On résout ensemble · Quadrilatères · Psychométriques

Six questions, une par geste central du chapitre : le « nécessairement vrai », le deltoïde, le trapèze à $45^\circ$ , deux figures de même aire, la bissectrice, le rectangle mis en équation.

Chacune est d'abord résolue avec vous, un choix à chaque pas. Cinq se rejouent ensuite dans une figure, et chacune a sa jumelle en bas de page.

À chaque pas, choisissez ce que vous feriez avant de lire les explications. Un mauvais choix ne coûte rien ici ; à l'examen, il coûte la question.

Le réflexe à installer : avant de calculer, nommez la figure et ce qu'elle vous donne gratuitement — des diagonales perpendiculaires, un demi-carré, un triangle isocèle. La donnée manquante est presque toujours là.

1 — Ce qui est nécessairement vrai

Activité interactive

Question 1 — Ce qui est nécessairement vrai

$ABCD$ est un parallélogramme, et ses diagonales $AC$ et $BD$ sont perpendiculaires. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$\widehat{ABC} = 90^\circ$

$AC = AB$

$AB = BC$

$AC = BD$

Que sait-on déjà des diagonales, sans utiliser l'angle droit ?

Rien : il faudrait la figure exacte.

Voir la réponse et le corrigé

La définition suffit. Un parallélogramme donne toujours des diagonales qui se coupent en leur milieu.

Elles se coupent en leur milieu $O$ , puisque $ABCD$ est un parallélogramme.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. C'est la propriété de toute la famille, et c'est elle qui va servir : $OA = OC$ .

Elles sont égales.

Voir la réponse et le corrigé

C'est la propriété du rectangle. Un parallélogramme quelconque a une grande et une petite diagonale.

\begin{aligned}OA &= OC \\ \ OB &= OD\end{aligned}

Les diagonales se partagent mutuellement en deux.

On ajoute l'angle droit en $O$ . Que dire des triangles $AOB$ et $COB$ ?

Ils sont égaux : $OA = OC$ , $OB$ commun, et un angle droit entre les deux. Donc $AB = CB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. $B$ est sur la médiatrice de $AC$ : il est à égale distance de $A$ et de $C$ .

Ils sont isocèles.

Voir la réponse et le corrigé

Rien ne dit que $OA = OB$ : ce serait le cas d'un carré, pas d'un parallélogramme quelconque.

On ne peut rien dire sans une longueur.

Voir la réponse et le corrigé

Pas besoin de longueur : deux triangles rectangles aux côtés de l'angle droit égaux sont superposables.

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA\end{aligned}

Quatre côtés égaux : c'est un losange.

Et les trois autres affirmations ?

$AC = BD$ l'est aussi : un losange a des diagonales égales.

Voir la réponse et le corrigé

Non : c'est le rectangle. Des diagonales à la fois égales et perpendiculaires feraient un carré.

$\widehat{ABC} = 90^\circ$ l'est aussi : les diagonales sont perpendiculaires.

Voir la réponse et le corrigé

L'angle droit est entre les diagonales, pas entre les côtés.

Aucune n'est forcée : un losange aplati a des diagonales inégales, pas d'angle droit, et une grande diagonale plus longue que le côté.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le contre-exemple est sur la figure : un losange d'angle $65^\circ$ les fait tomber toutes les trois.

Seule $AB = BC$ survit à tous les losanges.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $AB = BC$ ». « $AC = BD$ » décrit le rectangle, « $\widehat{ABC} = 90^\circ$ » le carré — deux cas particuliers que rien n'impose. « $AC = AB$ » n'est vraie que pour un losange d'angle $60^\circ$ en $B$ , où le triangle $ABC$ est équilatéral.

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Votre question jumelle : la première de la liste, en bas de page.

2 — Le deltoïde

Activité interactive

Question 2 — Le deltoïde

$ABCD$ est un deltoïde : $AB = AD$ et $CB = CD$ . Ses diagonales se coupent en $O$ , avec $AO = 3$ , $OC = 7$ et $BD = 8$ . Quelle est l'aire du deltoïde ?

$40$

$80$

$20$

$12$

Quelle formule d'aire choisit-on ?

La moitié du produit des diagonales : celles d'un deltoïde sont perpendiculaires.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. C'est la formule du deltoïde, du losange et du carré, et l'énoncé donne justement des morceaux de diagonales.

