Série 4 — parenthèses et puissance de puissance · Puissances · Psychométriques

Dix questions, douze minutes. Réponses d'abord, corrigés ensuite.

Une seule question à se poser avant chaque calcul : sur quoi porte l'exposant ? Sur la lettre seule, sur le coefficient aussi, sur le signe moins ? La parenthèse — présente ou absente — donne toujours la réponse, et l'examen joue là-dessus sans arrêt.

Après les dix, trois questions de plus, hors chrono : un calcul à taper, un vrai ou faux, un texte à trous.

En cas de doute, remplacez la lettre par $2$ et calculez les deux versions. $-x^{2}$ et $(-x)^{2}$ deviennent $-4$ et $4$ : la différence saute aux yeux en trois secondes, et vous n'aurez plus à vous fier à votre mémoire.

Exercices

Exercice 1

Combien vaut $-4^{2} + (-4)^{2}$ ?

$16$
$32$
$-32$
$0$

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Réponse : D $0$

Corrigé :

\begin{aligned}-4^{2} &= -(4^{2}) \\ &= -16\end{aligned}

Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le $4$ .

(-4)^{2} = 16

Avec parenthèses, il porte sur le signe aussi.

-16 + 16 = 0

La bonne réponse : « $0$ ». « $32$ » — les deux termes lus comme $(-4)^{2}$ : la parenthèse ajoutée là où elle n'est pas. « $-32$ » — les deux lus comme $-4^{2}$ : la parenthèse ignorée là où elle est. « $16$ » — un seul des deux termes calculé. Cette question résume à elle seule toute la série.

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Exercice 2

$\big(3 x^{4}\big)^{3} = ?$

$27 x^{12}$
$3 x^{12}$
$9 x^{12}$
$27 x^{7}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $27 x^{12}$

Corrigé :

\big(3 x^{4}\big)^{3} = 3^{3} \cdot \big(x^{4}\big)^{3}

L'exposant porte sur chaque facteur de la parenthèse.

= 27 x^{12}

La bonne réponse : « $27 x^{12}$ ». « $9 x^{12}$ » — le coefficient $3$ élevé au carré au lieu du cube. « $27 x^{7}$ » — l'exposant de $x$ additionné ( $4 + 3$ ) au lieu d'être multiplié. « $3 x^{12}$ » — le coefficient laissé intact : l'oubli le plus fréquent de cette forme, parce que l'œil ne voit que la lettre.

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Exercice 3

$\left(\dfrac{a^{3}}{b}\right)^{2} = ?$ ( $b \ne 0$ )

$\dfrac{a^{6}}{b}$
$\dfrac{a^{9}}{b^{2}}$
$\dfrac{a^{5}}{b^{2}}$
$\dfrac{a^{6}}{b^{2}}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{a^{6}}{b^{2}}$

Corrigé :

\left(\dfrac{a^{3}}{b}\right)^{2} = \dfrac{\big(a^{3}\big)^{2}}{b^{2}}

L'exposant descend sur le numérateur et sur le dénominateur.

= \dfrac{a^{6}}{b^{2}}

La bonne réponse : « $\tfrac{a^{6}}{b^{2}}$ ». « $\tfrac{a^{6}}{b}$ » — le dénominateur oublié : c'est l'erreur que cette question cherche. « $\tfrac{a^{5}}{b^{2}}$ » — l'exposant de $a$ additionné. « $\tfrac{a^{9}}{b^{2}}$ » — c'est $3^{2}$ : l'exposant extérieur élevé au carré au lieu de multiplier.

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Exercice 4

$\big(x^{2}\big)^{3} \cdot x = ?$

$x^{6}$
$x^{9}$
$x^{7}$
$x^{5}$

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Réponse : C $x^{7}$

Corrigé :

\big(x^{2}\big)^{3} = x^{6}

D'abord la parenthèse : on multiplie.

x^{6} \cdot x^{1} = x^{7}

Puis le produit : on additionne. Le $x$ isolé porte l'exposant $1$ .

La bonne réponse : « $x^{7}$ ». « $x^{6}$ » — le facteur $x$ oublié, comme s'il ne comptait pas. « $x^{5}$ » — c'est $2 + 3$ : la parenthèse traitée comme un produit. « $x^{9}$ » — c'est $2 \times 3 + 3$ , ou $3^{2}$ : deux façons d'appliquer la multiplication une fois de trop.

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Exercice 5

$(2 + 3)^{2} = ?$

$36$
$10$
$13$
$25$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $25$

Corrigé :

\begin{aligned}(2 + 3)^{2} &= 5^{2} \\ &= 25\end{aligned}

La parenthèse se calcule avant l'exposant.

La bonne réponse : « $25$ ». « $13$ » — c'est $2^{2} + 3^{2}$ : l'exposant distribué sur la somme, l'erreur la plus coûteuse de tout le chapitre. Le développement correct donne $4 + 12 + 9 = 25$ ; c'est le double produit $2 \times 2 \times 3 = 12$ qui manque. « $10$ » — c'est $5 \times 2$ . « $36$ » — c'est $6^{2}$ : la somme mal calculée.

