Le réflexe quadrilatères

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Les quadrilatères sont le plus gros chapitre de géométrie de l'examen : environ une question sur six parmi les questions de géométrie des annales.

Elles se ressemblent toutes : une figure, une ou deux données, et une aire, une longueur ou un angle à trouver — ou bien quatre affirmations, dont une seule est « nécessairement vraie ».

Le formulaire imprime l'aire du rectangle et celle du trapèze. Tout le reste se déduit, en huit gestes.

Geste 1 — La famille : qui est un cas particulier de qui

Chaque quadrilatère de l'examen se définit par une seule phrase, et tout le reste en découle.

Le parallélogramme a deux paires de côtés parallèles. Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes avec quelque chose en plus.

Deux figures restent hors de cette famille. Le trapèze a une seule paire de côtés parallèles — le mot « seule » compte : un parallélogramme n'est pas un trapèze.

Le deltoïde (cerf-volant) a deux paires de côtés consécutifs égaux. Il est au programme de l'examen, et le losange en est un cas particulier.

trapèze isocèletrapèze rectangledeltoïde
Une seule paire de côtés parallèles pour le trapèze. Deux paires de côtés consécutifs égaux pour le deltoïde, et aucun parallélisme obligé.

Ce qui est vrai pour le parent est vrai pour l'enfant, jamais l'inverse. Toute propriété du parallélogramme vaut pour le rectangle, le losange et le carré. Une propriété du rectangle ne vaut pas pour tout parallélogramme.

Un quadrilatère a quatre côtés égaux et un angle droit. Quel est son nom le plus précis ?

Voir la réponse et le corrigé

Un carré. Quatre côtés égaux en font un losange, donc un parallélogramme ; dans un parallélogramme, un angle droit force les trois autres (les angles consécutifs font 180∘180^\circ). C'est donc aussi un rectangle, et le seul losange-rectangle est le carré.

Geste 2 — Les diagonales : ce qui est nécessairement vrai

Une question sur trois de ce chapitre ne demande aucun calcul : quatre affirmations, une seule forcée.

Elles portent presque toujours sur les diagonales : c'est là que les figures se distinguent.

paralleˊlogramme\text{parallélogramme}

les diagonales se coupent en leur milieu

rectangle\text{rectangle}

en leur milieu, et elles sont égales

losange\text{losange}

en leur milieu, perpendiculaires, et elles partagent les angles en deux

carreˊ\text{carré}

les trois : milieu, égales, perpendiculaires

deltoı¨de\text{deltoïde}

perpendiculaires ; l'une coupe l'autre en son milieu, pas l'inverse

trapeˋze isoceˋle\text{trapèze isocèle}

égales, mais elles ne se coupent pas en leur milieu

La méthode du contre-exemple. Pour savoir si une affirmation est *nécessairement* vraie, dessinez le membre le plus quelconque de la famille : un parallélogramme bien penché, un losange bien aplati.

Regardez si l'affirmation y survit. Une seule figure où elle tombe suffit à l'éliminer.

Les réciproques qui ne marchent pas.

diagonales perpendiculaires⇒losange\text{diagonales perpendiculaires} \Rightarrow \text{losange}
perpendiculaires ET en leur milieu⇒losange\text{perpendiculaires ET en leur milieu} \Rightarrow \text{losange}

un deltoïde a des diagonales perpendiculaires sans être un losange

diagonales eˊgales⇒rectangle\text{diagonales égales} \Rightarrow \text{rectangle}
eˊgales ET en leur milieu⇒rectangle\text{égales ET en leur milieu} \Rightarrow \text{rectangle}

un trapèze isocèle a des diagonales égales

Les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires. Que peut-on affirmer de ses côtés ?

Voir la réponse et le corrigé

Ils sont tous égaux : c'est un losange. Les diagonales se coupent déjà en leur milieu (c'est un parallélogramme) ; perpendiculaires en plus, chaque sommet est sur la médiatrice de la diagonale qui ne passe pas par lui. Mais rien sur les angles : ce n'est pas forcément un carré.