Base fois hauteur, comme pour un parallélogramme.

Voir la réponse et le corrigé

Un deltoïde n'est pas un parallélogramme : ses côtés opposés ne sont pas parallèles.

On calcule d'abord les côtés par Pythagore.

Voir la réponse et le corrigé

C'est possible, mais inutile : l'aire ne demande que les diagonales.

S = \dfrac{AC \cdot BD}{2}

Il reste à connaître $AC$ .

Que vaut la diagonale $AC$ ?

$2 \cdot 3 = 6$ , car $O$ est le milieu de $AC$ .

Voir la réponse et le corrigé

Dans un deltoïde, c'est $BD$ que $O$ coupe en son milieu, pas $AC$ : l'axe de symétrie coupe l'autre diagonale en deux.

$7$ , le plus grand morceau.

Voir la réponse et le corrigé

$OC$ n'est qu'une partie de la diagonale.

$3 + 7 = 10$ : les deux morceaux mis bout à bout.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. $O$ est sur $AC$ , entre $A$ et $C$ .

\begin{aligned}AC &= 3 + 7 \\ &= 10\end{aligned}

La diagonale principale, l'axe de symétrie.

Et l'aire ?

$\dfrac{10 \cdot 4}{2} = 20$ .

Voir la réponse et le corrigé

On a pris $OB = 4$ au lieu de la diagonale entière $BD = 8$ .

$\dfrac{10 \cdot 8}{2} = 40$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. La moitié du rectangle de côtés $AC$ et $BD$ .

$10 \cdot 8 = 80$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est le rectangle qui entoure le deltoïde : il faut diviser par $2$ .

\begin{aligned}S &= \dfrac{10 \cdot 8}{2} \\ &= 40\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $40$ ». « $80$ » oublie la division par $2$ . « $20$ » prend la moitié de $BD$ en plus de la moitié du produit. « $12$ » est seulement l'aire du triangle $ABD$ .

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Votre question jumelle : la deuxième de la liste.

3 — Le trapèze à 45°

Activité interactive

Question 3 — Le trapèze à 45°

$ABCD$ est un trapèze isocèle ( $AB \parallel DC$ ) de bases $AB = 16$ et $DC = 10$ . Ses angles à la grande base mesurent $45^\circ$ . Quelle est son aire ?

$78$

$48$

$30$

$39$

La formule du trapèze demande la hauteur, que l'énoncé ne donne pas. Que fait-on ?

On prend la jambe $AD$ pour hauteur.

Voir la réponse et le corrigé

La jambe est oblique : elle est plus longue que la hauteur.

On prend la moyenne des bases, $13$ .

Voir la réponse et le corrigé

La moyenne servira, mais elle ne remplace pas la hauteur.

On abaisse les hauteurs depuis $D$ et $C$ : elles découpent un rectangle et deux triangles.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. C'est le geste du trapèze : les triangles des côtés portent la hauteur.

La hauteur $DH$ tombe sur $AB$ en $H$ .

Que vaut $AH$ , la base du triangle de gauche ?

$\dfrac{10}{2} = 5$ .

Voir la réponse et le corrigé

La petite base est le rectangle du milieu ; elle ne dit rien des triangles.

$\dfrac{16 - 10}{2} = 3$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le rectangle du milieu a la largeur de la petite base ; l'écart restant se partage entre deux triangles égaux.

$16 - 10 = 6$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est l'écart total : il y a un triangle de chaque côté.

\begin{aligned}AH &= \dfrac{16 - 10}{2} \\ &= 3\end{aligned}

Et la hauteur $DH$ ?

$DH = AH = 3$ : le triangle $AHD$ est un demi-carré.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Un triangle rectangle avec un angle de $45^\circ$ a ses deux côtés de l'angle droit égaux.

$DH = 3\sqrt{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est la jambe $AD$ , l'hypoténuse du demi-carré.

$DH = 3\sqrt{3}$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est le trapèze à $60^\circ$ , avec des demi-équilatéraux.

\begin{aligned}S &= \dfrac{(16 + 10) \cdot 3}{2} \\ &= 39\end{aligned}

La formule du trapèze.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $39$ ». « $78$ » vient d'une hauteur prise égale à l'écart total, $6$ , ou d'une division par $2$ oubliée. « $48$ » multiplie la grande base par la hauteur, « $30$ » ne compte que le rectangle du milieu.