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Exercice 6

$y \ne 0$ . $\big(y^{-2}\big)^{4} = ?$

$\dfrac{1}{y^{8}}$
$\dfrac{1}{y^{2}}$
$y^{8}$
$-y^{8}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{1}{y^{8}}$

Corrigé :

\big(y^{-2}\big)^{4} = y^{-8}

Les exposants se multiplient, signe compris.

y^{-8} = \dfrac{1}{y^{8}}

La bonne réponse : « $\tfrac{1}{y^{8}}$ ». « $y^{8}$ » — le signe négatif perdu dans la multiplication. « $\tfrac{1}{y^{2}}$ » — l'exposant extérieur $4$ jamais appliqué. « $-y^{8}$ » — le signe de l'exposant transformé en signe du résultat, encore une fois.

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Exercice 7

$m$ est un entier. $\big(2^{m}\big)^{2} \cdot 2 = ?$

$4^{m+1}$
$2^{2m}$
$2^{2m+1}$
$2^{m^{2}+1}$

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Réponse : C $2^{2m+1}$

Corrigé :

\big(2^{m}\big)^{2} = 2^{2m}

La parenthèse : on multiplie l'exposant par $2$ .

2^{2m} \cdot 2^{1} = 2^{2m+1}

Le produit : on ajoute $1$ .

La bonne réponse : « $2^{2m+1}$ ». « $2^{m^{2}+1}$ » — l'exposant $m$ élevé au carré au lieu d'être multiplié par $2$ . « $2^{2m}$ » — le facteur $2$ isolé oublié. « $4^{m+1}$ » vaut $2^{2m+2}$ : la réécriture en base $4$ est correcte pour la première partie, mais le $+1$ de l'exposant y compte double.

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Exercice 8

Laquelle de ces égalités est vraie pour tout $a$ et tout $b$ ?

$\big(a^{2}\big)^{3} = a^{5}$
$(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$
$(ab)^{3} = a^{3} b^{3}$
$(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(ab)^{3} = a^{3} b^{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}(ab)^{3} &= ab \cdot ab \cdot ab \\ &= a^{3} b^{3}\end{aligned}

Sur un produit, l'exposant se distribue sans réserve.

La bonne réponse : « $(ab)^{3} = a^{3} b^{3}$ ». « $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3}$ » — faux : avec $a = b = 1$ , la gauche vaut $8$ et la droite $2$ . « $(a-b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ » — faux aussi : la vraie identité est $a^{2} - 2ab + b^{2}$ , et $a^{2} - b^{2}$ est le développement de $(a+b)(a-b)$ . « $(a^{2})^{3} = a^{5}$ » — les exposants additionnés au lieu d'être multipliés. La ligne à retenir : produit oui, somme non.

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Exercice 9

$\big(-2 t^{3}\big)^{2} = ?$

$-4 t^{6}$
$-2 t^{6}$
$4 t^{6}$
$4 t^{5}$

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Réponse : C $4 t^{6}$

Corrigé :

\big(-2 t^{3}\big)^{2} = (-2)^{2} \cdot \big(t^{3}\big)^{2}

L'exposant porte sur le signe, sur le coefficient et sur la lettre.

= 4 t^{6}

Un exposant pair rend le signe positif.

La bonne réponse : « $4 t^{6}$ ». « $-4 t^{6}$ » — le signe moins gardé alors que l'exposant est pair. « $4 t^{5}$ » — l'exposant de $t$ additionné. « $-2 t^{6}$ » — le coefficient jamais élevé, et son signe conservé : deux oublis d'un coup.

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Exercice 10

$\dfrac{\big(x^{3}\big)^{4}}{\big(x^{2}\big)^{5}} = ?$ ( $x \ne 0$ )

$x^{2}$
$x^{22}$
$x^{5}$
$x^{-2}$

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Réponse : A $x^{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}\big(x^{3}\big)^{4} &= x^{12} \\ \quad \big(x^{2}\big)^{5} &= x^{10}\end{aligned}

Les deux parenthèses d'abord.

x^{12-10} = x^{2}

Puis le quotient.

La bonne réponse : « $x^{2}$ ». « $x^{-2}$ » — la soustraction inversée, $10 - 12$ . « $x^{22}$ » — c'est $12 + 10$ : le quotient traité comme un produit. « $x^{5}$ » — c'est $12 - 7$ : le numérateur bien calculé, mais le dénominateur $\big(x^{2}\big)^{5}$ lu $x^{2+5}$ . L'ordre compte : parenthèses d'abord, quotient ensuite.

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Exercice 11

Combien vaut $-2^{4} + (-2)^{3}$ ?

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Réponse : -24

Corrigé :

-2^{4} = -16

Sans parenthèses : l'opposé de $2^{4}$ .

(-2)^{3} = -8

Exposant impair : négatif.

-16 + (-8) = -24

−24. Le piège est $16 - 8 = 8$ : lire $-2^{4}$ comme $(-2)^{4}$ .

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Exercice 12

Pour tous nombres $a$ et $b$ : $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}(1 + 2)^{2} &= 9 \ne 1 + 4 \\ &= 5\end{aligned}

Une valeur d'essai suffit.

Faux. L'exposant se distribue sur un produit, jamais sur une somme.

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Exercice 13

Complétez.

$\big(2x^{3}\big)^{4} = A \, x^{B}$ avec $A =$ ____ et $B =$ ____.

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Réponse : $\big(2x^{3}\big)^{4} = A \, x^{B}$ avec $A =$ 16 et $B =$ 12.

Corrigé :

2^{4} = 16

L'exposant touche le $2$ aussi.

(x^{3})^{4} = x^{12}

Puissance de puissance.

16 et 12. Le piège est $A = 2$ ou $A = 8$ : le facteur numérique est lui aussi élevé à la puissance $4$ .

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Exercices

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