Série 4 — Mettre en équation · Quadrilatères · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Le réflexe de cette série : une information, une équation. Le demi-périmètre donne la somme des côtés, l'angle donne leur rapport, la tangence place le centre. Pour « nécessairement vrai », cherchez la figure qui fait tomber chaque affirmation avant de cocher.

Exercices

Exercice 1

Dans le rectangle $ABCD$ , la diagonale $AC$ mesure $12$ et fait un angle de $30^\circ$ avec le côté $AB$ . Quelle est l'aire du rectangle ?

$36\sqrt{3}$
$72$
$72\sqrt{3}$
$18\sqrt{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $36\sqrt{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}BC &= 12 \sin 30^\circ \\ &= 6\end{aligned}

triangle $ABC$ , rectangle en $B$ : face à l'angle de $30^\circ$ , un côté égal à $\frac{AC}{2}$

\begin{aligned}AB &= 12 \cos 30^\circ \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= AB \times BC \\ &= 36\sqrt{3}\end{aligned}

La bonne réponse : « $36\sqrt{3}$ ». « $18\sqrt{3}$ » donne l'aire du triangle $ABC$ : la diagonale coupe le rectangle en deux moitiés. « $72$ » multiplie la diagonale par le petit côté, $12 \times 6$ : la diagonale n'est pas un côté. « $72\sqrt{3}$ » inverse le rapport entre hypoténuse et cathète : $AB = 12\sqrt{3}$ serait plus long que la diagonale.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Le rectangle $ABCD$ a pour côtés $AB = 12$ et $BC = 8$ . Le point $K$ est le milieu du côté $DC$ ; le point $M$ , à l'intérieur du rectangle, est sur la perpendiculaire à $AB$ menée par $K$ . Les points $L$ , sur $AD$ , et $N$ , sur $BC$ , sont tels que $LN \parallel AB$ , et $KLMN$ est un deltoïde d'aire $36$ . À quelle distance du côté $AB$ se trouve le point $M$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $2$

Corrigé :

\begin{aligned}LN &= AB \\ &= 12\end{aligned}

$L$ et $N$ sont sur deux côtés opposés, et $LN \parallel AB$

\begin{aligned}\dfrac{12 \times KM}{2} &= 36 \;\Rightarrow\; KM \\ &= 6\end{aligned}

l'aire d'un deltoïde : la moitié du produit des diagonales, perpendiculaires

8 - 6 = 2

$K$ est sur $DC$ , à $8$ de $AB$ ; $M$ est $6$ plus bas

La bonne réponse : « $2$ ». « $6$ » est la longueur de la diagonale $KM$ : il reste à la retrancher de la hauteur $BC$ . « $5$ » oublie la moitié dans l'aire du deltoïde : $12 \times KM = 36$ donne $KM = 3$ , puis $8 - 3$ . « $3$ » fait la même erreur et s'arrête à $KM = 3$ .

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Exercice 3

Un trapèze est dessiné dans un carré de côté $10$ : sa petite base, de longueur $4$ , est posée sur un côté du carré, et sa grande base sur le côté opposé. Quelle est la plus grande aire possible de ce trapèze ?

$100$
$70$
$140$
$28$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $70$

Corrigé :

h = 10

les bases sont sur deux côtés opposés du carré : la hauteur est le côté

B \le 10

la grande base tient sur un côté du carré : l'aire est la plus grande quand elle le couvre entier

\begin{aligned}S_{\max} &= \dfrac{(10 + 4) \times 10}{2} \\ &= 70\end{aligned}

La bonne réponse : « $70$ ». « $140$ » oublie de diviser par deux dans la formule du trapèze. « $28$ » prend la petite base, $4$ , pour la hauteur. « $100$ » prend l'aire du carré entier : le trapèze ne remplit jamais le carré, puisque sa petite base mesure $4$ .

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Exercice 4

Dans le parallélogramme $ABCD$ , $AD = a$ et $AB = a + b$ . Le point $E$ est sur le côté $AB$ , avec $EB = b$ . On sait que $\widehat{DAB} = 70^\circ$ . Que vaut $\widehat{CDE}$ ?

