Série 1 — Les gestes de base · Quadrilatères · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours avant de continuer.

Avant de calculer, nommez la longueur que vous tenez : côté, diagonale, hauteur ou côté oblique. Presque tous les pièges de cette série remplacent l'une par l'autre — la diagonale prise pour le côté, le côté oblique pris pour la hauteur.

Exercices

Exercice 1

Dans le carré $ABCD$ , la diagonale $AC$ mesure $10$ . Quelle est l'aire du carré ?

$200$
$25$
$100$
$50$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $50$

Corrigé :

\begin{aligned}AC^2 &= AB^2 + BC^2 \\ &= 2\,AB^2\end{aligned}

Pythagore dans le triangle $ABC$ , rectangle en $B$

\begin{aligned}AB^2 &= \dfrac{10^2}{2} \\ &= 50\end{aligned}

l'aire du carré est $AB^2$ : la moitié du carré de la diagonale

La bonne réponse : « $50$ ». « $100$ » prend la diagonale $10$ pour le côté : c'est l'aire du carré construit sur la diagonale, le double de la bonne. « $25$ » élève au carré la moitié de la diagonale, $5^2$ : la demi-diagonale n'est pas le côté. « $200$ » multiplie la diagonale par $\sqrt{2}$ au lieu de la diviser : le côté vaudrait $10\sqrt{2}$ , plus long que la diagonale, ce qui est impossible.

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Exercice 2

Dans le parallélogramme $ABCD$ , $AB = 12$ , $AD = 7$ , et la hauteur issue de $D$ sur le côté $AB$ mesure $5$ . Quelle est l'aire du parallélogramme ?

$35$
$60$
$84$
$30$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $60$

Corrigé :

S = AB \times h

la base et la hauteur qui lui est perpendiculaire

\begin{aligned}S &= 12 \times 5 \\ &= 60\end{aligned}

le côté $AD = 7$ ne sert pas

La bonne réponse : « $60$ ». « $84$ » multiplie les deux côtés, $12 \times 7$ : le côté oblique $AD$ n'est pas la hauteur. « $30$ » divise par deux comme pour un triangle : le parallélogramme, c'est deux triangles. « $35$ » multiplie la hauteur par le côté oblique $AD$ : la hauteur tombe sur la base $AB$ , c'est elle qu'il faut prendre.

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Exercice 3

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 4$ et $AC = 7$ . On construit un carré sur l'hypoténuse $BC$ . Quelle est l'aire de ce carré ?

$28$
$65$
$33$
$121$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $65$

Corrigé :

\begin{aligned}\text{aire} &= BC^2 \\ &= AB^2 + AC^2\end{aligned}

le côté du carré est l'hypoténuse : Pythagore donne directement son carré, sans racine

\begin{aligned}4^2 + 7^2 &= 16 + 49 \\ &= 65\end{aligned}

La bonne réponse : « $65$ ». « $121$ » élève au carré la somme des cathètes : $(4 + 7)^2$ n'est pas $4^2 + 7^2$ . « $28$ » multiplie les cathètes : c'est le double de l'aire du triangle, pas le carré de l'hypoténuse. « $33$ » soustrait les carrés, $49 - 16$ : on ne soustrait que pour trouver une cathète, jamais l'hypoténuse.

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Exercice 4

Un jardin a la forme d'un carré. Une clôture suit ses quatre côtés, et deux allées droites le traversent en suivant ses deux diagonales. Quel est le rapport entre la longueur totale des deux allées et la longueur de la clôture ?

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\sqrt{2}$
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}\text{allées} &= 2 \times c\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2}\,c\end{aligned}

$c$ est le côté ; chaque diagonale vaut $c\sqrt{2}$

\text{clôture} = 4c

le périmètre

\dfrac{2\sqrt{2}\,c}{4c} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

le côté se simplifie : le rapport est le même pour tout carré

La bonne réponse : « $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ». « $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ » ne compte qu'une allée : il y en a deux, une par diagonale. « $\sqrt{2}$ » divise par deux côtés, le demi-périmètre, au lieu des quatre côtés de la clôture. « $\dfrac{1}{2}$ » prend la diagonale égale au côté, $\frac{2c}{4c}$ : la diagonale est plus longue que le côté.