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Votre question jumelle : la troisième de la liste.

4 — Deux figures de même aire

Activité interactive

Question 4 — Deux figures de même aire

Un trapèze et un rectangle ont la même hauteur et la même aire. Le rectangle a une base de $12$ , et la grande base du trapèze mesure $17$ . Que vaut la petite base du trapèze ?

$24$

$14{,}5$

$7$

$5$

Comment écrire l'égalité des aires, avec $b$ la petite base et $h$ la hauteur ?

$17 - b = 12$ .

Voir la réponse et le corrigé

Une aire ne se compare pas par une différence de bases.

$\dfrac{(17 + b) \cdot h}{2} = 12 \cdot h$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. La formule du trapèze à gauche, celle du rectangle à droite.

$(17 + b) \cdot h = 12 \cdot h$ .

Voir la réponse et le corrigé

Il manque la division par $2$ de la formule du trapèze.

\dfrac{(17 + b) \cdot h}{2} = 12 h

L'énoncé ne donne pas $h$ . Que fait-on ?

On divise les deux côtés par $h$ : elle disparaît.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Même hauteur des deux côtés : elle ne compte pas.

On conclut que les données ne suffisent pas.

Voir la réponse et le corrigé

L'égalité reste vraie pour toute hauteur : la réponse n'en dépend pas.

On la cherche par Pythagore.

Voir la réponse et le corrigé

L'énoncé ne donne aucune jambe : Pythagore n'a rien à calculer, et n'en a pas besoin.

\dfrac{17 + b}{2} = 12

La base moyenne du trapèze est la base du rectangle.

Et donc ?

$b = 17 - 12 = 5$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est l'écart entre les deux bases données, qui ne correspond à aucune longueur.

$b = \dfrac{17 + 12}{2}$ .

Voir la réponse et le corrigé

On a fait la moyenne des deux nombres donnés, au lieu de celle des deux bases du trapèze.

$17 + b = 24$ , soit $b = 7$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui.

\begin{aligned}b &= 24 - 17 \\ &= 7\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $7$ ». « $5$ » soustrait les deux nombres de l'énoncé. « $24$ » est la somme des deux bases, pas la petite. « $14{,}5$ » est la moyenne des deux nombres donnés.

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Votre question jumelle : la quatrième de la liste.

5 — La bissectrice dans le parallélogramme

Activité interactive

Question 5 — La bissectrice dans le parallélogramme

$ABCD$ est un parallélogramme. La bissectrice de l'angle $\widehat{A}$ coupe le côté $DC$ en $E$ , avec $DE = 5$ et $EC = 3$ . Quel est le périmètre du parallélogramme ?

$26$

$22$

$32$

$16$

Le côté $AD$ n'est pas donné. Quel angle est égal à $\widehat{DEA}$ ?

$\widehat{EAB}$ : alternes-internes, puisque $DC \parallel AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Et $\widehat{EAB}$ est une des deux moitiés de $\widehat{A}$ .

$\widehat{ADE}$ , parce que le triangle $ADE$ est équilatéral.

Voir la réponse et le corrigé

Rien ne dit que ses trois angles sont égaux.

$\widehat{ABC}$ , l'angle consécutif.

Voir la réponse et le corrigé

$\widehat{ABC}$ est le supplément de $\widehat{A}$ , pas de sa moitié.

\begin{aligned}\widehat{DEA} &= \widehat{EAB} \\ &= \widehat{DAE}\end{aligned}

La seconde égalité vient de la bissectrice.

Que déduire pour le triangle $ADE$ ?

Il est isocèle de sommet $A$ : $AD = AE$ .

Voir la réponse et le corrigé

Les deux angles égaux sont en $A$ et en $E$ : le sommet principal est le troisième, $D$ .

$DA = EC = 3$ .

Voir la réponse et le corrigé

$EC$ est ce qui reste de $DC$ ; il n'a aucun lien avec $AD$ .

Il est isocèle de sommet $D$ : $DA = DE = 5$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Les angles égaux sont en $A$ et en $E$ ; les côtés égaux sont ceux qui leur font face.

\begin{aligned}AD &= 5 \\ \ DC &= 5 + 3 \\ &= 8\end{aligned}

Et le périmètre ?

$4 \cdot 8 = 32$ .