Geste 3 — Les angles : 360∘360^\circ, et les paires qui font 180∘180^\circ

Les quatre angles d'un quadrilatère font toujours 360∘360^\circ : une diagonale le coupe en deux triangles.

Chaque paire de côtés parallèles donne des angles consécutifs supplémentaires : le long d'un côté qui relie deux parallèles, les deux angles font 180∘180^\circ.

A^+B^+C^+D^=360∘\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ

tout quadrilatère

paralleˊlogramme:A^=C^ A^+B^=180∘\begin{aligned}\text{parallélogramme} : \widehat{A} &= \widehat{C} \\ \ \widehat{A} + \widehat{B} &= 180^\circ\end{aligned}

opposés égaux, consécutifs supplémentaires

trapeˋze:A^+D^=180∘\text{trapèze} : \widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ

seulement le long des jambes, entre les deux bases

trapeˋze isoceˋle:A^=B^ A^+C^=180∘\begin{aligned}\text{trapèze isocèle} : \widehat{A} &= \widehat{B} \\ \ \widehat{A} + \widehat{C} &= 180^\circ\end{aligned}

angles d'une base égaux, opposés supplémentaires

deltoı¨de:B^=D^\text{deltoïde} : \widehat{B} = \widehat{D}

les deux angles où se rencontrent des côtés inégaux

Un trapèze isocèle a un angle de 64∘64^\circ. Que valent les trois autres ?

Voir la réponse et le corrigé

64∘64^\circ, 116∘116^\circ et 116∘116^\circ. L'autre angle de la même base vaut aussi 64∘64^\circ, et chacun a pour voisin, le long de sa jambe, un angle de 180∘−64∘=116∘180^\circ - 64^\circ = 116^\circ. Vérification : 2⋅64∘+2⋅116∘=360∘2 \cdot 64^\circ + 2 \cdot 116^\circ = 360^\circ.

Geste 4 — Le parallélogramme : base fois hauteur

L'aire d'un parallélogramme n'est pas le produit de ses côtés.

On découpe le triangle qui dépasse, on le recolle de l'autre côté : un rectangle de même base et de même hauteur. D'où S=b⋅hS = b \cdot h.

S=b⋅hS = b \cdot h

une base et la hauteur qui lui est perpendiculaire

S=a⋅ha=b⋅hb\begin{aligned}S &= a \cdot h_a \\ &= b \cdot h_b\end{aligned}

deux bases, deux hauteurs, une seule aire

Striangle=S2S_{\text{triangle}} = \dfrac{S}{2}

un triangle qui a pour base un côté du parallélogramme et son sommet sur le côté opposé

meˆme base, meˆme hauteur⇒meˆme aire\text{même base, même hauteur} \Rightarrow \text{même aire}

un parallélogramme et un rectangle, par exemple

L'erreur qui coûte le plus de points.

S=8⋅5=40\begin{aligned}S &= 8 \cdot 5 \\ &= 40\end{aligned}
S=8⋅3=24\begin{aligned}S &= 8 \cdot 3 \\ &= 24\end{aligned}

le côté oblique n'est pas la hauteur : il est toujours plus long qu'elle

Un parallélogramme a une aire de 3030. On choisit un point sur un côté et on le relie aux deux extrémités du côté opposé. Quelle est l'aire du triangle obtenu ?

Voir la réponse et le corrigé

1515, où que soit le point. Le triangle a pour base un côté du parallélogramme et pour hauteur la distance entre les deux côtés parallèles : c'est la moitié de b⋅hb \cdot h.

Geste 5 — Le deltoïde et le losange : la moitié du produit des diagonales

Le deltoïde a deux paires de côtés consécutifs égaux : AB=ADAB = AD et CB=CDCB = CD.

