Série 9 — les équations à exposants · Puissances · Psychométriques

Dix questions, douze minutes. Les dix réponses avant le premier corrigé.

La méthode ne change jamais : on écrit les deux membres sur la même base, puis on égale les exposants, et il ne reste qu'une équation ordinaire. Ce dernier pas est celui qu'on oublie le plus, parce qu'on croit avoir fini.

Après les dix, trois questions de plus, hors chrono : un calcul à taper, un vrai ou faux, un texte à trous.

La règle « bases égales, donc exposants égaux » suppose que la base est différente de $1$ et de $0$ . Avec une base $1$ , tous les exposants conviennent — et l'examen pose parfois exactement cette question.

Exercices

Exercice 1

$5^{x} = 125$ . Combien vaut $x$ ?

$5$
$25$
$3$
$2$

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Réponse : C $3$

Corrigé :

125 = 5^{3}

x = 3

Bases égales, exposants égaux.

La bonne réponse : « $3$ ». « $25$ » — c'est $125 : 5$ : l'équation lue comme une multiplication. « $5$ » — la base recopiée. « $2$ » — l'exposant de $25$ , un cran trop bas. Les puissances de $5$ à connaître : $5$ , $25$ , $125$ , $625$ .

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Exercice 2

$2^{x+2} = 64$ . Combien vaut $x$ ?

$8$
$32$
$6$
$4$

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Réponse : D $4$

Corrigé :

64 = 2^{6}

\begin{aligned}x + 2 &= 6 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

L'équation qui reste doit encore être résolue.

La bonne réponse : « $4$ ». « $6$ » — l'exposant trouvé mais l'équation $x + 2 = 6$ laissée en plan : c'est l'erreur de dernière ligne, et c'est la plus coûteuse parce que tout le raisonnement était juste. « $8$ » — l'équation résolue dans le mauvais sens, $6 + 2$ . « $32$ » — c'est $64 : 2$ .

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Exercice 3

$3^{2x} = 81$ . Combien vaut $x$ ?

$8$
$4$
$27$
$2$

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Réponse : D $2$

Corrigé :

81 = 3^{4}

\begin{aligned}2x &= 4 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

Le coefficient de l'exposant se traite comme dans n'importe quelle équation.

La bonne réponse : « $2$ ». « $4$ » — l'exposant trouvé, la division par $2$ oubliée. « $8$ » — c'est $4 \times 2$ : l'équation résolue à l'envers. « $27$ » — c'est $81 : 3$ , ou $3^{3}$ .

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Exercice 4

$2^{x} = \dfrac{1}{8}$ . Combien vaut $x$ ?

$-3$
$3$
$-8$
$\dfrac{1}{3}$

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Réponse : A $-3$

Corrigé :

\begin{aligned}\dfrac{1}{8} &= \dfrac{1}{2^{3}} \\ &= 2^{-3}\end{aligned}

Une fraction dont le dénominateur est une puissance : l'exposant devient négatif.

x = -3

La bonne réponse : « $-3$ ». « $3$ » — le signe perdu : c'est $2^{3} = 8$ , pas $\tfrac{1}{8}$ . « $\tfrac{1}{3}$ » — la fraction reportée sur l'exposant ; $2^{\frac{1}{3}}$ est la racine cubique de $2$ , un tout autre nombre. « $-8$ » — le dénominateur recopié avec un signe. Une valeur plus petite que $1$ appelle toujours un exposant négatif : ce contrôle règle la question avant tout calcul.

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Exercice 5

$4^{x} = 8$ . Combien vaut $x$ ?

$2$
$1{,}5$
$3$
$0{,}5$

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Réponse : B $1{,}5$

Corrigé :

\begin{aligned}4 &= 2^{2} \\ \quad 8 &= 2^{3}\end{aligned}

Ni $4$ ni $8$ ne s'écrit comme puissance entière de l'autre : on passe par la base $2$ .

\begin{aligned}2^{2x} &= 2^{3} \Rightarrow 2x \\ &= 3\end{aligned}

x = 1{,}5

La bonne réponse : « $1{,}5$ ». « $2$ » — c'est $8 : 4$ . « $0{,}5$ » — l'équation $2x = 3$ résolue comme $x = \tfrac{3}{2} : 3$ . « $3$ » — l'exposant de $8$ en base $2$ , sans traiter le membre de gauche. Un exposant non entier n'a rien d'anormal : c'est même le signe que les deux nombres n'étaient pas dans un rapport de puissance simple.

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Exercice 6

$3^{x} \cdot 3^{4} = 3^{10}$ . Combien vaut $x$ ?

$40$
$6$
$14$
$2{,}5$

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Réponse : B $6$

Corrigé :

3^{x+4} = 3^{10}

Produit de même base au membre de gauche.

\begin{aligned}x + 4 &= 10 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

La bonne réponse : « $6$ ». « $14$ » — c'est $10 + 4$ : l'équation résolue dans le mauvais sens. « $2{,}5$ » — c'est $10 : 4$ : le produit de gauche traité comme une puissance de puissance. « $40$ » — c'est $10 \times 4$ .