$110^\circ$
$125^\circ$
$55^\circ$
$70^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $55^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}AE &= (a + b) - b \\ &= a \\ &= AD\end{aligned}

le triangle $ADE$ est isocèle en $A$

\begin{aligned}\widehat{AED} &= \widehat{ADE} \\ &= \dfrac{180^\circ - 70^\circ}{2} \\ &= 55^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}\widehat{CDE} &= \widehat{AED} \\ &= 55^\circ\end{aligned}

angles alternes-internes, car $DC \parallel AB$

La bonne réponse : « $55^\circ$ ». « $70^\circ$ » recopie l'angle donné, sans voir le triangle isocèle. « $110^\circ$ » donne l'angle entier $\widehat{ADC} = 180^\circ - 70^\circ$ : le segment $DE$ le coupe. « $125^\circ$ » donne l'angle $\widehat{DEB}$ , supplémentaire de $\widehat{AED}$ , au lieu de son alterne-interne.

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Exercice 5

Le carré $ABCD$ a pour côté $12$ . Un cercle de rayon $5$ , à l'intérieur du carré, est tangent aux côtés $AB$ et $AD$ . Quelle est la distance entre le centre du cercle et le sommet $C$ ?

$12\sqrt{2} - 5$
$\sqrt{193}$
$7$
$7\sqrt{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $7\sqrt{2}$

Corrigé :

O = (5,\ 5)

dans un repère d'origine $A$ : le centre est à $5$ de chacun des deux côtés tangents

\begin{aligned}OC &= \sqrt{(12 - 5)^2 + (12 - 5)^2} \\ &= 7\sqrt{2}\end{aligned}

La bonne réponse : « $7\sqrt{2}$ ». « $12\sqrt{2} - 5$ » retranche le rayon de la diagonale : le centre est bien sur la diagonale $AC$ , mais à $5\sqrt{2}$ de $A$ , pas à $5$ . « $\sqrt{193}$ » place le centre sur le côté $AD$ , en $(0,\,5)$ : $\sqrt{12^2 + 7^2}$ . « $7$ » ne garde qu'un des deux écarts, horizontal ou vertical.

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Exercice 6

Dans le quadrilatère convexe $ABCD$ , les triangles $ABC$ et $ABD$ ont la même aire. Lequel des énoncés suivants est nécessairement vrai ?

Les diagonales $AC$ et $BD$ sont égales.
$ABCD$ est un parallélogramme.
$DC \parallel AB$
$AD = BC$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $DC \parallel AB$

Corrigé :

\begin{aligned}S_{ABC} &= \dfrac{AB \times h_C}{2} \\ \quad S_{ABD} &= \dfrac{AB \times h_D}{2}\end{aligned}

les deux triangles ont la même base $AB$

h_C = h_D

même aire, donc même hauteur ; le quadrilatère étant convexe, $C$ et $D$ sont du même côté de $AB$

DC \parallel AB

deux points à la même distance de $AB$ , du même côté, sont sur une parallèle à $AB$

La bonne réponse : « $DC \parallel AB$ ». « $ABCD$ est un parallélogramme » ajoute une propriété que la figure suggère : rien n'impose $DC = AB$ , et un trapèze convient aussi. « $AD = BC$ » n'est vrai que pour un trapèze isocèle (ou un parallélogramme). « Les diagonales $AC$ et $BD$ sont égales » n'est vrai que pour un trapèze isocèle ou un rectangle, pas en général.

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Exercice 7

Dans un repère, $ABCD$ est un trapèze, avec $AB \parallel DC$ . On connaît $A(0,\,0)$ , $B(10,\,0)$ et $D(3,\,6)$ . Le sommet $C$ est sur la droite qui passe par $B$ et par le point $E(8,\,3)$ . Quelle est l'aire du trapèze ?

$39$
$78$
$48$
$42$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $39$

Corrigé :

y_C = 6

$DC \parallel AB$ : $C$ a l'ordonnée de $D$

\begin{aligned}\text{pente de } (BE) &= \dfrac{3 - 0}{8 - 10} \\ &= -\dfrac{3}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}-\tfrac{3}{2}(x_C - 10) &= 6 \;\Rightarrow\; x_C \\ &= 6\end{aligned}

donc $C(6,\,6)$

\begin{aligned}DC &= 6 - 3 \\ &= 3 \\ \quad AB &= 10 \\ \quad h &= 6\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \dfrac{(10 + 3) \times 6}{2} \\ &= 39\end{aligned}

La bonne réponse : « $39$ ». « $42$ » suppose le trapèze symétrique : $C$ serait en $(7,\,6)$ et $DC = 4$ . « $78$ » oublie de diviser par deux dans la formule du trapèze. « $48$ » prend l'abscisse de $C$ , $6$ , pour la longueur de $DC$ .