Sa diagonale ACAC est son axe de symétrie — le seul, sauf dans un losange. Elle coupe l'autre diagonale en son milieu, à angle droit.

S=d1⋅d22S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}

l'aire de tout quadrilatère aux diagonales perpendiculaires : deltoïde, losange, carré — pour un carré de diagonale dd, d22\dfrac{d^2}{2}

Un losange et un carré de même côté n'ont pas la même aire.

L'aire du losange est côté fois hauteur, et sa hauteur raccourcit dès qu'il penche. Le losange d'angle 60∘60^\circ est le cas d'examen : deux triangles équilatéraux.

Slosange<ScarreˊS_{\text{losange}} < S_{\text{carré}}

à côté égal, sauf si le losange est le carré

60∘:S=2⋅34a2=32a2\begin{aligned}60^\circ : S &= 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 \\ &= \dfrac{\sqrt{3}}{2} a^2\end{aligned}

deux équilatéraux de côté a

30∘:S=a2230^\circ : S = \dfrac{a^2}{2}

la hauteur est la moitié du côté (demi-équilatéral)

Deux oublis fréquents.

S=d1⋅d2S = d_1 \cdot d_2
S=d1⋅d22S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}

le produit des diagonales est l'aire du rectangle qui entoure la figure

meˆme coˆteˊ⇒meˆme aire\text{même côté} \Rightarrow \text{même aire}
S=a⋅h h≤a\begin{aligned}S &= a \cdot h \\ \ h \le a\end{aligned}

c'est l'angle qui décide de l'aire d'un losange

La diagonale d'un carré mesure 66. Quelle est son aire ?

Voir la réponse et le corrigé

1818. Un carré est un losange : 6⋅62=18\dfrac{6 \cdot 6}{2} = 18. On évite ainsi de calculer le côté, 323\sqrt{2}, puis de l'élever au carré — même résultat, deux étapes de plus.

Geste 6 — Le trapèze : découper en rectangle et triangles

La formule du formulaire, S=(a+b)⋅h2S = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2}, demande la hauteur, que l'énoncé donne rarement.

On la trouve en abaissant les deux hauteurs depuis la petite base : un rectangle au milieu, deux triangles rectangles sur les côtés.

Dans un trapèze isocèle, les deux triangles sont égaux, et chacun a pour base a−b2\dfrac{a - b}{2}.

45∘:h=a−b245^\circ : h = \dfrac{a - b}{2}

chaque triangle est un demi-carré

60∘:jambe=2⋅a−b2 h=a−b23\begin{aligned}60^\circ : \text{jambe} &= 2 \cdot \dfrac{a - b}{2} \\ \ h &= \dfrac{a - b}{2}\sqrt{3}\end{aligned}

chaque triangle est un demi-équilatéral

trapeˋze rectangle:un seul triangle, de base a−b\text{trapèze rectangle} : \text{un seul triangle, de base } a - b

l'autre côté est la hauteur

jambe2=h2+(a−b2)2\text{jambe}^2 = h^2 + \left(\dfrac{a - b}{2}\right)^2

Pythagore, dans tous les cas

1359ABCDEFGH
Deux figures de même aire, forme d'examen : même hauteur, même aire, et le rectangle a pour base la base moyenne du trapèze, 5+132=9\dfrac{5 + 13}{2} = 9.

La base du petit triangle.

base du triangle=a−b\text{base du triangle} = a - b
base du triangle=a−b2\text{base du triangle} = \dfrac{a - b}{2}

dans un trapèze isocèle, l'écart des bases se partage entre DEUX triangles

Un trapèze a des bases de 55 et 1313. Un rectangle a la même hauteur et la même aire. Quelle est la base du rectangle ?

Voir la réponse et le corrigé

99. (5+13)⋅h2=9h\dfrac{(5 + 13) \cdot h}{2} = 9h : l'aire du trapèze est celle d'un rectangle de base 99 et de même hauteur. La hauteur n'a pas besoin d'être connue.

