Série 8 — les puissances de dix

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions, douze minutes. Avant-dernière série du chapitre.

Multiplier par 10n10^{n} déplace la virgule de nn rangs vers la droite ; par 10−n10^{-n}, de nn rangs vers la gauche. Toutes les règles des puissances s'appliquent, et le résultat se lit directement sur l'écriture décimale.

Après les dix, trois questions de plus, hors chrono : un calcul à taper, un vrai ou faux, un texte à trous.

L'écriture scientifique a×10na \times 10^{n}, avec 1≤a<101 \le a < 10, rend toute comparaison immédiate : on compare d'abord les exposants, et seulement à exposants égaux on regarde le nombre devant.

Exercices

Exercice 1

105⋅10−3=?10^{5} \cdot 10^{-3} = ?

  1. 0,010{,}01
  2. 10810^{8}
  3. 10−1510^{-15}
  4. 100100
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 100100

Corrigé :

105⋅10−3=105−3=102\begin{aligned}10^{5} \cdot 10^{-3} &= 10^{5-3} \\ &= 10^{2}\end{aligned}

Produit de même base : les exposants s'additionnent, signes compris.

=100= 100

La bonne réponse : « 100100 ». « 10−1510^{-15} » — les exposants multipliés. « 10810^{8} » — le signe moins ignoré, 5+35 + 3. « 0,010{,}01 » — c'est 10−210^{-2} : l'addition faite dans le mauvais sens.

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Exercice 2

En écriture scientifique, 0,0040{,}004 s'écrit —

  1. 4×1034 \times 10^{3}
  2. 4×10−34 \times 10^{-3}
  3. 0,4×10−20{,}4 \times 10^{-2}
  4. 4×10−44 \times 10^{-4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 4×10−34 \times 10^{-3}

Corrigé :

0,004=41000=4103\begin{aligned}0{,}004 &= \dfrac{4}{1000} \\ &= \dfrac{4}{10^{3}}\end{aligned}

Trois rangs après la virgule.

=4×10−3= 4 \times 10^{-3}

La bonne réponse : « 4×10−34 \times 10^{-3} ». « 4×10−44 \times 10^{-4} » — un rang de trop : tous les chiffres comptés, le 44 compris, au lieu des trois rangs dont la virgule se déplace. « 4×1034 \times 10^{3} » — le signe de l'exposant inversé ; cette écriture vaut 4 0004\,000. « 0,4×10−20{,}4 \times 10^{-2} » — la valeur est juste, mais ce n'est pas une écriture scientifique : le nombre devant doit être entre 11 et 1010. L'examen distingue les deux.

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Exercice 3

108102=?\dfrac{10^{8}}{10^{2}} = ?

  1. 10410^{4}
  2. 1 000 0001\,000\,000
  3. 10 00010\,000
  4. 101610^{16}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 1 000 0001\,000\,000

Corrigé :

108−2=10610^{8-2} = 10^{6}

Quotient de même base.

=1 000 000= 1\,000\,000

Un million.

La bonne réponse : « 1 000 0001\,000\,000 ». « 10 00010\,000 » et « 10410^{4} » — la même erreur écrite deux fois : 8:28 : 2 au lieu de 8−28 - 2. Quand la question demande une valeur, deux options égales ne peuvent pas être toutes deux la bonne réponse, ce qui les élimine avant tout calcul. Quand elle demande une forme — l'écriture scientifique, par exemple —, ce raccourci ne vaut plus. « 101610^{16} » — les exposants multipliés.

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Exercice 4

(3×104)⋅(2×103)=?\big(3 \times 10^{4}\big) \cdot \big(2 \times 10^{3}\big) = ?

  1. 6×1016 \times 10^{1}
  2. 6×10126 \times 10^{12}
  3. 5×1075 \times 10^{7}
  4. 6×1076 \times 10^{7}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 6×1076 \times 10^{7}

Corrigé :

3×2=63 \times 2 = 6

Les nombres devant se multiplient.