Voir la réponse et le corrigé

Le parallélogramme n'est pas un losange : $AD$ est plus court que $DC$ .

$2(8 + 5) = 26$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Deux grands côtés et deux petits.

$8 + 5 = 13$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est le demi-périmètre.

\begin{aligned}P &= 2(8 + 5) \\ &= 26\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $26$ ». « $22$ » prend $AD = EC = 3$ . « $32$ » traite la figure en losange. « $16$ » ne compte que les deux grands côtés.

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Votre question jumelle : la cinquième de la liste.

6 — Le rectangle mis en équation

Activité interactive

Question 6 — Le rectangle mis en équation

L'aire d'un rectangle est égale à $3$ fois son périmètre. Un de ses côtés mesure $8$ . Que vaut l'autre côté ?

$4{,}8$

$48$

$8$

$24$

Comment écrire la donnée, avec $x$ le côté cherché ?

$8x = 3(8 + x)$ .

Voir la réponse et le corrigé

$(8 + x)$ n'est que le demi-périmètre : il manque le facteur $2$ .

$3 \cdot 8x = 2(8 + x)$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est « le périmètre vaut trois fois l'aire » : la phrase à l'envers.

$8x = 3 \cdot 2(8 + x)$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. L'aire à gauche ; à droite, trois fois le périmètre entier.

8x = 6(8 + x)

On développe. Que devient l'équation ?

$x = 48$ .

Voir la réponse et le corrigé

On a oublié les $6x$ du côté droit.

$8x = 48 + 6x$ , donc $2x = 48$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. On regroupe les $x$ d'un côté.

$8x = 48 + x$ .

Voir la réponse et le corrigé

Le $6$ multiplie les deux termes de la parenthèse, pas seulement le premier.

\begin{aligned}2x &= 48 \ \Rightarrow\ x \\ &= 24\end{aligned}

Comment vérifier en cinq secondes ?

Comparer au carré de côté $8$ .

Voir la réponse et le corrigé

Un carré de côté $8$ a une aire de $64$ et un périmètre de $32$ : le rapport vaut $2$ , pas $3$ . Il ne vérifie rien.

Aire $192$ , périmètre $64$ , et $192 = 3 \cdot 64$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Une vérification par la phrase de l'énoncé attrape toutes les erreurs de facteur.

192 = 3 \cdot 64

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $24$ ». « $4{,}8$ » vient du demi-périmètre. « $48$ » est le terme constant de l'équation, pris pour la réponse. « $8$ » suppose un carré, dont le rapport aire sur périmètre ne vaut que $2$ .

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Votre question jumelle : la sixième de la liste.

Si vos six jumelles tombent juste, passez aux séries : elles varient l'habillage de ces gestes, et les combinent parfois deux par deux.

Exercices

Exercice 1

$ABCD$ est un parallélogramme, et sa diagonale $AC$ partage l'angle $\widehat{BAD}$ en deux angles égaux. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$AB = AC$
$AC = BD$
$\widehat{BAD} = 90^\circ$
$AC \perp BD$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $AC \perp BD$

Corrigé :

\widehat{CAD} = \widehat{ACB}

alternes-internes entre AD et BC

\begin{aligned}\widehat{CAB} &= \widehat{ACB} \ \Rightarrow\ AB \\ &= BC\end{aligned}

le triangle ABC est isocèle : c'est un losange

AC \perp BD

les diagonales d'un losange

La bonne réponse : « $AC \perp BD$ ». La diagonale est une bissectrice : $\widehat{CAB} = \widehat{CAD}$ , et $\widehat{CAD} = \widehat{ACB}$ (alternes-internes, $AD \parallel BC$ ). Le triangle $ABC$ a deux angles égaux, donc $AB = BC$ : c'est un losange, et les diagonales d'un losange sont perpendiculaires. « $AC = BD$ » ferait un rectangle ; avec des côtés égaux, un carré — rien ne le force. « $\widehat{BAD} = 90^\circ$ » est le carré, un cas particulier. « $AB = AC$ » demanderait un angle précis ; la grande diagonale d'un losange aplati est plus longue que le côté.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

$ABCD$ est un deltoïde : $AB = AD$ et $CB = CD$ . Ses diagonales se coupent en $O$ , avec $AO = 4$ , $OC = 9$ et $BD = 12$ . Quelle est l'aire du deltoïde ?