Geste 7 — La bissectrice qui cache un triangle isocèle

Dans un parallélogramme, la bissectrice d'un angle coupe le côté opposé et découpe un triangle isocèle.

L'angle qu'elle forme avec ce côté est l'alterne-interne de la moitié d'angle qu'elle vient de créer. Deux angles égaux, donc deux côtés égaux : une longueur connue se recopie.

AE=ABAE = AB

le côté coupé commence par un morceau égal au côté voisin

ED=AD−ABED = AD - AB

ce qui reste du grand côté

E=D ⇒ AB=AD\begin{aligned}E &= D \ \Rightarrow\ AB \\ &= AD\end{aligned}

si la bissectrice arrive au sommet, c'est un losange

A^+D^=180∘⇒bissectrices perpendiculaires\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ \Rightarrow \text{bissectrices perpendiculaires}

les bissectrices de deux angles consécutifs se coupent à angle droit

De la longueur au périmètre

Dans le parallélogramme ABCDABCD, la bissectrice de B^\widehat{B} coupe ADAD en EE. On donne AB=6AB = 6 et ED=4ED = 4. Quel est le périmètre ?

AE=AB=6\begin{aligned}AE &= AB \\ &= 6\end{aligned}

le triangle ABE est isocèle

AD=6+4=10\begin{aligned}AD &= 6 + 4 \\ &= 10\end{aligned}

le côté entier

P=2(6+10)=32\begin{aligned}P &= 2(6 + 10) \\ &= 32\end{aligned}

le périmètre du parallélogramme

Dans un parallélogramme ABCDABCD, la bissectrice de A^\widehat{A} coupe DCDC exactement en son milieu. Que vaut le rapport AD:ABAD : AB ?

Voir la réponse et le corrigé

1:21 : 2. Le triangle ADEADE est isocèle : AD=DEAD = DE. Et DEDE est la moitié de DCDC, donc de ABAB.

Geste 8 — Le rectangle mis en équation

Un rectangle a deux inconnues : sa longueur et sa largeur.

L'énoncé donne deux informations — l'aire, le périmètre, la diagonale, un rapport — et chacune s'écrit en une équation.

S=a⋅bS = a \cdot b
P=2(a+b)P = 2(a + b)

le périmètre — a + b seul n'est que le demi-tour, et l'erreur divise toute l'équation par deux

d2=a2+b2d^2 = a^2 + b^2

la diagonale, par Pythagore

3,4,55,12,138,15,173, 4, 5 \quad 5, 12, 13 \quad 8, 15, 17

les triplets à reconnaître, et leurs multiples

8610ABCD
La diagonale d'un rectangle est l'hypoténuse de deux triangles rectangles : 66, 88, 1010 est le triplet 33, 44, 55 doublé.

Deux faits à connaître sans calcul. À périmètre fixé, le carré a la plus grande aire ; à aire fixée, il a le plus petit périmètre.

Le rapport aire sur périmètre, lui, grandit avec la taille : multiplier les côtés par kk multiplie l'aire par k2k^2, et le périmètre par kk seulement.

Le carré ne gagne donc qu'à périmètre égal : un rectangle 10×410 \times 4 a un rapport de 4028\dfrac{40}{28}, plus que le 2520\dfrac{25}{20} du carré 5×55 \times 5. Pour comparer des rapports, calculez-les.

En résumé, six réflexes :

la famille\text{la famille}

ce qui vaut pour le parallélogramme vaut pour toute la famille

les diagonales\text{les diagonales}

elles tranchent les « nécessairement vrai »

360∘ et 180∘360^\circ \text{ et } 180^\circ

la somme des angles, puis deux angles le long d'un côté entre deux parallèles

b⋅hd1⋅d22b \cdot h \quad \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}

l'aire : base fois hauteur, la moitié du produit des diagonales, ou le trapèze découpé

la bissectrice\text{la bissectrice}

elle cache un triangle isocèle

le rectangle\text{le rectangle}

deux inconnues, deux équations

Exercices

Exercice 1

ABCD

ABCDABCD est un losange. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

  1. A^=90∘\widehat{A} = 90^\circ
  2. AC⊥BDAC \perp BD
  3. AC=BDAC = BD
  4. AC=ABAC = AB
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B AC⊥BDAC \perp BD