104⋅103=10710^{4} \cdot 10^{3} = 10^{7}

Et les puissances de dix s'ajoutent en exposant.

La bonne réponse : « 6×1076 \times 10^{7} ». « 6×10126 \times 10^{12} » — les exposants multipliés. « 5×1075 \times 10^{7} » — les nombres devant additionnés au lieu d'être multipliés : les deux parties suivent des règles opposées, et c'est là que ça se joue. « 6×1016 \times 10^{1} » — les exposants soustraits (4−34 - 3), la règle du quotient appliquée à un produit.

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Exercice 5

Lequel de ces nombres est le plus grand ?

  1. 9×1089 \times 10^{8}
  2. 1,5×1091{,}5 \times 10^{9}
  3. 2×1092 \times 10^{9}
  4. 8×1088 \times 10^{8}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2×1092 \times 10^{9}

Corrigé :

109>10810^{9} > 10^{8}

On compare d'abord les exposants : deux candidats restent.

2>1,52 > 1{,}5

À exposant égal, on compare les nombres devant.

La bonne réponse : « 2×1092 \times 10^{9} ». « 9×1089 \times 10^{8} » — le plus grand nombre devant, mais un exposant plus petit : 900900 millions contre 22 milliards. C'est le piège de la série. « 8×1088 \times 10^{8} » — même défaut. « 1,5×1091{,}5 \times 10^{9} » — bon exposant, nombre devant plus petit. L'exposant décide toujours en premier.

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Exercice 6

(103)4=?\big(10^{3}\big)^{4} = ?

  1. 40340^{3}
  2. 108110^{81}
  3. 10710^{7}
  4. 101210^{12}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 101210^{12}

Corrigé :

(103)4=103×4=1012\begin{aligned}\big(10^{3}\big)^{4} &= 10^{3 \times 4} \\ &= 10^{12}\end{aligned}

Puissance de puissance : on multiplie.

La bonne réponse : « 101210^{12} ». « 10710^{7} » — c'est 3+43 + 4. « 108110^{81} » — c'est 343^{4} : l'exposant élevé à l'exposant, une opération que rien n'autorise. « 40340^{3} » — l'exposant extérieur multiplié dans la base.

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Exercice 7

Combien vaut 110−4\dfrac{1}{10^{-4}} ?

  1. −40-40
  2. −10 000-10\,000
  3. 10 00010\,000
  4. 0,00010{,}0001
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 10 00010\,000

Corrigé :

110−4=104\dfrac{1}{10^{-4}} = 10^{4}

Le facteur traverse la barre et son exposant change de signe.

=10 000= 10\,000

La bonne réponse : « 10 00010\,000 ». « 0,00010{,}0001 » — c'est 10−410^{-4} lui-même : la barre de fraction ignorée. « −10 000-10\,000 » — le signe de l'exposant reporté sur le résultat. « −40-40 » — c'est 10×(−4)10 \times (-4) : l'exposant traité comme un facteur, et la barre de fraction ignorée. Diviser par un très petit nombre donne un très grand nombre : ce seul contrôle règle la question.

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Exercice 8

En écriture scientifique, 7 300 0007\,300\,000 s'écrit —

  1. 7,3×1077{,}3 \times 10^{7}
  2. 0,73×1070{,}73 \times 10^{7}
  3. 7,3×1067{,}3 \times 10^{6}
  4. 73×10573 \times 10^{5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 7,3×1067{,}3 \times 10^{6}

Corrigé :

7 300 000=7,3×1 000 0007\,300\,000 = 7{,}3 \times 1\,000\,000

On place la virgule après le premier chiffre.

=7,3×106= 7{,}3 \times 10^{6}

Six rangs déplacés.

La bonne réponse : « 7,3×1067{,}3 \times 10^{6} ». « 73×10573 \times 10^{5} » et « 0,73×1070{,}73 \times 10^{7} » — les deux ont la bonne valeur mais ne sont pas des écritures scientifiques : le nombre devant doit rester entre 11 et 1010. « 7,3×1077{,}3 \times 10^{7} » — un rang de trop, cette écriture vaut 7373 millions. Le contrôle : compter les chiffres après le premier. Ici, trois options ont la même valeur, dont la bonne : la question porte sur la forme, et éliminer les options de même valeur ferait tomber la réponse.