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Exercice 8

Dans le trapèze isocèle $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ , $AB$ la grande base), les côtés obliques mesurent $AD = BC = 2a$ , la petite base $DC = a$ , et $\widehat{DAB} = 60^\circ$ . Quelle est l'aire du trapèze ?

$2\sqrt{3}\,a^2$
$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2$
$4a^2$
$4\sqrt{3}\,a^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $2\sqrt{3}\,a^2$

Corrigé :

\begin{aligned}h &= 2a \sin 60^\circ \\ &= a\sqrt{3}\end{aligned}

la hauteur issue de $D$ découpe un triangle $30$ - $60$ - $90$

2a \cos 60^\circ = a

la projection de chaque côté oblique sur la grande base

\begin{aligned}AB &= a + a + a \\ &= 3a\end{aligned}

la petite base et les deux projections

\begin{aligned}S &= \dfrac{(3a + a) \times a\sqrt{3}}{2} \\ &= 2\sqrt{3}\,a^2\end{aligned}

La bonne réponse : « $2\sqrt{3}\,a^2$ ». « $4a^2$ » prend le côté oblique $2a$ pour la hauteur : une réponse sans racine signale l'erreur. « $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2$ » n'ajoute qu'une des deux projections : $AB = 2a$ . « $4\sqrt{3}\,a^2$ » oublie de diviser par deux dans la formule du trapèze.

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Exercice 9

Dans le rectangle $ABCD$ , on trace deux segments : l'un joint un point du côté $AB$ à un point du côté $DC$ , l'autre joint un point du côté $AD$ à un point du côté $BC$ . Aucun des deux ne passe par un sommet. Ils découpent le rectangle en quatre morceaux. Lequel des énoncés suivants est nécessairement vrai ? (Un trapèze, ici, a une seule paire de côtés parallèles.)

Aucun de ces trois énoncés n'est nécessairement vrai.
Au moins un des quatre morceaux est un parallélogramme.
Si les deux segments sont perpendiculaires, les quatre morceaux sont des rectangles.
Au moins un des quatre morceaux est un trapèze.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Aucun de ces trois énoncés n'est nécessairement vrai.

Corrigé :

\text{segments obliques}

si aucun segment n'est parallèle à un côté, chaque morceau a deux côtés portés par le rectangle (perpendiculaires entre eux) et deux côtés portés par les segments

\text{aucune paire parallèle}

le côté du rectangle et le segment qui lui fait face ne sont pas parallèles : ni trapèze, ni parallélogramme

\text{segments perpendiculaires et inclinés}

le même découpage, avec un angle droit au croisement : toujours aucun rectangle

La bonne réponse : « Aucun de ces trois énoncés n'est nécessairement vrai ». « Au moins un des quatre morceaux est un trapèze » imagine un segment parallèle à un côté du rectangle : rien ne l'impose. « Si les deux segments sont perpendiculaires, les quatre morceaux sont des rectangles » oublie que deux segments perpendiculaires peuvent être tous deux inclinés : aucun ne longe alors un côté, et aucun morceau n'est un rectangle. « Au moins un des quatre morceaux est un parallélogramme » un morceau n'a deux paires de côtés parallèles que si les deux segments sont parallèles aux côtés du rectangle.

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Exercice 10

Le quadrilatère convexe $ABCD$ a pour côtés $AB = 6$ , $BC = 5$ , $CD = 4$ et $DA = 3$ . Lequel des énoncés suivants est nécessairement vrai ?

$AC < BD$
$BD < 7$
$AC < 7$
Aucun de ces énoncés n'est nécessairement vrai : la forme du quadrilatère n'est pas fixée.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $AC < 7$

Corrigé :

\begin{aligned}AC < AD + DC &= 3 + 4 \\ &= 7\end{aligned}

inégalité triangulaire dans le triangle $ADC$

AC < AB + BC = 11

l'autre triangle donne une borne moins forte : on garde la plus petite

La bonne réponse : « $AC < 7$ ». « $BD < 7$ » applique la borne de $AC$ à l'autre diagonale : $BD$ n'est bornée que par $BA + AD = 9$ et $BC + CD = 9$ , et elle peut dépasser $7$ . « $AC < BD$ » lit la figure : selon la forme, l'une ou l'autre des diagonales est la plus longue. « Aucun de ces énoncés n'est nécessairement vrai : la forme du quadrilatère n'est pas fixée » croit qu'une forme quelconque empêche toute conclusion : l'inégalité triangulaire vaut pour toute forme.

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Exercices

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