Série 7 — le chiffre des unités

Réponse : D $8$

Corrigé :

La bonne réponse : « $8$ ». « $2$ » — la première case, choisie en prenant le reste de $15$ par $4$ comme s'il valait $1$. « $4$ » — la deuxième. « $6$ » — la quatrième, celle du reste nul. Le contrôle possible ici : $2^{15} = 32\,768$, et une puissance de $2$ ne finit jamais par un chiffre impair.

Réponse : A $9$

Corrigé :

La bonne réponse : « $9$ ». « $1$ » — la case des exposants pairs. « $3$ » — le chiffre des unités des puissances de $3$, pas de $9$ ; l'énoncé ne parle pas de $3$. « $5$ » — le dernier chiffre de l'exposant $2025$, recopié à la place de celui de la puissance. Sur une base dont le cycle vaut $2$, la seule question est la parité de l'exposant : c'est encore plus rapide que la division.

Réponse : D $6$

Corrigé :

La bonne réponse : « $6$ ». « $1$ », « $0$ » et « $2$ » — trois façons de chercher un cycle là où il n'y en a pas. Quatre chiffres se conservent à toutes leurs puissances : $0$, $1$, $5$ et $6$. Dès que la base finit par l'un d'eux, la réponse est immédiate, quel que soit l'exposant.

Réponse : D $1$

Corrigé :

La bonne réponse : « $1$ ». « $3$ » — la première case, choisie parce que le reste nul a été lu comme un $1$. C'est le piège central de la série, et il tombe à chaque examen. « $9$ » — la deuxième case. « $7$ » — la troisième. Retenez la forme : un exposant multiple de $4$ ramène toujours la puissance à la fin de son cycle.

Réponse : C $3$

Corrigé :

La bonne réponse : « $3$ ». « $7$ » — reste lu comme $1$. « $9$ » — reste lu comme $2$. « $1$ » — reste lu comme $0$. Les quatre options sont exactement les quatre cases du cycle : la question ne teste rien d'autre que la division euclidienne, et c'est pour cela qu'elle doit se faire en vingt secondes.

Réponse : D $6$

Corrigé :

La bonne réponse : « $6$ ». « $4$ » — la case des exposants impairs. « $2$ » et « $8$ » — des chiffres du cycle de $2$, qui n'apparaissent jamais dans celui de $4$. Le raccourci de contrôle : $4^{50} = 2^{100}$, et le cycle de $2$ donne, pour un exposant multiple de $4$, sa dernière case — qui vaut $6$. Les deux méthodes concordent.

Réponse : A $7$

Corrigé :

La bonne réponse : « $7$ ». « $5$ » — c'est $2 + 3$ : les bases additionnées au lieu des chiffres des unités. « $1$ » — seul le second terme pris en compte. « $6$ » — seul le premier. Sur une somme, on traite chaque terme séparément puis on additionne les derniers chiffres ; si la somme dépasse $10$, on ne garde que son propre dernier chiffre.

Réponse : B $4$

Corrigé :

La bonne réponse : « $4$ ». « $8$ », « $2$ » et « $6$ » sont les trois autres cases. Le seul calcul à faire est $2026 : 4$, et il se lit sur les deux derniers chiffres : $26$ divisé par $4$ laisse $2$. Ce raccourci vaut pour tous les cycles de longueur $4$ — inutile de diviser le nombre entier.

Réponse : B $5$

Corrigé :

La bonne réponse : « $5$ ». « $0$ » — le chiffre final de $10^{n}$, pas de $5^{n}$. « $1$ » — c'est $5^{0}$, une case que l'énoncé exclut en commençant à $n = 1$. « Cela dépend de $n$ » — c'est vrai pour six chiffres sur dix, mais pas pour $5$ : son cycle n'a qu'une case. Repérer les quatre bases stables ($0$, $1$, $5$, $6$) transforme ces questions en lecture immédiate.

Réponse : A $2$

Corrigé :

La bonne réponse : « $2$ ». « $8$ » — la troisième case. « $4$ » — la deuxième. « $6$ » — la quatrième. L'idée nouvelle de cette question : la base n'a pas besoin d'être un chiffre. $12$, $22$, $32$ ont tous le cycle de $2$, parce que le chiffre des unités d'un produit ne dépend que des chiffres des unités des facteurs.

Réponse : 7

Corrigé :

7. Le piège est $3$ : la base recopiée, ou le reste pris pour le chiffre.

Réponse : Faux

Corrigé :

Faux. $6$ est la case des exposants pairs ; $2027$ est impair, donc $4$.

Réponse : Le cycle des unités de $7$ a 4 cases, et celui de $9$ en a 2.

Corrigé :

4 et 2. Les chiffres $2, 3, 7, 8$ ont des cycles de quatre ; $4$ et $9$ de deux.