Série 5 — les sommes de puissances

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions, douze minutes. C'est la dernière des cinq séries sur les règles nues : si celle-ci passe à huit ou plus, elles sont acquises.

Aucune des quatre règles du formulaire ne parle d'une addition. Devant un ++ entre deux puissances, un seul geste existe : mettre la plus petite en facteur. Ce qui reste entre parenthèses est presque toujours un petit nombre entier.

Après les dix, trois questions de plus, hors chrono : un calcul à taper, un vrai ou faux, un texte à trous.

La forme canonique à reconnaître : 2n+1+2n=2n(2+1)=3⋅2n2^{n+1} + 2^{n} = 2^{n}(2 + 1) = 3 \cdot 2^{n}. Le facteur qui sort est l'exposant le plus petit, et il sort toujours. Une fois ce réflexe installé, cette famille entière devient mécanique.

Exercices

Exercice 1

35+35+35=?3^{5} + 3^{5} + 3^{5} = ?

  1. 363^{6}
  2. 3153^{15}
  3. 383^{8}
  4. 959^{5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 363^{6}

Corrigé :

35+35+35=3×353^{5} + 3^{5} + 3^{5} = 3 \times 3^{5}

Trois fois le même terme.

31⋅35=363^{1} \cdot 3^{5} = 3^{6}

Et le facteur 33 est 313^{1} : les exposants s'additionnent.

La bonne réponse : « 363^{6} ». « 3153^{15} » — c'est 5×35 \times 3. « 959^{5} » — le facteur 33 entré dans la base. Or 95=3109^{5} = 3^{10} : c'est 353^{5} multiplié par lui-même, pas ajouté trois fois. « 383^{8} » — c'est 5+35 + 3 : les deux nombres visibles additionnés au hasard. Retenez : le nombre de termes identiques devient un facteur, pas un exposant.

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Exercice 2

28−27=?2^{8} - 2^{7} = ?

  1. 22
  2. 272^{7}
  3. 212^{1}
  4. 00
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 272^{7}

Corrigé :

28−27=27(2−1)2^{8} - 2^{7} = 2^{7}(2 - 1)

On met en facteur la plus petite des deux puissances.

=27×1=27= 2^{7} \times 1 = 2^{7}

Il reste exactement la puissance factorisée.

La bonne réponse : « 272^{7} ». « 22 » et « 212^{1} » — la même erreur écrite deux fois : les exposants soustraits (8−78 - 7), comme si la différence obéissait à la règle du quotient. « 00 » — les deux termes pris pour égaux. Le résultat surprend, et c'est pour cela que la question tombe : une puissance moins la précédente vaut la précédente.

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Exercice 3

nn est un entier positif. 5n+5n+5n+5n+5n=?5^{n} + 5^{n} + 5^{n} + 5^{n} + 5^{n} = ?

  1. 25n25^{n}
  2. 5n+15^{n+1}
  3. 5n+55^{n+5}
  4. 55n5^{5n}
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Réponse : B 5n+15^{n+1}

Corrigé :

5×5n5 \times 5^{n}

Cinq termes identiques : le nombre de termes devient un facteur.

51⋅5n=5n+15^{1} \cdot 5^{n} = 5^{n+1}

Et ce facteur est justement la base : l'exposant monte de 11.

La bonne réponse : « 5n+15^{n+1} ». « 55n5^{5n} » — le nombre de termes multiplié dans l'exposant. « 25n25^{n} » — le facteur 55 multiplié dans la base. « 5n+55^{n+5} » — le nombre de termes ajouté à l'exposant : il faudrait 555^{5} termes pour cela. Contrôle avec n=2n = 2 : l'expression vaut 125125, et « 5n+15^{n+1} » est la seule à le donner. Ne pas prendre n=1n = 1 : 5n+15^{n+1} et 25n25^{n} valent tous deux 2525, et l'essai ne trancherait pas.

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Exercice 4

46+4645=?\dfrac{4^{6} + 4^{6}}{4^{5}} = ?

  1. 1616
  2. 44
  3. 22
  4. 88
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 88

Corrigé :

46+46=2×464^{6} + 4^{6} = 2 \times 4^{6}

Le numérateur d'abord : deux termes identiques.

