Série 2 — Hauteurs communes et coordonnées · Quadrilatères · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Le réflexe de cette série : cherchez la hauteur commune. Deux triangles dont les sommets sont sur deux mêmes parallèles ont la même hauteur, et leurs aires sont dans le rapport de leurs bases ; un rapport de longueurs ne s'élève au carré que pour des figures semblables.

Exercices

Exercice 1

Dans le parallélogramme $ABCD$ , $AB = 10$ , $AD = 6\sqrt{2}$ et $\widehat{DAB} = 45^\circ$ . Quelle est l'aire du parallélogramme ?

$60\sqrt{2}$
$60$
$30\sqrt{2}$
$30$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $60$

Corrigé :

\begin{aligned}h &= \dfrac{AD}{\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= 6\end{aligned}

la hauteur issue de $D$ découpe un triangle rectangle isocèle (angle de $45^\circ$ ) : l'hypoténuse $AD$ vaut la cathète fois $\sqrt{2}$

\begin{aligned}S &= AB \times h \\ &= 10 \times 6 \\ &= 60\end{aligned}

La bonne réponse : « $60$ ». « $60\sqrt{2}$ » multiplie les deux côtés sans passer par la hauteur. « $30$ » divise par deux comme pour un triangle. « $30\sqrt{2}$ » prend la hauteur égale à la moitié de $AD$ , $3\sqrt{2}$ : c'est la règle de l'angle de $30^\circ$ , pas celle de $45^\circ$ .

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Exercice 2

Dans le trapèze $ABCD$ , $AB \parallel DC$ , $AB = a$ et $DC = b$ . Le point $P$ est sur le côté $DC$ , et le point $Q$ sur le côté $AB$ . Quel est le rapport entre l'aire du triangle $ABP$ et l'aire du triangle $DCQ$ ?

On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$\dfrac{a^2}{b^2}$
$1$
$\dfrac{a}{b}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\dfrac{a}{b}$

Corrigé :

\begin{aligned}S_{ABP} &= \dfrac{a\,h}{2} \\ \quad S_{DCQ} &= \dfrac{b\,h}{2}\end{aligned}

la hauteur de chaque triangle est la distance entre les deux bases : la hauteur $h$ du trapèze

\dfrac{S_{ABP}}{S_{DCQ}} = \dfrac{a}{b}

$h$ se simplifie

La bonne réponse : « $\dfrac{a}{b}$ ». « $\dfrac{a^2}{b^2}$ » élève le rapport au carré comme pour des triangles semblables : ces deux triangles ne sont pas semblables, ils ont la même hauteur. « $1$ » croit les aires égales parce que les triangles sont « entre les mêmes parallèles » : cela ne vaut que pour une même base. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » pense qu'il manque la hauteur : elle est commune aux deux triangles et disparaît du rapport.

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Exercice 3

Dans un repère, $ABCD$ est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. Le sommet $A$ est le point $(-3,\,1)$ ; le sommet opposé, $C$ , a pour abscisse $5$ et se trouve au-dessus de $A$ . Le côté horizontal est deux fois plus long que le côté vertical, et le sommet $D$ est au-dessus de $A$ . Quelles sont les coordonnées de $D$ ?

$(-3,\,9)$
$(-3,\,17)$
$(-3,\,5)$
$(5,\,5)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(-3,\,5)$

Corrigé :

5 - (-3) = 8

le côté horizontal : l'écart entre les abscisses de $A$ et de $C$

8 \div 2 = 4

le côté vertical

\begin{aligned}D &= (-3,\ 1 + 4) \\ &= (-3,\ 5)\end{aligned}

$D$ a l'abscisse de $A$ et l'ordonnée de $C$

La bonne réponse : « $(-3,\,5)$ ». « $(5,\,5)$ » est le sommet $C$ : il a la bonne ordonnée, mais $D$ a l'abscisse de $A$ . « $(-3,\,17)$ » inverse le rapport : le côté vertical vaudrait $16$ , deux fois l'horizontal. « $(-3,\,9)$ » prend le côté vertical égal au côté horizontal, $8$ , comme dans un carré.

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Exercice 4

Un rectangle a une largeur $x$ et une longueur $4x$ . On allonge la longueur de $20\,\%$ et on raccourcit la largeur de $20\,\%$ . Comment son périmètre change-t-il ?

Il diminue de $12\,\%$ .
Il diminue de $4\,\%$ .
Il augmente de $12\,\%$ .
Il ne change pas.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C Il augmente de $12\,\%$ .

