Série 3 — Figures emboîtées · Quadrilatères · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Le réflexe : exprimez tout avec une seule lettre (le côté du carré, le rayon, $S$ ), puis comparez. Et retenez la frontière : deux triangles de même hauteur ont des aires dans le rapport de leurs bases ; deux figures semblables, dans le carré du rapport.

Exercices

Exercice 1

Un parallélogramme a des côtés de longueurs $a$ et $2a$ , et l'un de ses angles mesure $150^\circ$ . Quelle est son aire ?

$\dfrac{10a^2}{3}$
$\dfrac{a^2}{2}$
$2a^2$
$a^2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $a^2$

Corrigé :

180^\circ - 150^\circ = 30^\circ

l'angle aigu du parallélogramme

\begin{aligned}h &= a \sin 30^\circ \\ &= \dfrac{a}{2}\end{aligned}

la hauteur sur le côté $2a$ , dans le triangle rectangle d'hypoténuse $a$

\begin{aligned}S &= 2a \times \dfrac{a}{2} \\ &= a^2\end{aligned}

La bonne réponse : « $a^2$ ». « $2a^2$ » multiplie les deux côtés : c'est l'aire d'un rectangle ; sans angle droit, l'aire est plus petite. « $\dfrac{10a^2}{3}$ » rend l'aire proportionnelle à l'angle, $2a^2 \times \frac{150}{90}$ : l'aire dépasserait celle du rectangle, ce qui est impossible. « $\dfrac{a^2}{2}$ » divise encore par deux comme pour un triangle : $\frac{1}{2} \times a \times 2a \times \sin 30^\circ$ est l'aire de la moitié du parallélogramme.

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Exercice 2

Le rectangle $ABCD$ a pour côtés $AB = a$ et $BC = 2b$ . On construit, à l'extérieur, un carré sur chacun de ses quatre côtés. La somme des aires des quatre carrés est égale à l'aire d'un carré de côté $4b$ . Laquelle des relations suivantes est juste ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$a = 2\sqrt{3}\,b$
$b = 2a$
$a = 2b$
$a = \sqrt{6}\,b$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $a = 2b$

Corrigé :

2a^2 + 2(2b)^2 = (4b)^2

deux carrés de côté $a$ et deux carrés de côté $2b$

\begin{aligned}2a^2 + 8b^2 &= 16b^2 \;\Rightarrow\; a^2 \\ &= 4b^2\end{aligned}

a = 2b

La bonne réponse : « $a = 2b$ ». « $a = \sqrt{6}\,b$ » oublie d'élever au carré le $2$ de $2b$ : $2a^2 + 2 \times 2b^2 = 16b^2$ . « $a = 2\sqrt{3}\,b$ » ne compte qu'un carré par longueur de côté : $a^2 + 4b^2 = 16b^2$ ; un rectangle a deux côtés de chaque longueur. « $b = 2a$ » isole le rapport à l'envers : comme $a^2 = 4b^2$ , c'est $a$ qui est le double de $b$ .

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Exercice 3

Le carré $ABCD$ a pour côté $s$ . On prolonge $AB$ au-delà de $B$ jusqu'au point $E$ , avec $BE = 2s$ , puis on construit le triangle $AEF$ , rectangle et isocèle en $A$ , avec $F$ sur la demi-droite $AD$ . Combien de fois l'aire du triangle $AEF$ contient-elle l'aire du carré ?

$3$
$9$
$4{,}5$
$2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $4{,}5$

Corrigé :

\begin{aligned}AE &= AB + BE \\ &= s + 2s \\ &= 3s\end{aligned}

toutes les longueurs en côtés du carré

\begin{aligned}AF &= AE \\ &= 3s\end{aligned}

le triangle est isocèle en $A$

\begin{aligned}S_{AEF} &= \dfrac{3s \times 3s}{2} \\ &= 4{,}5\,s^2\end{aligned}

et l'aire du carré est $s^2$

La bonne réponse : « $4{,}5$ ». « $2$ » prend $AE = 2s$ : oublie d'ajouter le côté du carré, $AB$ , à $BE$ . « $9$ » oublie de diviser par deux l'aire du triangle. « $3$ » compare les longueurs, $\frac{AE}{AB} = 3$ : le rapport des aires n'est pas celui des côtés.

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Exercice 4

Dans le trapèze $ABCD$ , $AB \parallel DC$ et $AB = 3\,DC$ . On trace la diagonale $AC$ . L'aire du triangle $ABC$ vaut $S$ . Quelle est l'aire du trapèze ?