2⋅4645=2⋅46−5=2×4\begin{aligned}\dfrac{2 \cdot 4^{6}}{4^{5}} &= 2 \cdot 4^{6-5} \\ &= 2 \times 4\end{aligned}

Le facteur 22 reste devant, le quotient se règle sur la base 44.

=8= 8

La bonne réponse : « 88 ». « 44 » — le facteur 22 du numérateur oublié : c'est l'erreur centrale de la question. « 22 » — l'inverse : le quotient oublié, seul le facteur gardé. « 1616 » — c'est 47:454^{7} : 4^{5} : la somme 46+464^{6} + 4^{6} prise pour 474^{7}, comme si doubler revenait à multiplier par 44.

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Exercice 5

210+210=?2^{10} + 2^{10} = ?

  1. 4104^{10}
  2. 2112^{11}
  3. 4204^{20}
  4. 2202^{20}
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Réponse : B 2112^{11}

Corrigé :

210+210=2×210=211\begin{aligned}2^{10} + 2^{10} &= 2 \times 2^{10} \\ &= 2^{11}\end{aligned}

Doubler une puissance de 22 fait monter son exposant de 11, jamais davantage.

La bonne réponse : « 2112^{11} ». « 2202^{20} » — les exposants additionnés, comme s'il s'agissait d'un produit. « 4104^{10} » vaut 2202^{20} : la même erreur écrite sur une autre base. « 4204^{20} » cumule les deux. Le contrôle qui règle tout : la somme de deux nombres égaux vaut le double, et le double de 2102^{10} ne peut pas être 2202^{20}, qui en est 1 0241\,024 fois plus grand.

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Exercice 6

3n+1+3n=?3^{n+1} + 3^{n} = ?

  1. 32n+13^{2n+1}
  2. 4⋅3n4 \cdot 3^{n}
  3. 2⋅3n+12 \cdot 3^{n+1}
  4. 3n+23^{n+2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 4⋅3n4 \cdot 3^{n}

Corrigé :

3n+1=3⋅3n3^{n+1} = 3 \cdot 3^{n}

On casse le terme le plus grand pour faire apparaître le plus petit.

3⋅3n+3n=3n(3+1)3 \cdot 3^{n} + 3^{n} = 3^{n}(3 + 1)

Factorisation par 3n3^{n}.

=4⋅3n= 4 \cdot 3^{n}

La bonne réponse : « 4⋅3n4 \cdot 3^{n} ». « 32n+13^{2n+1} » — les exposants additionnés. « 3n+23^{n+2} » vaut 9⋅3n9 \cdot 3^{n} : trop grand d'un facteur plus de deux. « 2⋅3n+12 \cdot 3^{n+1} » vaut 6⋅3n6 \cdot 3^{n} : les deux termes pris pour égaux, alors que le premier vaut trois fois le second. Contrôle avec n=1n = 1 : 9+3=129 + 3 = 12, et 4×3=124 \times 3 = 12.

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Exercice 7

74+74+74+74+74+74+74=?7^{4} + 7^{4} + 7^{4} + 7^{4} + 7^{4} + 7^{4} + 7^{4} = ?

  1. 49449^{4}
  2. 7287^{28}
  3. 7117^{11}
  4. 757^{5}
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Réponse : D 757^{5}

Corrigé :

7×74=757 \times 7^{4} = 7^{5}

Sept termes identiques, et le nombre de termes est la base elle-même.

La bonne réponse : « 757^{5} ». « 7287^{28} » — c'est 4×74 \times 7. « 7117^{11} » — c'est 4+74 + 7. « 49449^{4} » — le facteur multiplié dans la base. La forme est toujours la même : quand le nombre de termes égale la base, l'exposant monte exactement de 11. C'est le cas le plus fréquent à l'examen, précisément parce qu'il tombe rond.

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Exercice 8

2n+2−2n=?2^{n+2} - 2^{n} = ?

  1. 3⋅2n3 \cdot 2^{n}
  2. 4⋅2n4 \cdot 2^{n}
  3. 222^{2}
  4. 2n+12^{n+1}
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Réponse : A 3⋅2n3 \cdot 2^{n}

Corrigé :

2n+2=4⋅2n2^{n+2} = 4 \cdot 2^{n}

Deux crans plus haut, c'est quatre fois plus.

