Série 6 — le signe et la parité de l'exposant

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions, douze minutes. Les trois séries qui viennent portent sur tout ce qui se décide sans calculer — le signe, le dernier chiffre, le nombre de zéros.

Une seule règle ouvre cette série : un exposant pair efface le signe, un exposant impair le garde. Tout le reste n'en est qu'une application, y compris dans les fractions.

Après les dix, trois questions de plus, hors chrono : un calcul à taper, un vrai ou faux, un texte à trous.

Ne raisonnez pas : testez. Posez x=−2x = -2 et y=−1y = -1, ou x=−1x = -1 et y=−3y = -3 si les deux lettres doivent différer. Trois secondes par option, et la question est réglée sans une ligne d'algèbre.

Exercices

Exercice 1

pp est un nombre négatif. Laquelle de ces expressions est positive ?

  1. p5p^{5}
  2. p4p^{4}
  3. p3p^{3}
  4. p7p^{7}
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Réponse : B p4p^{4}

Corrigé :

p=−2: p4=16\begin{aligned}p &= -2 : \ p^{4} \\ &= 16\end{aligned}

Exposant pair : les facteurs négatifs s'apparient.

La bonne réponse : « p4p^{4} ». Les trois autres portent des exposants impairs : il reste toujours un facteur négatif non apparié, donc le résultat est négatif. La taille de l'exposant n'entre jamais en compte : p3p^{3} et p7p^{7} sont négatifs pour exactement la même raison.

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Exercice 2

uu et vv sont deux nombres négatifs. Laquelle de ces expressions est négative ?

  1. u2v2u^{2} v^{2}
  2. uv\dfrac{u}{v}
  3. u2v2\dfrac{u^{2}}{v^{2}}
  4. uv2\dfrac{u}{v^{2}}
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Réponse : D uv2\dfrac{u}{v^{2}}

Corrigé :

u<0,v2>0u < 0, \quad v^{2} > 0

Le dénominateur est positif, le numérateur reste négatif.

−+<0\dfrac{-}{+} < 0

La bonne réponse : « uv2\tfrac{u}{v^{2}} ». « uv\tfrac{u}{v} » — deux négatifs divisés donnent un positif. « u2v2\tfrac{u^{2}}{v^{2}} » — deux exposants pairs, tout est positif. « u2v2u^{2} v^{2} » — idem. La méthode qui va le plus vite : compter, dans chaque option, combien de facteurs négatifs survivent ; un nombre impair donne un résultat négatif.

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Exercice 3

Combien vaut (−1)2027(-1)^{2027} ?

  1. −2027-2027
  2. 11
  3. −1-1
  4. 20272027
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Réponse : C −1-1

Corrigé :

2027 est impair2027 \ \text{est impair}

Il reste un facteur −1-1 non apparié.

(−1)2027=−1(-1)^{2027} = -1

La bonne réponse : « −1-1 ». « 11 » — la réponse pour un exposant pair ; il suffit de regarder le dernier chiffre de l'exposant pour trancher. « 20272027 » et « −2027-2027 » — l'exposant recopié comme résultat : (−1)n(-1)^{n} ne vaut jamais que 11 ou −1-1, quelle que soit la taille de nn.

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Exercice 4

ww est un nombre réel non nul. Laquelle de ces expressions est toujours positive ?

  1. w2w^{2}
  2. −w2-w^{2}
  3. w3w^{3}
  4. ww
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Réponse : A w2w^{2}

Corrigé :

w2>0 pour tout w≠0w^{2} > 0 \ \text{pour tout} \ w \ne 0

Un carré d'un nombre non nul est strictement positif.

La bonne réponse : « w2w^{2} ». « w3w^{3} » — négatif dès que ww l'est. « −w2-w^{2} » — toujours négative : le carré rend positif, et le signe moins renverse. C'est le miroir exact de la bonne réponse, et un distracteur très efficace. « ww » — de signe inconnu.

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Exercice 5

kk est un nombre négatif. Quel est le signe de k3⋅k4k^{3} \cdot k^{4} ?

  1. On ne peut pas savoir
  2. Négatif
  3. Nul
  4. Positif
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Réponse : B Négatif

Corrigé :

k3⋅k4=k7k^{3} \cdot k^{4} = k^{7}

Même base : les exposants s'additionnent.

7 est impair⇒k7<07 \ \text{est impair} \Rightarrow k^{7} < 0

La bonne réponse : « Négatif ». « Positif » — c'est k12k^{12} : les exposants multipliés au lieu d'être additionnés, et 1212 est pair. « Nul » — impossible, kk étant non nul. « On ne peut pas savoir » — le signe de kk est donné, donc tout est déterminé. Le raccourci : additionnez d'abord les exposants, regardez la parité ensuite.

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Exercice 6

r<0r < 0 et s>0s > 0. Laquelle de ces expressions est positive ?

  1. rsr s
  2. r3s2r^{3} s^{2}
  3. r2s3r^{2} s^{3}
  4. r5sr^{5} s
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Réponse : C r2s3r^{2} s^{3}

Corrigé :

r2>0,s3>0r^{2} > 0, \quad s^{3} > 0

Le premier facteur est un carré, le second est une puissance d'un positif.

