Série 5 — Les questions qui départagent · Quadrilatères · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Le niveau des dernières questions de la section. Deux réflexes : testez une réponse en lettres avec une valeur simple ( $a = 2$ ), et cherchez le contre-exemple avant de cocher « nécessairement vrai ». N'oubliez pas qu'un trapèze a une seule paire de côtés parallèles : cette nuance tranche souvent.

Exercices

Exercice 1

Une figure a, parmi ses angles, un angle de $60^\circ$ , un angle de $90^\circ$ et un angle de $120^\circ$ . Laquelle des figures suivantes est impossible ?

un trapèze
un deltoïde
un parallélogramme
un pentagone

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C un parallélogramme

Corrigé :

\theta,\ 180^\circ - \theta,\ \theta,\ 180^\circ - \theta

les angles d'un parallélogramme ne prennent que deux valeurs

60^\circ,\ 90^\circ,\ 120^\circ

trois valeurs distinctes : impossible pour un parallélogramme

60^\circ + 90^\circ + 120^\circ + 135^\circ + 135^\circ = 540^\circ

la somme des angles d'un pentagone : il est possible, comme le trapèze rectangle et le deltoïde

La bonne réponse : « un parallélogramme ». « un trapèze » est possible : un trapèze rectangle a les angles $90^\circ$ , $90^\circ$ , $60^\circ$ et $120^\circ$ . « un deltoïde » est possible : deux angles droits opposés, et entre eux $60^\circ$ et $120^\circ$ , dont la somme fait bien $360^\circ$ . « un pentagone » suppose que la figure est un quadrilatère, au quatrième angle de $90^\circ$ : rien ne le dit, et un pentagone peut porter ces trois angles et deux autres de $135^\circ$ .

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Exercice 2

Dans le quadrilatère $ABCD$ , $\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = 90^\circ$ et $AB = BC$ . On note $AD = x$ et $DC = y$ . Lequel des énoncés suivants est nécessairement vrai ?

$2AB^2 = x^2 + y^2$
$AB^2 = x^2 + y^2$
$AB^2 = 2(x^2 + y^2)$
$AB = \dfrac{x + y}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $2AB^2 = x^2 + y^2$

Corrigé :

AC^2 = x^2 + y^2

Pythagore dans le triangle $ADC$ , rectangle en $D$ ( $\widehat{ADC} = 90^\circ$ )

\begin{aligned}AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\ &= 2AB^2\end{aligned}

Pythagore dans le triangle $ABC$ , avec $AB = BC$

2AB^2 = x^2 + y^2

$AC$ est l'hypoténuse des deux triangles

La bonne réponse : « $2AB^2 = x^2 + y^2$ ». « $AB^2 = x^2 + y^2$ » prend $AB$ pour la diagonale $AC$ , l'hypoténuse commune. « $AB^2 = 2(x^2 + y^2)$ » écrit $AB = AC\sqrt{2}$ : c'est l'hypoténuse qui vaut la cathète fois $\sqrt{2}$ , pas l'inverse. « $AB = \dfrac{x + y}{2}$ » suppose que $AB$ est la moyenne de $x$ et de $y$ : ce n'est vrai que si $x = y$ .

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Exercice 3

Le trapèze $ABCD$ a une seule paire de côtés parallèles : $AB \parallel DC$ . Ses diagonales se coupent en $O$ . Lequel des énoncés suivants est nécessairement vrai ?

$AD = BC$
$AO = OC$
Les triangles $AOB$ et $COD$ ont la même aire.
Les triangles $AOD$ et $BOC$ ont la même aire.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D Les triangles $AOD$ et $BOC$ ont la même aire.

Corrigé :

S_{ABD} = S_{ABC}

même base $AB$ et même hauteur : $C$ et $D$ sont sur une parallèle à $AB$

\begin{aligned}S_{AOD} &= S_{ABD} - S_{AOB} \\ &= S_{ABC} - S_{AOB} \\ &= S_{BOC}\end{aligned}

on retire à chacun le triangle commun $AOB$

La bonne réponse : « Les triangles $AOD$ et $BOC$ ont la même aire ». « $AO = OC$ » emprunte une propriété du parallélogramme : avec une seule paire de côtés parallèles, $O$ partage $AC$ dans le rapport $AB : DC$ , différent de $1$ . « $AD = BC$ » n'est vrai que pour un trapèze isocèle. « Les triangles $AOB$ et $COD$ ont la même aire » oublie que ces deux triangles sont semblables, de rapport $\frac{AB}{DC} \neq 1$ : leurs aires diffèrent.

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Exercice 4

Dans le trapèze isocèle $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ), la grande base $AB$ mesure $20$ , les côtés obliques mesurent $8$ , et $\widehat{DAB} = 30^\circ$ . Quelle est l'aire du trapèze ?