4⋅2n−2n=2n(4−1)=3⋅2n\begin{aligned}4 \cdot 2^{n} - 2^{n} &= 2^{n}(4 - 1) \\ &= 3 \cdot 2^{n}\end{aligned}

La bonne réponse : « 3⋅2n3 \cdot 2^{n} ». « 222^{2} » — les exposants soustraits. « 2n+12^{n+1} » vaut 2⋅2n2 \cdot 2^{n} : la soustraction faite comme si 2n+22^{n+2} valait trois fois 2n2^{n}. « 4⋅2n4 \cdot 2^{n} » — c'est le premier terme seul, la soustraction jamais effectuée. Contrôle avec n=1n = 1 : 8−2=68 - 2 = 6, et 3×2=63 \times 2 = 6.

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Exercice 9

59−5858=?\dfrac{5^{9} - 5^{8}}{5^{8}} = ?

  1. 00
  2. 44
  3. 55
  4. 11
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Réponse : B 44

Corrigé :

59−58=58(5−1)=4⋅58\begin{aligned}5^{9} - 5^{8} &= 5^{8}(5 - 1) \\ &= 4 \cdot 5^{8}\end{aligned}

On factorise le numérateur par la plus petite puissance.

4⋅5858=4\dfrac{4 \cdot 5^{8}}{5^{8}} = 4

Et tout se simplifie.

La bonne réponse : « 44 ». « 55 » — le facteur (5−1)(5 - 1) lu comme 55 : la parenthèse mal fermée. « 11 » — le numérateur pris pour 585^{8}, c'est-à-dire la factorisation faite sans le facteur qui reste. « 00 » — les deux termes du numérateur pris pour égaux. Le raccourci qui rend la question immédiate : 5958−5858=5−1\tfrac{5^{9}}{5^{8}} - \tfrac{5^{8}}{5^{8}} = 5 - 1.

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Exercice 10

69+69+69+69+69+69=?6^{9} + 6^{9} + 6^{9} + 6^{9} + 6^{9} + 6^{9} = ?

  1. 6156^{15}
  2. 6106^{10}
  3. 6546^{54}
  4. 36936^{9}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 6106^{10}

Corrigé :

6×69=6106 \times 6^{9} = 6^{10}

Six termes identiques, base 66 : l'exposant monte de 11.

La bonne réponse : « 6106^{10} ». « 6546^{54} » — c'est 9×69 \times 6. « 36936^{9} » — le facteur 66 passé dans la base, ce qui double l'exposant en base 66 : 369=61836^{9} = 6^{18}. « 6156^{15} » — c'est 9+69 + 6. Ce sont les mêmes quatre pièges que dans la première question de la série, sur une autre base : si vous les reconnaissez deux fois, la mécanique est acquise.

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Exercice 11

26+26+26+26=2n2^{6} + 2^{6} + 2^{6} + 2^{6} = 2^{n}. Combien vaut nn ?

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Réponse : 8

Corrigé :

4×26=22×264 \times 2^{6} = 2^{2} \times 2^{6}

Quatre termes : un facteur 4=224 = 2^{2}.

=28= 2^{8}

8. Le piège est 2424 : multiplier l'exposant par le nombre de termes.

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Exercice 12

34+34=383^{4} + 3^{4} = 3^{8}.

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Réponse : Faux

Corrigé :

34+34=2×34=162\begin{aligned}3^{4} + 3^{4} &= 2 \times 3^{4} \\ &= 162\end{aligned}
38=6 5613^{8} = 6\,561

Faux. Une somme ne se transforme pas en produit : 2×342 \times 3^{4}, et 22 n'est pas une puissance de 33.

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Exercice 13

Complétez.

3n+2+3n=3n×3^{n+2} + 3^{n} = 3^{n} \times ____, et 2n+3−2n=2n×2^{n+3} - 2^{n} = 2^{n} \times ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3n+2+3n=3n×3^{n+2} + 3^{n} = 3^{n} \times 10, et 2n+3−2n=2n×2^{n+3} - 2^{n} = 2^{n} \times 7.

Corrigé :

3n(32+1)=3n×103^{n}(3^{2} + 1) = 3^{n} \times 10

On met en facteur la plus petite.

2n(23−1)=2n×72^{n}(2^{3} - 1) = 2^{n} \times 7

10 et 7. Le réflexe : mettre en facteur la plus petite puissance.

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