Corrigé :

AB=BC=CD=DA\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CD \\ &= DA\end{aligned}

la définition du losange

AC⊥BDAC \perp BD

B et D sont à égale distance de A et de C : ils sont sur la médiatrice de AC

La bonne réponse : « AC⊥BDAC \perp BD ». Le losange est un parallélogramme à quatre côtés égaux, et c'est ce qui rend ses diagonales perpendiculaires : chaque sommet est à égale distance des deux extrémités de l'autre diagonale. « AC=BDAC = BD » est la propriété du rectangle : un losange qui n'est pas un carré a une grande et une petite diagonale. « A^=90∘\widehat{A} = 90^\circ » ferait du losange un carré, ce que rien ne dit. « AC=ABAC = AB » n'arrive que pour un angle précis de 60∘60^\circ en BB, qui rend le triangle ABCABC équilatéral : un cas particulier, pas une règle.

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Exercice 2

x + 40°xBCDA

Dans le parallélogramme ABCDABCD, l'angle A^\widehat{A} dépasse l'angle B^\widehat{B} de 40∘40^\circ. Que vaut D^\widehat{D} ?

  1. 110∘110^\circ
  2. 90∘90^\circ
  3. 70∘70^\circ
  4. 40∘40^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 70∘70^\circ

Corrigé :

x+(x+40∘)=180∘ ⇒ x=70∘\begin{aligned}x + (x + 40^\circ) &= 180^\circ \ \Rightarrow\ x \\ &= 70^\circ\end{aligned}

deux angles consécutifs d'un parallélogramme font 180°

D^=B^=70∘\begin{aligned}\widehat{D} &= \widehat{B} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

D et B sont opposés

La bonne réponse : « 70∘70^\circ ». A^\widehat{A} et B^\widehat{B} sont consécutifs : x+x+40∘=180∘x + x + 40^\circ = 180^\circ, donc B^=70∘\widehat{B} = 70^\circ et A^=110∘\widehat{A} = 110^\circ. D^\widehat{D} est consécutif à A^\widehat{A} lui aussi, donc égal à B^\widehat{B} — c'est l'opposé de B^\widehat{B}. « 110∘110^\circ » est A^\widehat{A}, donc aussi C^\widehat{C} : l'opposé de A^\widehat{A}, pas son voisin. « 90∘90^\circ » oublie l'écart de 40∘40^\circ : deux angles consécutifs égaux, c'est le rectangle. « 40∘40^\circ » est l'écart entre les deux angles, pas un angle de la figure.

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Exercice 3

106ABCDO

ABCDABCD est un deltoïde : AB=ADAB = AD et CB=CDCB = CD. Ses diagonales mesurent AC=10AC = 10 et BD=6BD = 6. Quelle est son aire ?

  1. 6060
  2. Les données ne suffisent pas
  3. 3030
  4. 1515
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 3030

Corrigé :

S=AC⋅BD2=10⋅62=30\begin{aligned}S &= \dfrac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \dfrac{10 \cdot 6}{2} \\ &= 30\end{aligned}

la moitié du produit des diagonales

La bonne réponse : « 3030 ». Les diagonales d'un deltoïde sont perpendiculaires : le deltoïde occupe la moitié du rectangle construit sur elles. « 6060 » est le rectangle entier : la division par 22 a été oubliée. « 1515 » divise deux fois, comme si le deltoïde était un triangle de base BDBD et de hauteur la moitié de ACAC. « Les données ne suffisent pas » croit qu'il faut les côtés : les deux diagonales suffisent.

