est d'oublier que 2727 est lui-même une puissance de 33 : il compte pour 333^{3}.

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Exercice 12

45=274^{5} = 2^{7}.

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Réponse : Faux

Corrigé :

45=(22)5=210\begin{aligned}4^{5} &= (2^{2})^{5} \\ &= 2^{10}\end{aligned}

Puissance de puissance : on multiplie.

Faux. 2+5=72 + 5 = 7 est le piège : les exposants se multiplient, 45=2104^{5} = 2^{10}.

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Exercice 13

Complétez.

16=2a16 = 2^{a} avec a=a = ____, et 64=4b64 = 4^{b} avec b=b = ____.

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Réponse : 16=2a16 = 2^{a} avec a=a = 4, et 64=4b64 = 4^{b} avec b=b = 3.

Corrigé :

24=162^{4} = 16
43=644^{3} = 64

4 et 3. Savoir par cœur les petites puissances de 22, 33 et 55 fait gagner chaque réécriture.

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