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Exercice 5

Dans un repère, les points $A(-1,\,0)$ , $B(3,\,-4)$ , $C(7,\,0)$ et $D(3,\,4)$ sont les sommets d'un carré. Quelle est l'aire de ce carré ?

$16\sqrt{2}$
$16$
$32$
$64$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $32$

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= 7 - (-1) \\ &= 8\end{aligned}

la diagonale $AC$ est sur l'axe des abscisses

\begin{aligned}BD &= 4 - (-4) \\ &= 8\end{aligned}

la diagonale $BD$ est verticale

\begin{aligned}S &= \dfrac{AC \times BD}{2} \\ &= \dfrac{8 \times 8}{2} \\ &= 32\end{aligned}

les diagonales d'un carré sont perpendiculaires

La bonne réponse : « $32$ ». « $16$ » prend la demi-diagonale, $4$ , pour le côté : c'est l'aire d'un carré de côté $4$ . « $64$ » prend la diagonale $8$ pour le côté. « $16\sqrt{2}$ » calcule le périmètre : le côté vaut $4\sqrt{2}$ , et $4 \times 4\sqrt{2}$ est une longueur, pas une aire.

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Exercice 6

Dans un repère, $ABCD$ est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. On sait que $A(1,\,2)$ et $B(7,\,2)$ , et que $BC$ mesure les deux tiers de $AB$ . Lequel des points suivants peut être le sommet $D$ ?

$(1,\,11)$
$(1,\,-2)$
$(-3,\,2)$
$(7,\,6)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(1,\,-2)$

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 7 - 1 \\ &= 6\end{aligned}

$AB$ est horizontal

\begin{aligned}BC &= \tfrac{2}{3} \times 6 \\ &= 4\end{aligned}

D = (1,\ 2 \pm 4)

$D$ a l'abscisse de $A$ et se trouve à $4$ au-dessus ou au-dessous : $(1,\,6)$ ou $(1,\,-2)$

La bonne réponse : « $(1,\,-2)$ ». « $(7,\,6)$ » garde l'abscisse de $B$ : c'est le sommet $C$ du rectangle tracé au-dessus, alors que $D$ a l'abscisse de $A$ . « $(1,\,11)$ » inverse le rapport : $BC = \frac{3}{2} \times 6 = 9$ . « $(-3,\,2)$ » porte la longueur $4$ sur l'horizontale : le point reste sur la droite $AB$ et ne ferme aucun rectangle.

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Exercice 7

Un rectangle a une largeur $x$ et une longueur $3x$ . On allonge la longueur de $20\,\%$ et la largeur de $60\,\%$ . De combien de pour cent le périmètre augmente-t-il ?

$80\,\%$
$92\,\%$
$30\,\%$
$40\,\%$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $30\,\%$

Corrigé :

\begin{aligned}P &= 2(3x + x) \\ &= 8x\end{aligned}

le périmètre de départ

\begin{aligned}P' &= 2(3{,}6x + 1{,}6x) \\ &= 10{,}4x\end{aligned}

la longueur allongée de $20\,\%$ et la largeur de $60\,\%$

\dfrac{10{,}4x}{8x} = 1{,}3

le périmètre augmente de $30\,\%$

La bonne réponse : « $30\,\%$ ». « $92\,\%$ » multiplie les deux facteurs, $1{,}2 \times 1{,}6 = 1{,}92$ : c'est le facteur de l'aire, pas celui du périmètre. « $80\,\%$ » additionne les deux hausses. « $40\,\%$ » fait la moyenne simple de $20$ et $60$ : la longueur pèse trois fois plus que la largeur dans le périmètre.