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Exercice 4

45°45°64ABCDH

Un trapèze isocèle a une petite base de 66, une hauteur de 44, et des angles de 45∘45^\circ à la grande base. Quelle est son aire ?

  1. 5656
  2. 4040
  3. 2424
  4. 3232
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 4040

Corrigé :

14=6+2⋅414 = 6 + 2 \cdot 4

deux demi-carrés (angles de 45°) de côté 4, un de chaque côté

S=(6+14)⋅42=40\begin{aligned}S &= \dfrac{(6 + 14) \cdot 4}{2} \\ &= 40\end{aligned}

la formule du trapèze

La bonne réponse : « 4040 ». Chaque hauteur découpe un demi-carré : son côté horizontal est égal à la hauteur, 44. La grande base vaut donc 6+4+4=146 + 4 + 4 = 14. « 2424 » ne compte que le rectangle du milieu, sans les deux demi-carrés. « 5656 » multiplie la grande base par la hauteur, comme pour un rectangle. « 3232 » n'ajoute qu'un seul demi-carré à la petite base : grande base 1010.

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Exercice 5

3BCDAE

ABCDABCD est un parallélogramme de périmètre 3030. La bissectrice de B^\widehat{B} coupe le côté ADAD en EE, et ED=3ED = 3. Que vaut ABAB ?

  1. 99
  2. 66
  3. 7,57{,}5
  4. 1212
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Réponse : B 66

Corrigé :

AEB^=EBC^=ABE^\begin{aligned}\widehat{AEB} &= \widehat{EBC} \\ &= \widehat{ABE}\end{aligned}

alternes-internes, puis la bissectrice

AE=AB=x\begin{aligned}AE &= AB \\ &= x\end{aligned}

le triangle ABE est isocèle

2(x+x+3)=30 ⇒ x=6\begin{aligned}2(x + x + 3) &= 30 \ \Rightarrow\ x \\ &= 6\end{aligned}

le périmètre

La bonne réponse : « 66 ». La bissectrice fabrique un triangle isocèle : AE=ABAE = AB. Si AB=xAB = x, alors AD=x+3AD = x + 3 et le périmètre vaut 2(2x+3)=302(2x + 3) = 30. « 99 » est ADAD, le grand côté. « 7,57{,}5 » partage le périmètre en quatre, comme pour un losange. « 1212 » est AB+AEAB + AE : le demi-périmètre moins EDED, qu'il fallait encore partager en deux.

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Exercice 6

5573ABCDEFGH
Deux rectangles de même périmètre 2020 : le carré 5×55 \times 5 et le rectangle 7×37 \times 3.

Parmi tous les rectangles de périmètre 2020, quelle est la plus grande aire possible ?

  1. 100100
  2. 2525
  3. 2020
  4. 2424
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 2525

Corrigé :

a+b=202=10\begin{aligned}a + b &= \dfrac{20}{2} \\ &= 10\end{aligned}

le demi-périmètre

a=b=5 ⇒ S=25\begin{aligned}a &= b \\ &= 5 \ \Rightarrow\ S \\ &= 25\end{aligned}

le carré donne l'aire maximale

6⋅4=24<256 \cdot 4 = 24 < 25

un rectangle voisin du carré fait moins

La bonne réponse : « 2525 ». À périmètre fixé, l'aire est maximale quand le rectangle est un carré : côté 204=5\dfrac{20}{4} = 5. « 100100 » prend le demi-périmètre, 1010, pour le côté du carré. « 2424 » est l'aire d'un rectangle 6×46 \times 4 : proche du carré, mais pas le maximum. « 2020 » confond l'aire avec le périmètre.

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Exercice 7

Les diagonales de cette figure sont-elles forcément égales ?