Corrigé :

\begin{aligned}P &= 2(4x + x) \\ &= 10x\end{aligned}

le périmètre de départ

\begin{aligned}P' &= 2(4{,}8x + 0{,}8x) \\ &= 11{,}2x\end{aligned}

la longueur allongée de $20\,\%$ , la largeur raccourcie de $20\,\%$

\dfrac{11{,}2x}{10x} = 1{,}12

une hausse de $12\,\%$ : la moyenne des deux changements, pondérée par $4$ et $1$

La bonne réponse : « Il augmente de $12\,\%$ ». « Il diminue de $4\,\%$ » multiplie les deux facteurs, $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$ : c'est le changement de l'aire, pas du périmètre. « Il ne change pas » ajoute $+20\,\%$ et $-20\,\%$ sans les pondérer : la longueur pèse quatre fois plus que la largeur. « Il diminue de $12\,\%$ » inverse les poids, $\frac{1{,}2 + 4 \times 0{,}8}{5} = 0{,}88$ : c'est la largeur qui a été comptée quatre fois.

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Exercice 5

Dans le trapèze isocèle $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ), les diagonales $AC$ et $BD$ se coupent en $O$ . On sait que $\widehat{BDC} = 30^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{AOD}$ ?

$90^\circ$
$60^\circ$
$120^\circ$
$30^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $60^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ABD} &= \widehat{BDC} \\ &= 30^\circ\end{aligned}

angles alternes-internes, car $AB \parallel DC$

\begin{aligned}\widehat{BAC} &= \widehat{ABD} \\ &= 30^\circ\end{aligned}

le trapèze isocèle est symétrique par rapport à la médiatrice des bases

\begin{aligned}x &= \widehat{OAB} + \widehat{OBA} \\ &= 30^\circ + 30^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

angle extérieur du triangle $AOB$

La bonne réponse : « $60^\circ$ ». « $120^\circ$ » est l'angle intérieur $\widehat{AOB}$ du triangle $AOB$ : $x$ est son supplémentaire. « $30^\circ$ » recopie l'angle donné. « $90^\circ$ » suppose les diagonales perpendiculaires, comme dans un losange : rien ne l'impose dans un trapèze.

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Exercice 6

Dans un repère, les points $A(6,\,0)$ , $B(0,\,4)$ , $C(-6,\,0)$ et $D(0,\,-4)$ sont les sommets d'un losange. Quelle est l'aire de ce losange ?

$48$
$96$
$52$
$24$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $48$

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= 6 - (-6) \\ &= 12 \\ \quad BD &= 4 - (-4) \\ &= 8\end{aligned}

les deux diagonales sont sur les axes

\begin{aligned}S &= \dfrac{AC \times BD}{2} \\ &= \dfrac{12 \times 8}{2} \\ &= 48\end{aligned}

les diagonales d'un losange sont perpendiculaires

La bonne réponse : « $48$ ». « $24$ » multiplie les demi-diagonales, $6 \times 4$ , comme si c'étaient les côtés d'un rectangle. « $96$ » oublie de diviser le produit des diagonales par deux. « $52$ » élève le côté au carré, $6^2 + 4^2 = 52$ , comme pour un carré : un losange qui n'est pas un carré a une aire plus petite que le carré de son côté.

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Exercice 7

Deux prismes droits ont le même volume et la même hauteur. La base du premier est un carré de côté $6$ ; la base du second est un rectangle de périmètre $26$ . Quelle est la longueur du plus long côté de la base du second prisme ?

$9$
$6{,}5$
$4$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $9$

Corrigé :

V = S_{\text{base}} \times h

même volume et même hauteur : les deux bases ont la même aire, $6^2 = 36$

\begin{aligned}x + y &= \dfrac{26}{2} \\ &= 13 \\ \quad xy &= 36\end{aligned}

le demi-périmètre et l'aire du rectangle

\begin{aligned}x &= 9 \\ \quad y &= 4\end{aligned}

les deux nombres de somme $13$ et de produit $36$

La bonne réponse : « $9$ ». « $6{,}5$ » suppose la seconde base carrée elle aussi : $26 \div 4$ ; mais un carré de côté $6{,}5$ n'a pas l'aire $36$ . « $4$ » est le plus court des deux côtés. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il manque la hauteur ou le volume : leur égalité suffit à donner l'aire de la seconde base.

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Exercice 8

Le périmètre du rectangle $ABCD$ est $2a$ . La diagonale $AC$ fait un angle de $30^\circ$ avec le plus long côté, $AB$ . Quelle est la longueur du plus court côté, $BC$ ?