+×+=++ \times + = +

La bonne réponse : « r2s3r^{2} s^{3} ». « r3s2r^{3} s^{2} » — l'exposant impair sur rr garde le signe négatif. « rsr s » — un facteur négatif, un positif. « r5sr^{5} s » — même chose. Le seul facteur qui décide est rr : ss étant positif, aucune de ses puissances ne change quoi que ce soit. Repérer la lettre qui décide fait gagner la moitié du temps.

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Exercice 7

Combien vaut (−3)2−(−3)3(-3)^{2} - (-3)^{3} ?

  1. 3636
  2. −36-36
  3. −18-18
  4. 1818
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Réponse : A 3636

Corrigé :

(−3)2=9(-3)^{2} = 9

Exposant pair : positif.

(−3)3=−27(-3)^{3} = -27

Exposant impair : négatif.

9−(−27)=9+27=36\begin{aligned}9 - (-27) &= 9 + 27 \\ &= 36\end{aligned}

Soustraire un négatif, c'est ajouter.

La bonne réponse : « 3636 ». « −18-18 » — c'est 9−279 - 27 : le signe du cube perdu. « 1818 » — c'est 27−927 - 9, la soustraction inversée. « −36-36 » — le bon calcul, avec un signe global de trop. Cette question empile deux pièges : la parité de l'exposant et la soustraction d'un nombre négatif.

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Exercice 8

mm est un entier. Laquelle de ces expressions est nécessairement positive ou nulle ?

  1. m−1m^{-1}
  2. m3m^{3}
  3. −m4-m^{4}
  4. m4m^{4}
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Réponse : D m4m^{4}

Corrigé :

m4=(m2)2≥0m^{4} = \big(m^{2}\big)^{2} \ge 0

Le carré d'un carré : positif ou nul, quel que soit mm.

La bonne réponse : « m4m^{4} ». « m3m^{3} » — négatif pour mm négatif. « −m4-m^{4} » — négative ou nulle, jamais positive. « m−1m^{-1} » — négative pour mm négatif, et non définie pour m=0m = 0 : deux raisons de la refuser. L'énoncé dit « positive ou nulle » précisément parce que mm peut valoir 00 — lire cette nuance fait partie de la question.

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Exercice 9

zz est un nombre négatif. Lequel de ces nombres est le plus grand ?

  1. z3z^{3}
  2. zz
  3. 2z2z
  4. z2z^{2}
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Réponse : D z2z^{2}

Corrigé :

z2>0z^{2} > 0

La seule des quatre à être positive.

z, z3, 2z sont neˊgatifsz, \ z^{3}, \ 2z \ \text{sont négatifs}

Un positif est toujours plus grand qu'un négatif : la comparaison s'arrête là.

La bonne réponse : « z2z^{2} ». Il n'y a rien d'autre à vérifier : un seul positif contre trois négatifs. Les trois autres options sont là pour donner envie de les comparer entre elles, ce qui fait perdre une minute. Le premier réflexe sur toute question de comparaison avec un nombre négatif : trier d'abord par signe.

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Exercice 10

aa et bb sont deux nombres non nuls, et a3b5<0a^{3} b^{5} < 0. Que peut-on affirmer ?

  1. aa et bb sont tous deux positifs
  2. aa et bb sont de signes contraires
  3. On ne peut rien affirmer
  4. aa et bb sont tous deux négatifs
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Réponse : B aa et bb sont de signes contraires

Corrigé :

3 et 5 sont impairs3 \ \text{et} \ 5 \ \text{sont impairs}

Chaque facteur garde donc le signe de sa lettre.

a3b5 a le signe de aba^{3} b^{5} \ \text{a le signe de} \ ab

Le produit est négatif si et seulement si abab l'est.

La bonne réponse : « aa et bb sont de signes contraires ». « tous deux négatifs » — le produit serait alors positif : deux facteurs négatifs s'apparient. « tous deux positifs » — le produit serait positif aussi. « On ne peut rien affirmer » — les deux exposants étant impairs, le signe du produit détermine entièrement la situation. Si l'un des deux exposants avait été pair, le signe de cette lettre-là ne serait plus fixé, et aucune des trois premières options ne serait garantie.

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Exercice 11

Combien vaut (−1)100+(−1)101(-1)^{100} + (-1)^{101} ?

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Réponse : 0

Corrigé :

(−1)100=1(−1)101=−1\begin{aligned}(-1)^{100} &= 1 \\ \quad (-1)^{101} &= -1\end{aligned}

Pair, puis impair.

1+(−1)=01 + (-1) = 0

0. Le piège est 22 : prendre les deux puissances pour positives.

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Exercice 12

Si x<0x < 0, alors x5⋅x2<0x^{5} \cdot x^{2} < 0.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

x5⋅x2=x7x^{5} \cdot x^{2} = x^{7}

Le produit additionne les exposants.

x<0⇒x7<0x < 0 \Rightarrow x^{7} < 0

Exposant impair : le signe de xx.

Vrai. Le facteur x2x^{2} est positif, et ne change pas le signe négatif de x5x^{5}.

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Exercice 13

Complétez.

(−2)5=(-2)^{5} = ____, et −24=-2^{4} = ____.

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Réponse : (−2)5=(-2)^{5} = -32, et −24=-2^{4} = -16.

Corrigé :

(−2)5=−32(-2)^{5} = -32

Exposant impair : négatif.

−24=−(24)=−16\begin{aligned}-2^{4} &= -(2^{4}) \\ &= -16\end{aligned}

Le moins est hors de la puissance.

−32 et −16. Deux négatifs, pour deux raisons différentes : la parité, puis les parenthèses.

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