$39$
$24$
$156$
$78$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $78$

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= 4 + 9 \\ &= 13\end{aligned}

les deux morceaux de la diagonale

\begin{aligned}S &= \dfrac{13 \cdot 12}{2} \\ &= 78\end{aligned}

la moitié du produit des diagonales

La bonne réponse : « $78$ ». Les diagonales sont perpendiculaires : l'aire est la moitié de leur produit, avec $AC = 4 + 9 = 13$ . « $156$ » oublie la division par $2$ . « $39$ » prend $OB = 6$ pour la diagonale. « $24$ » n'est que le triangle $ABD$ , au-dessus de $BD$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

$ABCD$ est un trapèze isocèle ( $AB \parallel DC$ ) de bases $AB = 22$ et $DC = 8$ . Ses angles à la grande base mesurent $45^\circ$ . Quelle est son aire ?

$105$
$154$
$210$
$56$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $105$

Corrigé :

\begin{aligned}\dfrac{22 - 8}{2} &= 7 \\ &= h\end{aligned}

un demi-carré de chaque côté

\begin{aligned}S &= \dfrac{(22 + 8) \cdot 7}{2} \\ &= 105\end{aligned}

la formule du trapèze

La bonne réponse : « $105$ ». Chaque hauteur découpe un demi-carré de base $\dfrac{22 - 8}{2} = 7$ : la hauteur vaut $7$ . « $210$ » prend l'écart total, $14$ , pour hauteur — ou oublie la division par $2$ . « $154$ » multiplie la grande base par la hauteur. « $56$ » ne compte que le rectangle du milieu.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Un trapèze et un rectangle ont la même hauteur et la même aire. Le rectangle a une base de $9$ , et la grande base du trapèze mesure $13$ . Que vaut la petite base du trapèze ?

$4$
$18$
$5$
$11$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $5$

Corrigé :

\dfrac{(13 + b) \cdot h}{2} = 9 h

l'égalité des aires

\begin{aligned}13 + b &= 18 \ \Rightarrow\ b \\ &= 5\end{aligned}

on divise par h, puis on multiplie par 2

La bonne réponse : « $5$ ». À hauteur égale, le rectangle a pour base la moyenne des bases du trapèze : $\dfrac{13 + b}{2} = 9$ . « $4$ » soustrait les deux nombres de l'énoncé. « $18$ » est la somme des deux bases du trapèze. « $11$ » fait la moyenne des deux nombres donnés.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

$ABCD$ est un parallélogramme. La bissectrice de l'angle $\widehat{A}$ coupe le côté $DC$ en $E$ , avec $DE = 7$ et $EC = 4$ . Quel est le périmètre du parallélogramme ?

$36$
$44$
$22$
$30$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $36$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{DEA} &= \widehat{EAB} \\ &= \widehat{DAE}\end{aligned}

alternes-internes, puis la bissectrice

\begin{aligned}AD &= DE \\ &= 7 \\ \ DC &= 11\end{aligned}

le triangle ADE est isocèle

\begin{aligned}P &= 2(11 + 7) \\ &= 36\end{aligned}

le périmètre

La bonne réponse : « $36$ ». Le triangle $ADE$ est isocèle de sommet $D$ : $AD = DE = 7$ , et $DC = 11$ . « $30$ » prend $AD = EC = 4$ . « $44$ » traite la figure en losange. « $22$ » ne compte que les deux grands côtés.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

L'aire d'un rectangle est égale à $2$ fois son périmètre. Un de ses côtés mesure $12$ . Que vaut l'autre côté ?

$2{,}4$
$6$
$12$
$48$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $6$

Corrigé :

\begin{aligned}12x &= 4(12 + x) \\ &= 48 + 4x\end{aligned}

aire = deux fois le périmètre

\begin{aligned}8x &= 48 \ \Rightarrow\ x \\ &= 6\end{aligned}

La bonne réponse : « $6$ ». Avec $x$ l'autre côté : $12x = 2 \cdot 2(12 + x)$ . Vérification : aire $72$ , périmètre $36$ . « $2{,}4$ » vient du demi-périmètre, $(12 + x)$ au lieu de $2(12 + x)$ . « $12$ » suppose un carré, dont le rapport vaut $3$ , pas $2$ . « $48$ » est le terme constant de l'équation.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