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Exercice 8

Le trapèze isocèle $ABCD$ a pour bases $AB$ et $DC$ ( $AB \parallel DC$ , $AB$ la grande base). On sait que $\widehat{BCD} = 115^\circ$ . Le point $E$ est sur la base $AB$ , et $\widehat{ADE} = 40^\circ$ . Que vaut $x = \widehat{DEB}$ ?

$105^\circ$
$65^\circ$
$155^\circ$
$75^\circ$

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Réponse : A $105^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{ADC} &= \widehat{BCD} \\ &= 115^\circ\end{aligned}

trapèze isocèle : les deux angles d'une même base sont égaux

\begin{aligned}\widehat{DAB} &= 180^\circ - 115^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

les deux angles adjacents au côté oblique $AD$ sont supplémentaires

\begin{aligned}x &= \widehat{DAE} + \widehat{ADE} \\ &= 65^\circ + 40^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

angle extérieur du triangle $ADE$ : la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents

La bonne réponse : « $105^\circ$ ». « $75^\circ$ » est l'angle intérieur $\widehat{AED}$ du triangle $ADE$ : $x$ est son supplémentaire, l'angle extérieur. « $155^\circ$ » prend $\widehat{DAB} = 115^\circ$ en recopiant l'angle de la figure, sans passer au supplémentaire. « $65^\circ$ » recopie l'angle de base $\widehat{DAB}$ : $x$ n'est pas un angle du trapèze.

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Exercice 9

Un parallélogramme a des côtés de longueurs $a$ et $b$ , et aucun de ses angles n'est droit. On note $S$ son aire. Lequel des énoncés suivants est nécessairement vrai ?

$S = ab$
$\dfrac{ab}{2} < S < ab$
$S = \dfrac{ab}{2}$
$S < ab$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $S < ab$

Corrigé :

S = b \times h

$h$ est la hauteur sur le côté $b$

h < a

la hauteur est une cathète d'un triangle rectangle dont $a$ est l'hypoténuse ; sans angle droit, elle est strictement plus courte que $a$

S = bh < ab

La bonne réponse : « $S < ab$ ». « $S = ab$ » n'est vrai que pour un rectangle : l'énoncé exclut l'angle droit. « $S = \dfrac{ab}{2}$ » applique la formule du triangle ; elle ne tombe juste que pour des angles de $30^\circ$ et $150^\circ$ . « $\dfrac{ab}{2} < S < ab$ » place l'aire entre « triangle » et « rectangle » : avec un angle de $10^\circ$ , la hauteur est bien plus petite que $\frac{a}{2}$ et l'aire tombe sous $\frac{ab}{2}$ .

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Exercice 10

Un carré de côté $2b$ et un carré de côté $a$ ont, réunis, la même aire que trois carrés de côté $a$ . Laquelle des relations suivantes est juste ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$a = b$
$b = \sqrt{2}\,a$
$a = \sqrt{2}\,b$
$a = 2b$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $a = \sqrt{2}\,b$

Corrigé :

(2b)^2 + a^2 = 3a^2

l'égalité des aires

\begin{aligned}4b^2 &= 2a^2 \;\Rightarrow\; a^2 \\ &= 2b^2\end{aligned}

a = \sqrt{2}\,b

La bonne réponse : « $a = \sqrt{2}\,b$ ». « $a = b$ » oublie d'élever au carré le $2$ de $2b$ : $2b^2 + a^2 = 3a^2$ donne $a^2 = b^2$ . « $a = 2b$ » oublie la racine carrée à la dernière étape : de $a^2 = 2b^2$ , il tire $a = 2b$ . « $b = \sqrt{2}\,a$ » isole le rapport à l'envers : comme $a^2 = 2b^2$ , c'est $a$ le plus long.

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Exercices

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