  • Forcément égales
  • Pas forcément
  • carré
  • deltoïde
  • losange
  • parallélogramme
  • rectangle
  • trapèze isocèle
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : rectangle — Forcément égales · carré — Forcément égales · trapèze isocèle — Forcément égales · losange — Pas forcément · parallélogramme — Pas forcément · deltoïde — Pas forcément

Corrigé :

rectangle, carreˊ : AC=BD\text{rectangle, carré : } AC = BD

la propriété du rectangle, héritée par le carré

trapeˋze isoceˋle : AC=BD\text{trapèze isocèle : } AC = BD

par symétrie, sans se couper en leur milieu

Le losange, le parallélogramme et le deltoïde ont en général une grande et une petite diagonale. Le piège : croire que des diagonales égales font un rectangle — le trapèze isocèle en a aussi.

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Exercice 8

x3xABCD

Dans le parallélogramme ABCDABCD, l'angle B^\widehat{B} vaut trois fois l'angle A^\widehat{A}. Que vaut B^\widehat{B}, en degrés ?

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Réponse : 135

Corrigé :

x+3x=180∘ ⇒ x=45∘\begin{aligned}x + 3x &= 180^\circ \ \Rightarrow\ x \\ &= 45^\circ\end{aligned}

deux angles consécutifs font 180°

B^=3⋅45∘=135∘\begin{aligned}\widehat{B} &= 3 \cdot 45^\circ \\ &= 135^\circ\end{aligned}

135∘135^\circ. Le piège : écrire x+3x=360∘x + 3x = 360^\circ. Deux angles consécutifs font 180∘180^\circ ; c'est la somme des quatre qui fait 360∘360^\circ.

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Exercice 9

100°100°100°xABCD

Dans la figure, trois angles sont obtus. On peut agrandir l'angle xx jusqu'à le rendre obtus lui aussi, sans changer les trois autres.

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Réponse : Faux

Corrigé :

x=360∘−3⋅100∘=60∘\begin{aligned}x &= 360^\circ - 3 \cdot 100^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

la somme des quatre angles est fixée

Faux. Les trois autres fixés, xx vaut forcément 60∘60^\circ. Et quatre angles obtus sont impossibles dans tout quadrilatère : ils dépasseraient 4⋅90∘=360∘4 \cdot 90^\circ = 360^\circ.

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Exercice 10

1084ABCDH

Un parallélogramme a des côtés de 1010 et 88. La hauteur relative au côté 1010 mesure 44. Que vaut la hauteur relative au côté 88 ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

S=10⋅4=40\begin{aligned}S &= 10 \cdot 4 \\ &= 40\end{aligned}

l'aire, avec le côté 10 et sa hauteur

8⋅h=40 ⇒ h=5\begin{aligned}8 \cdot h &= 40 \ \Rightarrow\ h \\ &= 5\end{aligned}

la même aire, avec le côté 8

55. Une seule aire, deux façons de l'écrire. Le piège : 10⋅8=8010 \cdot 8 = 80, le produit des côtés, qui n'est pas l'aire.

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Exercice 11

94ABCDE

Le parallélogramme ABCDABCD a une base AB=9AB = 9 et une hauteur 44. Le point EE est sur le côté DCDC. Complétez.

Aire de ABCD = ____ ; aire du triangle ABE = ____.

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Réponse : Aire de ABCD = 36 ; aire du triangle ABE = 18.

Corrigé :

SABCD=9⋅4=36\begin{aligned}S_{ABCD} &= 9 \cdot 4 \\ &= 36\end{aligned}

base fois hauteur

SABE=9⋅42=18\begin{aligned}S_{ABE} &= \dfrac{9 \cdot 4}{2} \\ &= 18\end{aligned}

même base, même hauteur, divisé par 2

Le triangle a la même base et la même hauteur que le parallélogramme : il en fait la moitié, où que soit EE sur DCDC.

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Exercice 12

1024ABCD

Un losange a des diagonales de 1010 et 2424. Quelle est son aire ?