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Exercice 7

$a^{x} = a^{5}$ , avec $a > 0$ . Que peut-on affirmer ?

$x = 5$ , sauf si $a = 1$
$x = 5$ dans tous les cas
On ne peut rien affirmer
$x = a$

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Réponse : A $x = 5$ , sauf si $a = 1$

Corrigé :

a \ne 1 \Rightarrow x = 5

Deux puissances égales de même base ont le même exposant… à une exception près.

\begin{aligned}a &= 1 : \ 1^{x} \\ &= 1^{5} \ \text{pour tout} \ x\end{aligned}

La base $1$ efface l'exposant.

La bonne réponse : « $x = 5$ , sauf si $a = 1$ ». « dans tous les cas » — l'exception oubliée, et c'est exactement ce que la question teste. « $x = a$ » — l'égalité lue en croix : l'exposant d'un côté égalé à la base de l'autre. « On ne peut rien affirmer » — trop faible : hors du cas $a = 1$ , la conclusion est certaine. Retenez les deux bases qui cassent la règle : $1$ efface l'exposant, et $0$ n'est pas défini pour les exposants négatifs.

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Exercice 8

$2^{x} + 2^{x} = 2^{9}$ . Combien vaut $x$ ?

$8$
$9$
$7$
$4{,}5$

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Réponse : A $8$

Corrigé :

\begin{aligned}2^{x} + 2^{x} &= 2 \cdot 2^{x} \\ &= 2^{x+1}\end{aligned}

Deux termes identiques : le doublement fait monter l'exposant de $1$ .

\begin{aligned}x + 1 &= 9 \Rightarrow x \\ &= 8\end{aligned}

La bonne réponse : « $8$ ». « $9$ » — la somme traitée comme si elle valait un seul terme. « $4{,}5$ » — l'exposant divisé par $2$ parce qu'il y a deux termes : c'est la division du résultat, pas de l'exposant. « $7$ » — un cran de trop dans la bonne direction. Cette question mélange la factorisation de la série 5 et l'équation : c'est la forme la plus fréquente à l'examen.

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Exercice 9

$\big(2^{x}\big)^{3} = 2^{12}$ . Combien vaut $x$ ?

$4$
$36$
$15$
$9$

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Réponse : A $4$

Corrigé :

2^{3x} = 2^{12}

Puissance de puissance : les exposants se multiplient.

\begin{aligned}3x &= 12 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

La bonne réponse : « $4$ ». « $9$ » — c'est $12 - 3$ : la parenthèse traitée comme un quotient. « $36$ » — c'est $12 \times 3$ : la multiplication faite dans le mauvais sens. « $15$ » — c'est $12 + 3$ . Le contrôle : $\big(2^{4}\big)^{3} = 16^{3} = 4\,096 = 2^{12}$ .

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Exercice 10

$9^{x} = 3^{x+2}$ . Combien vaut $x$ ?

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Réponse : C $2$

Corrigé :

\begin{aligned}9^{x} &= \big(3^{2}\big)^{x} \\ &= 3^{2x}\end{aligned}

Tout sur la base $3$ .

2x = x + 2

Bases égales, exposants égaux.

x = 2

La bonne réponse : « $2$ ». « $1$ » — l'équation $2x = x + 2$ résolue comme $x = 1$ . « $4$ » — l'exposant $2x$ trouvé et pris pour la réponse. « $3$ » — c'est $9 : 3$ : les bases divisées, et le quotient pris pour $x$ . Contrôle : $9^{2} = 81$ , et $3^{4} = 81$ . Une équation où l'inconnue est des deux côtés de l'exposant se résout comme une équation du premier degré, une fois la base unifiée.

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Exercice 11

$3^{x-1} = 27$ . Combien vaut $x$ ?

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Réponse : 4

Corrigé :

27 = 3^{3}

Même base des deux côtés.

\begin{aligned}x - 1 &= 3 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

4. Le piège est $3$ : égaler $x$ à l'exposant sans finir l'équation.

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Exercice 12

Si $2^{x} = 4^{3}$ , alors $x = 6$ .

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Réponse : Vrai

Corrigé :

4^{3} = 2^{6}

On ramène à la base $2$ .

\begin{aligned}2^{x} &= 2^{6} \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

Vrai. Le piège serait $x = 3$ : égaler les exposants avant d'avoir la même base.

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Exercice 13

Complétez.

$8^{x} = 2^{12}$ donne $x =$ ____, et $5^{y+1} = 125$ donne $y =$ ____.

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Réponse : $8^{x} = 2^{12}$ donne $x =$ 4, et $5^{y+1} = 125$ donne $y =$ 2.

Corrigé :

\begin{aligned}8^{x} &= 2^{3x} \Rightarrow 3x \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}125 &= 5^{3} \Rightarrow y + 1 \\ &= 3\end{aligned}

4 et 2. Les deux fois : même base d'abord, puis on égale les exposants.

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Exercices

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