$2S$
$\dfrac{10S}{9}$
$\dfrac{4S}{3}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\dfrac{4S}{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}\dfrac{S_{ADC}}{S_{ABC}} &= \dfrac{DC}{AB} \\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned}

les deux triangles ont la même hauteur, celle du trapèze

\begin{aligned}S_{ABCD} &= S + \dfrac{S}{3} \\ &= \dfrac{4S}{3}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\dfrac{4S}{3}$ ». « $2S$ » croit les deux triangles de même aire : cela ne vaut que pour des triangles sur une même base. « $\dfrac{10S}{9}$ » élève le rapport des bases au carré, comme pour des triangles semblables : $S + \frac{S}{9}$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » pense qu'il faut la hauteur ou les longueurs des bases : seul leur rapport compte.

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Exercice 5

Deux prismes droits ont le même volume et la même hauteur. La base du premier est un carré de côté $12$ ; la base du second est un rectangle dont un côté mesure $8$ . Comparez les périmètres des deux bases.

Le périmètre de la base du premier est plus grand.
Le périmètre de la base du premier est plus petit.
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
Les deux périmètres sont égaux.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B Le périmètre de la base du premier est plus petit.

Corrigé :

V = S_{\text{base}} \times h

même volume et même hauteur : les deux bases ont la même aire

\begin{aligned}12^2 &= 144 \\ \quad 144 \div 8 &= 18\end{aligned}

l'autre côté du rectangle

\begin{aligned}4 \times 12 &= 48 \;<\; 2(8 + 18) \\ &= 52\end{aligned}

La bonne réponse : « Le périmètre de la base du premier est plus petit ». « Le périmètre de la base du premier est plus grand » compare les côtés connus, $12 > 8$ , au lieu de calculer l'autre côté du rectangle. « Les deux périmètres sont égaux » suppose qu'à aire égale le périmètre est égal, ou la seconde base carrée elle aussi : parmi les rectangles d'une aire donnée, le carré a le plus petit périmètre. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il manque une donnée : l'égalité des volumes et des hauteurs donne l'aire de la seconde base.

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Exercice 6

On trace deux droites parallèles. Le triangle $ABC$ a son sommet $A$ sur la première droite et sa base $BC$ sur la seconde ; le triangle $DEF$ a son sommet $D$ sur la seconde droite et sa base $EF$ sur la première. On sait que $AB = AC = DE = DF$ et que $\widehat{ABC} = \alpha$ . Lequel des énoncés suivants est nécessairement vrai ?

$\widehat{EDF} = 180^\circ - \alpha$
$\alpha = 60^\circ$
$\widehat{EDF} = \alpha$
$\widehat{EDF} = 180^\circ - 2\alpha$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\widehat{EDF} = 180^\circ - 2\alpha$

Corrigé :

\begin{aligned}h_{ABC} &= h_{DEF} \\ &= h\end{aligned}

les deux hauteurs sont la distance entre les deux droites

\begin{aligned}\sin \widehat{DEF} &= \dfrac{h}{DE} \\ &= \dfrac{h}{AB} \\ &= \sin \alpha\end{aligned}

dans chaque triangle isocèle, la hauteur et un côté égal forment un triangle rectangle

\begin{aligned}\widehat{DEF} &= \alpha \;\Rightarrow\; \widehat{EDF} \\ &= 180^\circ - 2\alpha\end{aligned}

les angles de base d'un triangle isocèle sont aigus, donc égaux ici

La bonne réponse : « $\widehat{EDF} = 180^\circ - 2\alpha$ ». « $\widehat{EDF} = \alpha$ » confond l'angle au sommet $\widehat{EDF}$ avec un angle de base. « $\widehat{EDF} = 180^\circ - \alpha$ » ne retire qu'un angle de base : le triangle en a deux. « $\alpha = 60^\circ$ » suppose les triangles équilatéraux : rien ne dit que la base égale les deux autres côtés.

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Exercice 7

Les diagonales du losange $ABCD$ mesurent $AC = 16$ et $BD = 12$ . On joint les milieux des côtés $AB$ et $AD$ , puis les milieux des côtés $CB$ et $CD$ , et l'on retire du losange les deux petits triangles ainsi coupés aux sommets $A$ et $C$ . Quelle est l'aire de la partie restante, ombrée sur la figure ?

$144$
$72$
$84$
$48$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $72$

Corrigé :

\begin{aligned}S &= \dfrac{16 \times 12}{2} \\ &= 96\end{aligned}

l'aire du losange

\begin{aligned}S_{ABD} &= \dfrac{96}{2} \\ &= 48\end{aligned}

la diagonale $BD$ coupe le losange en deux moitiés

\dfrac{48}{4} = 12

chaque petit triangle est semblable à une moitié du losange, de rapport $\frac{1}{2}$ : son aire en est le quart

96 - 2 \times 12 = 72

La bonne réponse : « $72$ ». « $48$ » prend le rapport des aires égal au rapport des côtés, $\frac{1}{2}$ : chaque petit triangle vaudrait $24$ . « $84$ » ne retire qu'un des deux petits triangles. « $144$ » oublie de diviser le produit des diagonales par deux : $192 - 2 \times 24$ .