$64\sqrt{3}$
$80 - 8\sqrt{3}$
$80 - 16\sqrt{3}$
$160 - 32\sqrt{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $80 - 16\sqrt{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}h &= 8 \sin 30^\circ \\ &= 4\end{aligned}

la hauteur issue de $D$ découpe un triangle $30$ - $60$ - $90$

8 \cos 30^\circ = 4\sqrt{3}

la projection de chaque côté oblique

\begin{aligned}DC &= 20 - 2 \times 4\sqrt{3} \\ &= 20 - 8\sqrt{3}\end{aligned}

par symétrie, une projection de chaque côté

\begin{aligned}S &= \dfrac{(20 + 20 - 8\sqrt{3}) \times 4}{2} \\ &= 80 - 16\sqrt{3}\end{aligned}

La bonne réponse : « $80 - 16\sqrt{3}$ ». « $160 - 32\sqrt{3}$ » prend le côté oblique, $8$ , pour la hauteur. « $80 - 8\sqrt{3}$ » ne retranche qu'une des deux projections de la grande base. « $64\sqrt{3}$ » échange sinus et cosinus : hauteur $4\sqrt{3}$ , projection $4$ , petite base $12$ .

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Exercice 5

Dans le parallélogramme $ABCD$ , $AB = 6$ et $AD = 10$ . La bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$ coupe le côté $AD$ en $E$ , et la bissectrice de l'angle $\widehat{BCD}$ coupe le côté $AD$ en $F$ . Quelle est la longueur de $EF$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$2$
$0$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$4$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $2$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{AEB} &= \widehat{EBC} \\ &= \widehat{ABE}\end{aligned}

angles alternes-internes ( $AD \parallel BC$ ), puis la bissectrice : le triangle $ABE$ est isocèle en $A$

\begin{aligned}AE &= AB \\ &= 6 \\ \quad DF &= DC \\ &= 6\end{aligned}

le même raisonnement en $C$ donne le triangle $DCF$ , isocèle en $D$

AE + DF = 12 > 10

les deux segments $AE$ et $DF$ se chevauchent sur $AD$

\begin{aligned}EF &= 12 - 10 \\ &= 2\end{aligned}

La bonne réponse : « $2$ ». « $4$ » ne trace qu'une bissectrice : $ED = 10 - 6$ . « $0$ » suppose que les deux bissectrices se coupent sur $AD$ : cela n'arrive que si $AD = 2\,AB$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut connaître les angles : les triangles isocèles donnent les longueurs, quels que soient les angles.

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Exercice 6

Le carré $ABCD$ a pour côté $s$ . Un cercle, à l'intérieur du carré, est tangent aux côtés $AB$ et $AD$ et passe par le sommet $C$ . Quel est son rayon ?

$s(2 - \sqrt{2})$
$\dfrac{s\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{s}{2}$
$s(\sqrt{2} - 1)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $s(2 - \sqrt{2})$

Corrigé :

O = (r,\ r)

dans un repère d'origine $A$ : le centre est à la distance $r$ des deux côtés tangents

OC = (s - r)\sqrt{2}

$O$ et $C(s,\,s)$ sont sur la diagonale : Pythagore avec deux écarts égaux à $s - r$

\begin{aligned}(s - r)\sqrt{2} &= r \;\Rightarrow\; r \\ &= \dfrac{s\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} \\ &= s(2 - \sqrt{2})\end{aligned}

$C$ est sur le cercle : $OC = r$

La bonne réponse : « $s(2 - \sqrt{2})$ ». « $\dfrac{s}{2}$ » prend la distance du centre à $C$ égale à $s - r$ , comme si $C$ était sur la même horizontale que le centre. « $s(\sqrt{2} - 1)$ » divise par $\sqrt{2}$ au lieu de multiplier : $\frac{s - r}{\sqrt{2}} = r$ . « $\dfrac{s\sqrt{2}}{2}$ » place le centre sur la diagonale à la distance $r$ de $A$ , au lieu de $r\sqrt{2}$ : $s\sqrt{2} - r = r$ .

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Exercice 7

Le losange $ABCD$ a pour côté $a$ , et $\widehat{DAB} = 45^\circ$ . On abaisse de $D$ la perpendiculaire $DH$ au côté $AB$ , et de $B$ la perpendiculaire $BK$ au côté $DC$ . Quelle est l'aire du rectangle $HBKD$ ?

$\dfrac{a^2}{2}$
$\dfrac{\sqrt{2}\,a^2}{2}$
$\dfrac{(\sqrt{2} - 1)\,a^2}{2}$
$\dfrac{(2 - \sqrt{2})\,a^2}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\dfrac{(\sqrt{2} - 1)\,a^2}{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}DH &= AH \\ &= \dfrac{a}{\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\end{aligned}

le triangle $AHD$ est rectangle et isocèle (angle de $45^\circ$ )

HB = a - \dfrac{a\sqrt{2}}{2}

la largeur : le côté moins le décalage $AH$

\begin{aligned}S &= \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\left(a - \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right) \\ &= \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2} - \dfrac{a^2}{2} \\ &= \dfrac{(\sqrt{2} - 1)\,a^2}{2}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\dfrac{(\sqrt{2} - 1)\,a^2}{2}$ ». « $\dfrac{(2 - \sqrt{2})\,a^2}{2}$ » prend le côté $a$ pour la hauteur : $a\left(a - \frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$ . « $\dfrac{\sqrt{2}\,a^2}{2}$ » oublie de retrancher le décalage $AH$ : c'est l'aire du losange entier. « $\dfrac{a^2}{2}$ » calcule l'aire des deux triangles $AHD$ et $BCK$ , $2 \times \frac{1}{2}\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2$ , au lieu du rectangle placé entre eux.