$ABCD$ est un parallélogramme dont les diagonales $AC$ et $BD$ sont égales. Alors $ABCD$ est un rectangle.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= OC \\ &= OD\end{aligned}

les diagonales se coupent en leur milieu, et elles sont égales

\begin{aligned}\widehat{A} &= \widehat{B} \ \Rightarrow\ \widehat{A} \\ &= 90^\circ\end{aligned}

les triangles DAB et CBA sont égaux (trois côtés), et deux angles consécutifs font 180°

Vrai. Dans un parallélogramme, des diagonales égales forcent les angles droits. Le piège inverse : sans « parallélogramme », des diagonales égales ne disent rien — le trapèze isocèle en a aussi.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

$ABCD$ est un deltoïde ( $AB = AD$ , $CB = CD$ ). Sa diagonale $AC$ mesure $15$ et son aire vaut $60$ . Que vaut l'autre diagonale $BD$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

\dfrac{15 \cdot BD}{2} = 60

la moitié du produit des diagonales

\begin{aligned}BD &= \dfrac{120}{15} \\ &= 8\end{aligned}

$8$ . La formule se lit dans les deux sens. Le piège : $\dfrac{60}{15} = 4$ , qui oublie le $2$ de la formule.

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Exercice 9

Un trapèze isocèle a une grande base de $20$ , des angles de $45^\circ$ à cette base, et une hauteur de $5$ . Quelle est son aire ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 75

Corrigé :

\begin{aligned}AH &= DH \\ &= 5\end{aligned}

chaque triangle est un demi-carré

\begin{aligned}DC &= 20 - 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

la petite base

\begin{aligned}S &= \dfrac{(20 + 10) \cdot 5}{2} \\ &= 75\end{aligned}

$75$ . Cette fois on remonte : la hauteur donne les demi-carrés, les demi-carrés donnent la petite base. Le piège : $20 - 5 = 15$ , un seul demi-carré retiré.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Un trapèze de bases $7$ et $15$ a la même hauteur et la même aire qu'un rectangle. Complétez.

La base du rectangle vaut ____. Si la hauteur commune vaut 4, l'aire commune vaut ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : La base du rectangle vaut 11. Si la hauteur commune vaut 4, l'aire commune vaut 44.

Corrigé :

\begin{aligned}\dfrac{(7 + 15) h}{2} &= b h \ \Rightarrow\ b \\ &= 11\end{aligned}

la hauteur se simplifie

11 \cdot 4 = 44

La base du rectangle est la base moyenne du trapèze. Le piège : $15 - 7 = 8$ , une différence là où il faut une moyenne.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Un rectangle a un périmètre de $28$ et une aire de $48$ . Que vaut son plus grand côté ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

\begin{aligned}a + b &= 14 \\ \ ab &= 48\end{aligned}

le demi-périmètre, puis l'aire

\begin{aligned}6 + 8 &= 14 \\ \ 6 \cdot 8 &= 48\end{aligned}

deux nombres de somme 14 et de produit 48

$8$ . Deux équations, deux inconnues : on cherche deux nombres de somme $14$ et de produit $48$ . Le piège : $a + b = 28$ , le périmètre entier pris pour le demi-tour.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Dans le parallélogramme $ABCD$ , la bissectrice de $\widehat{A}$ coupe $DC$ en $E$ . Une ligne du raisonnement est fausse : trouvez-la.

\widehat{DEA} = \widehat{EAB}

\widehat{EAB} = \widehat{DAE}

\text{donc } AE = AD

DC = DE + EC

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $\text{donc } AE = AD$ → $\text{donc } DE = DA$

Corrigé :

\widehat{DEA} = \widehat{DAE}

les deux angles égaux sont en E et en A

DE = DA

les côtés égaux sont face aux angles égaux

La troisième ligne. Les angles égaux sont en $A$ et en $E$ : le sommet principal du triangle isocèle est $D$ , donc $DE = DA$ . Le piège : mettre l'égalité sur le côté $AE$ , qui relie les deux angles égaux.

Vérifier la réponse sur elev

1 — Ce qui est nécessairement vrai

2 — Le deltoïde

3 — Le trapèze à 45°

4 — Deux figures de même aire

5 — La bissectrice dans le parallélogramme

6 — Le rectangle mis en équation

Exercices

La suite se pratique sur elev