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Exercice 9

(2×103)2=?\big(2 \times 10^{3}\big)^{2} = ?

  1. 2×1062 \times 10^{6}
  2. 4×1054 \times 10^{5}
  3. 4×1064 \times 10^{6}
  4. 4×1094 \times 10^{9}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 4×1064 \times 10^{6}

Corrigé :

(2×103)2=22⋅(103)2\big(2 \times 10^{3}\big)^{2} = 2^{2} \cdot \big(10^{3}\big)^{2}

L'exposant porte sur les deux facteurs.

=4×106= 4 \times 10^{6}

La bonne réponse : « 4×1064 \times 10^{6} ». « 2×1062 \times 10^{6} » — le coefficient 22 jamais élevé au carré. « 4×1054 \times 10^{5} » — l'exposant de 1010 additionné (3+23 + 2) au lieu d'être multiplié. « 4×1094 \times 10^{9} » — l'exposant 33 élevé au carré (32=93^{2} = 9) au lieu d'être multiplié par 22. Contrôle : 2 0002=4 000 0002\,000^{2} = 4\,000\,000.

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Exercice 10

(4×106)+(3×105)=?\big(4 \times 10^{6}\big) + \big(3 \times 10^{5}\big) = ?

  1. 4,3×1064{,}3 \times 10^{6}
  2. 4,3×10114{,}3 \times 10^{11}
  3. 7×10117 \times 10^{11}
  4. 7×1067 \times 10^{6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 4,3×1064{,}3 \times 10^{6}

Corrigé :

3×105=0,3×1063 \times 10^{5} = 0{,}3 \times 10^{6}

Sur une somme, il faut d'abord mettre les deux termes au même exposant.

4×106+0,3×106=4,3×1064 \times 10^{6} + 0{,}3 \times 10^{6} = 4{,}3 \times 10^{6}

La bonne réponse : « 4,3×1064{,}3 \times 10^{6} ». « 7×10117 \times 10^{11} » — les coefficients additionnés et les exposants additionnés : la règle du produit appliquée à une somme. « 7×1067 \times 10^{6} » — les coefficients additionnés sans ajuster l'exposant du second. « 4,3×10114{,}3 \times 10^{11} » — le bon coefficient, le mauvais exposant. Contrôle en chiffres : 4 000 000+300 000=4 300 0004\,000\,000 + 300\,000 = 4\,300\,000.

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Exercice 11

103⋅10−510−4=10n\dfrac{10^{3} \cdot 10^{-5}}{10^{-4}} = 10^{n}. Combien vaut nn ?

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Réponse : 2

Corrigé :

3+(−5)−(−4)=23 + (-5) - (-4) = 2

Produit puis quotient, signes compris.

2. Le piège est −6-6 : soustraire 44 au lieu de −4-4.

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Exercice 12

0,05=5×10−20{,}05 = 5 \times 10^{-2}.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

5×10−2=5100=0,05\begin{aligned}5 \times 10^{-2} &= \dfrac{5}{100} \\ &= 0{,}05\end{aligned}

Vrai. 10−210^{-2} décale la virgule de deux rangs vers la gauche.

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Exercice 13

Complétez.

6×104=6 \times 10^{4} = ____, et 106102=\dfrac{10^{6}}{10^{2}} = ____.

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Réponse : 6×104=6 \times 10^{4} = 60000, et 106102=\dfrac{10^{6}}{10^{2}} = 10000.

Corrigé :

6×10 000=60 0006 \times 10\,000 = 60\,000
106−2=104=10 000\begin{aligned}10^{6-2} &= 10^{4} \\ &= 10\,000\end{aligned}

60 000 et 10 000. Le piège est 10310^{3} : diviser les exposants au lieu de les soustraire.

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