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Réponse : 120

Corrigé :

S=10⋅242=120\begin{aligned}S &= \dfrac{10 \cdot 24}{2} \\ &= 120\end{aligned}

la moitié du produit des diagonales

120120. Le piège : 10⋅24=24010 \cdot 24 = 240, le rectangle qui entoure le losange.

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Exercice 13

14810ABCDH

Un trapèze rectangle a des bases de 1414 et 88, et son côté oblique mesure 1010. Quelle est son aire ?

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Réponse : 88

Corrigé :

HB=14−8=6\begin{aligned}HB &= 14 - 8 \\ &= 6\end{aligned}

un seul triangle, qui prend tout l'écart des bases

CH=102−62=8\begin{aligned}CH &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

Pythagore : le triplet 6, 8, 10

S=(14+8)⋅82=88\begin{aligned}S &= \dfrac{(14 + 8) \cdot 8}{2} \\ &= 88\end{aligned}

la formule du trapèze

8888. Dans un trapèze rectangle, l'écart des bases ne se partage pas en deux : un seul triangle le prend. Le piège : 14−82=3\dfrac{14 - 8}{2} = 3, comme dans un trapèze isocèle.

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Exercice 14

abdABCD

Associez chaque rectangle à son autre côté.

  • aire 4242, un côté 66
  • périmètre 3030, un côté 55
  • diagonale 1313, un côté 55
  • diagonale 1717, un côté 88
  • 1010
  • 1212
  • 1515
  • 77
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Réponse : aire 4242, un côté 66 — 77 · périmètre 3030, un côté 55 — 1010 · diagonale 1313, un côté 55 — 1212 · diagonale 1717, un côté 88 — 1515

Corrigé :

42:6=715−5=10\begin{aligned}42 : 6 &= 7 \qquad 15 - 5 \\ &= 10\end{aligned}

l'aire, puis le demi-périmètre

132−52=12172−82=15\begin{aligned}\sqrt{13^2 - 5^2} &= 12 \qquad \sqrt{17^2 - 8^2} \\ &= 15\end{aligned}

Pythagore, avec la diagonale pour hypoténuse

Une donnée, une équation. Le piège du périmètre : 30−5=2530 - 5 = 25 oublie que 3030 compte chaque côté deux fois.

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Exercice 15

73BCDAE

Dans le parallélogramme ABCDABCD, AB=7AB = 7. La bissectrice de B^\widehat{B} coupe le côté ADAD en EE, et ED=3ED = 3. Quel est le périmètre ?

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Réponse : 34

Corrigé :

AEB^=EBC^=ABE^\begin{aligned}\widehat{AEB} &= \widehat{EBC} \\ &= \widehat{ABE}\end{aligned}

alternes-internes, puis la bissectrice

AE=AB=7 AD=7+3=10\begin{aligned}AE &= AB \\ &= 7 \\ \ AD &= 7 + 3 \\ &= 10\end{aligned}

le triangle ABE est isocèle

P=2(7+10)=34\begin{aligned}P &= 2(7 + 10) \\ &= 34\end{aligned}

3434. La bissectrice a recopié ABAB sur ADAD. Le piège : 2(7+3)=202(7 + 3) = 20, qui prend le morceau EDED pour le côté entier.

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Exercice 16

30°45°60°90°

Quatre losanges de côté 66. Rangez-les de la plus petite aire à la plus grande.

  • angle 30∘30^\circ
  • angle 45∘45^\circ
  • angle 60∘60^\circ
  • angle 90∘90^\circ
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Réponse : angle 30∘30^\circ · angle 45∘45^\circ · angle 60∘60^\circ · angle 90∘90^\circ

Corrigé :

6⋅3=18182≈25,5183≈31,2366 \cdot 3 = 18 \quad 18\sqrt{2} \approx 25{,}5 \quad 18\sqrt{3} \approx 31{,}2 \quad 36

côté fois hauteur, la hauteur grandit avec l'angle

Même côté, mais pas même hauteur : plus le losange se redresse, plus il gagne d'aire, jusqu'au carré. Le piège : croire que quatre côtés de 66 donnent toujours 3636.

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