$\dfrac{a(\sqrt{3} - 1)}{2}$
$\dfrac{a}{3}$
$\dfrac{a(3 - \sqrt{3})}{2}$
$a(\sqrt{3} - 1)$

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Réponse : A $\dfrac{a(\sqrt{3} - 1)}{2}$

Corrigé :

AB = \sqrt{3}\,BC

dans le triangle rectangle $ABC$ , l'angle de $30^\circ$ fait face à $BC$ : $\tan 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

AB + BC = a

le demi-périmètre

\begin{aligned}BC(\sqrt{3} + 1) &= a \;\Rightarrow\; BC \\ &= \dfrac{a}{\sqrt{3} + 1} \\ &= \dfrac{a(\sqrt{3} - 1)}{2}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\dfrac{a(\sqrt{3} - 1)}{2}$ ». « $\dfrac{a(3 - \sqrt{3})}{2}$ » inverse le rapport des côtés : c'est la longueur de $AB$ , le plus long côté. « $a(\sqrt{3} - 1)$ » écrit $AB + BC = 2a$ : $2a$ est le périmètre entier, la somme de deux côtés en est la moitié. « $\dfrac{a}{3}$ » prend $AB = 2\,BC$ : le rapport $2$ relie l'hypoténuse $AC$ au petit côté, pas les deux côtés du rectangle.

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Exercice 9

Le rectangle $ABCD$ a pour côtés $AB = a$ et $BC = b$ . Les points $K$ , $L$ et $N$ sont les milieux respectifs de $AD$ , $AB$ et $DC$ . Le point $M$ , à l'intérieur du rectangle, est sur la parallèle à $AB$ menée par $K$ , à une distance $\dfrac{a}{4}$ du côté $BC$ . Quelle est l'aire du deltoïde $KLMN$ ?

$\dfrac{3ab}{4}$
$\dfrac{ab}{2}$
$\dfrac{3ab}{8}$
$\dfrac{ab}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\dfrac{3ab}{8}$

Corrigé :

LN = b

la diagonale $LN$ joint les milieux de deux côtés opposés : elle est parallèle à $BC$

\begin{aligned}KM &= a - \dfrac{a}{4} \\ &= \dfrac{3a}{4}\end{aligned}

l'autre diagonale, parallèle à $AB$ , s'arrête à $\frac{a}{4}$ du côté $BC$

\begin{aligned}S &= \dfrac{KM \times LN}{2} \\ &= \dfrac{3ab}{8}\end{aligned}

les diagonales sont perpendiculaires

La bonne réponse : « $\dfrac{3ab}{8}$ ». « $\dfrac{ab}{2}$ » prend le côté entier $a$ pour la diagonale $KM$ : $M$ s'arrête avant le côté $BC$ . « $\dfrac{3ab}{4}$ » oublie la moitié : l'aire d'un deltoïde est la moitié du produit de ses diagonales. « $\dfrac{ab}{4}$ » ne mesure $KM$ que jusqu'au centre du rectangle, $\frac{a}{2}$ : $M$ est au-delà de $LN$ .

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Exercice 10

$ABCD$ est un deltoïde : $AB = AD$ et $CB = CD$ . Ses diagonales se coupent en $O$ , avec $AC = 16$ et $BD = 10$ . L'aire du triangle $ABD$ est le triple de l'aire du triangle $CBD$ . Quelle est la longueur de $AB$ ?

$13$
$\sqrt{41}$
$\sqrt{89}$
$2\sqrt{61}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $13$

Corrigé :

\begin{aligned}S_{ABD} &= \dfrac{BD \times AO}{2} \\ \quad S_{CBD} &= \dfrac{BD \times OC}{2}\end{aligned}

les deux triangles ont la base $BD$ ; les diagonales étant perpendiculaires, $AO$ et $OC$ sont leurs hauteurs

\begin{aligned}AO &= 3\,OC \\ \quad AO + OC &= 16 \;\Rightarrow\; AO \\ &= 12\end{aligned}

le rapport des aires est celui des hauteurs

\begin{aligned}BO &= \dfrac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

l'axe $AC$ du deltoïde coupe $BD$ en son milieu

\begin{aligned}AB &= \sqrt{12^2 + 5^2} \\ &= 13\end{aligned}

Pythagore dans le triangle $AOB$

La bonne réponse : « $13$ ». « $\sqrt{89}$ » coupe $AC$ en deux moitiés égales, $8$ et $8$ : cela n'arrive que si les deux aires sont égales. « $2\sqrt{61}$ » prend $BO = 10$ : $O$ est le milieu de $BD$ . « $\sqrt{41}$ » échange les deux morceaux : $\sqrt{4^2 + 5^2}$ est la longueur de $CB$ , le côté court.

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Exercices

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