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Exercice 8

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ , avec $BC = a$ et $AC = b$ . Le carré $CDEF$ est construit dans le triangle : $D$ est sur $AC$ , $F$ sur $BC$ , et le sommet $E$ sur l'hypoténuse $AB$ . Quelle est la longueur du côté du carré ?

$\dfrac{ab}{a + b}$
$\dfrac{a^2}{a + b}$
$\dfrac{a + b}{ab}$
$\dfrac{b^2}{a + b}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{ab}{a + b}$

Corrigé :

\begin{aligned}AD &= b - s \\ \quad DE &= s\end{aligned}

$s$ est le côté du carré ; le petit triangle $ADE$ est rectangle en $D$

\begin{aligned}\dfrac{AD}{DE} &= \dfrac{AC}{CB} \;\Rightarrow\; \dfrac{b - s}{s} \\ &= \dfrac{b}{a}\end{aligned}

$ADE$ et $ACB$ sont semblables, car $DE \parallel CB$

\begin{aligned}a(b - s) &= bs \;\Rightarrow\; s \\ &= \dfrac{ab}{a + b}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\dfrac{ab}{a + b}$ ». « $\dfrac{b^2}{a + b}$ » apparie mal les côtés homologues dans le triangle $ADE$ : $\frac{b - s}{s} = \frac{a}{b}$ associe $AD$ à $CB$ . « $\dfrac{a^2}{a + b}$ » fait la même erreur dans le triangle $EFB$ : $\frac{a - s}{s} = \frac{b}{a}$ . « $\dfrac{a + b}{ab}$ » renverse la bonne fraction : son unité est l'inverse d'une longueur.

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Exercice 9

Dans le quadrilatère $ABCD$ , les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ADC}$ sont droits. On sait que $AB = a$ , $BC = b$ et $CD = 2a$ . Quelle est la longueur de $AD$ ?

$\sqrt{b^2 + 3a^2}$
$\sqrt{a^2 + b^2}$
$\sqrt{b^2 - 3a^2}$
$a\sqrt{5}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\sqrt{b^2 - 3a^2}$

Corrigé :

AC^2 = a^2 + b^2

Pythagore dans le triangle $ABC$ , rectangle en $B$

\begin{aligned}AD^2 &= AC^2 - CD^2 \\ &= a^2 + b^2 - 4a^2\end{aligned}

Pythagore dans le triangle $ADC$ , rectangle en $D$ : $AC$ est l'hypoténuse commune

AD = \sqrt{b^2 - 3a^2}

La bonne réponse : « $\sqrt{b^2 - 3a^2}$ ». « $\sqrt{b^2 + 3a^2}$ » ajoute $CD^2$ au lieu de le retrancher : $AC$ est l'hypoténuse, le plus long côté du triangle $ADC$ . « $a\sqrt{5}$ » applique Pythagore à $AB$ , $CD$ et $AD$ , trois segments qui ne forment pas un triangle. « $\sqrt{a^2 + b^2}$ » est la longueur de la diagonale $AC$ , pas celle du côté $AD$ .

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Exercice 10

Le cercle de centre $O$ a pour rayon $r$ . Les points $A$ , $B$ et $C$ sont sur le cercle, et le quadrilatère $OACB$ est un parallélogramme. Que vaut $\widehat{AOB}$ ?

Il peut prendre une infinité de valeurs.
$90^\circ$
$60^\circ$
$120^\circ$

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Réponse : D $120^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= r\end{aligned}

deux côtés consécutifs du parallélogramme sont des rayons : c'est un losange de côté $r$

OC = r

la diagonale $OC$ est aussi un rayon

\begin{aligned}\widehat{AOC} &= \widehat{COB} \\ &= 60^\circ\end{aligned}

les triangles $OAC$ et $OCB$ ont trois côtés égaux à $r$ : ils sont équilatéraux

\widehat{AOB} = 120^\circ

La bonne réponse : « $120^\circ$ ». « $60^\circ$ » ne garde qu'un des deux triangles équilatéraux : c'est $\widehat{AOC}$ . « $90^\circ$ » imagine un carré : sa diagonale $OC$ vaudrait $r\sqrt{2}$ , et $C$ sortirait du cercle. « Il peut prendre une infinité de valeurs » croit que $A$ et $B$ se placent librement : la condition « $C$ sur le cercle » fixe l'angle.

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Exercices

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