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Exercice 8

Les diagonales du quadrilatère convexe $ABCD$ mesurent $AC = 8$ et $BD = 6$ . Lequel des nombres suivants peut être son périmètre ?

$30$
$15$
Chacun des trois nombres peut l'être.
$20$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $20$

Corrigé :

AC < AB + BC,\quad AC < CD + DA \;\Rightarrow\; 2 \times 8 < P

l'inégalité triangulaire dans $ABC$ et $ADC$ : $P > 16$

\begin{aligned}AB < AO + OB \\ \ \ldots \;\Rightarrow\; P < 2(AC + BD) &= 28\end{aligned}

$O$ est le point de rencontre des diagonales ; on additionne les quatre inégalités

16 < P < 28

seul $20$ convient : c'est le périmètre du losange de diagonales $8$ et $6$ , de côté $5$

La bonne réponse : « $20$ ». « $15$ » ne retient que la borne « périmètre plus long que la somme des diagonales », $14$ : chaque diagonale est plus courte que le demi-périmètre, donc le périmètre dépasse $16$ . « $30$ » oublie la borne haute : chaque côté est plus court que la somme des deux demi-diagonales qui l'entourent, donc le périmètre est inférieur à $2 \times 14 = 28$ . « Chacun des trois nombres peut l'être » croit qu'une forme quelconque permet tout : les deux inégalités triangulaires bornent le périmètre des deux côtés.

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Exercice 9

Dans le parallélogramme $ABCD$ , on trace le segment $PQ$ , avec $P$ sur $AB$ , $Q$ sur $DC$ et $PQ \parallel AD$ , puis le segment $RS$ , avec $R$ sur $AD$ et $S$ sur $BC$ . Aucun des deux segments ne passe par un sommet. Ils découpent le parallélogramme en quatre morceaux. Lequel des énoncés suivants est nécessairement vrai ? (Un trapèze, ici, a une seule paire de côtés parallèles.)

Aucun de ces énoncés n'est nécessairement vrai.
Au moins un des quatre morceaux est un parallélogramme.
Chacun des quatre morceaux est un trapèze.
Chacun des quatre morceaux a au moins une paire de côtés parallèles.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D Chacun des quatre morceaux a au moins une paire de côtés parallèles.

Corrigé :

PQ \parallel AD \parallel BC

chaque morceau a un côté sur $AD$ ou sur $BC$ , et le côté qui lui fait face est porté par $PQ$

\text{au moins une paire parallèle}

pour chacun des quatre morceaux, quelle que soit la position de $RS$

RS \parallel AB \;\Rightarrow\; \text{quatre parallélogrammes}

donc « trapèze » (une seule paire) n'est pas garanti ; et $RS$ oblique ne donne aucun parallélogramme

La bonne réponse : « Chacun des quatre morceaux a au moins une paire de côtés parallèles ». « Chacun des quatre morceaux est un trapèze » oublie le cas $RS \parallel AB$ : les morceaux ont alors deux paires de côtés parallèles, ce sont des parallélogrammes, et un trapèze n'en a qu'une seule. « Au moins un des quatre morceaux est un parallélogramme » suppose $RS \parallel AB$ : si $RS$ est oblique, aucun morceau n'a deux paires de côtés parallèles. « Aucun de ces énoncés n'est nécessairement vrai » garde le réflexe des segments sans parallèle imposé : ici $PQ \parallel AD$ donne une paire à chaque morceau.

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Exercice 10

Le trapèze $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) est inscrit dans un cercle. On sait que $\widehat{ADC} = 115^\circ$ et que $\widehat{ABD} = 30^\circ$ . Que vaut $\widehat{DAC}$ ?

$85^\circ$
$65^\circ$
$35^\circ$
$30^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $35^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{DAB} &= 180^\circ - 115^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

les deux angles adjacents au côté $AD$ sont supplémentaires, car $AB \parallel DC$

\begin{aligned}\widehat{ABC} &= \widehat{DAB} \\ &= 65^\circ\end{aligned}

un trapèze inscrit dans un cercle est isocèle

\begin{aligned}\widehat{DBC} &= 65^\circ - 30^\circ \\ &= 35^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}\widehat{DAC} &= \widehat{DBC} \\ &= 35^\circ\end{aligned}

deux angles inscrits qui interceptent le même arc $DC$

La bonne réponse : « $35^\circ$ ». « $30^\circ$ » recopie l'angle donné, ou lit l'angle sur la figure. « $85^\circ$ » prend $\widehat{ABC} = 115^\circ$ en recopiant l'angle donné, sans passer au supplémentaire : $115^\circ - 30^\circ$ . « $65^\circ$ » donne l'angle entier $\widehat{DAB}$ : la diagonale $AC$ le coupe.

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Exercices

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