On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Trois questions du chapitre, trois formes, chacune déroulée une étape par clic. Cherchez avant de cliquer : l'animation ne sert à rien si vous lisez la solution d'un trait.

Sous chaque scène, vous refaites le geste vous-même sur un autre nombre. Puis des questions jumelles attendent : même geste, autres nombres.

Le but de cette unité n'est pas d'apprendre trois recettes, mais d'apprendre à nommer la forme en dix secondes. Avant chaque scène, demandez-vous : est-ce un radical à simplifier, une racine à situer, ou une racine cachée dans un symbole inventé ?

1 — Sortir le plus grand carré parfait

La forme la plus fréquente du chapitre : un radical à mettre sous la forme aba\sqrt{b}. Les options de l'examen sont toujours simplifiées au maximum — un résultat juste mais inachevé n'y figure pas.

À vous. Un autre nombre, la même descente dans la liste des carrés.

2 — Situer une racine sans calculatrice

L'examen se passe sans calculatrice, et beaucoup d'options ne diffèrent que par leur ordre de grandeur. Encadrer la racine entre deux entiers suffit presque toujours à trancher.

À vous. Un nombre à trois chiffres, les mêmes deux bornes à trouver.

3 — L'opération inventée qui cache un exposant fractionnaire

L'examen aime définir un symbole nouveau, puis vous demander de l'appliquer deux fois. Le piège n'est pas le symbole : c'est la racine qu'il contient. Tant qu'elle reste écrite en radical, aucune règle ne s'applique.

À vous. La même mécanique avec une racine cubique — et, cette fois, une réponse en lettres.

Si vos trois jumelles sont justes, passez aux séries. Si l'une vous a échappé, relisez d'abord le geste correspondant du cours : les séries supposent les trois gestes acquis, et s'entraîner sur une méthode qu'on n'a pas encore installée ne fait qu'ancrer l'erreur.

Exercices

Exercice 1

98=?\sqrt{98} = ?

  1. 49249\sqrt{2}
  2. 1414
  3. 272\sqrt{7}
  4. 727\sqrt{2}
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Réponse : D 727\sqrt{2}

Corrigé :

98=49×298 = 49 \times 2

Le plus grand carré parfait qui divise 9898 : 4949.

49⋅2=72\sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}

La bonne réponse : « 727\sqrt{2} ». « 272\sqrt{7} » — les deux nombres échangés ; cette option vaut environ 5,35{,}3, contre 9,99{,}9 pour la bonne. « 49249\sqrt{2} » — le carré parfait sorti sans que sa racine soit prise. « 1414 » — c'est 7×27 \times 2, la racine de 22 perdue. Contrôle : 72×2=987^{2} \times 2 = 98.

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Exercice 2

Entre quels entiers consécutifs se situe 130\sqrt{130} ?

  1. 11<130<1211 < \sqrt{130} < 12
  2. 12<130<1312 < \sqrt{130} < 13
  3. 64<130<6664 < \sqrt{130} < 66
  4. 10<130<1110 < \sqrt{130} < 11
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 11<130<1211 < \sqrt{130} < 12

Corrigé :

112=121122=144\begin{aligned}11^{2} &= 121 \\ \quad 12^{2} &= 144\end{aligned}

Les deux carrés parfaits qui encadrent 130130.

121<130<144121 < 130 < 144

Et la racine conserve l'ordre.

La bonne réponse : « 11<130<1211 < \sqrt{130} < 12 ». « 10<130<1110 < \sqrt{130} < 11 » — 112=12111^{2} = 121 est déjà sous 130130, donc la racine dépasse 1111. « 12<130<1312 < \sqrt{130} < 13 » — 122=14412^{2} = 144 dépasse 130130. « 64<130<6664 < \sqrt{130} < 66 » — la moitié de 130130, encadrée : la racine n'est jamais la moitié. 130\sqrt{130} vaut environ 11,411{,}4.

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Exercice 3

Pour tout t>0t > 0, on pose ♡(t)=t⋅t3\heartsuit(t) = t \cdot \sqrt[3]{t}. À quoi est égal ♡(♡(t))\heartsuit\big(\heartsuit(t)\big) ?

  1. t8/3t^{8/3}
  2. t9/16t^{9/16}
  3. t16/9t^{16/9}
  4. t4/3t^{4/3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C t16/9t^{16/9}

Corrigé :

t⋅t3=t1⋅t13=t43\begin{aligned}t \cdot \sqrt[3]{t} &= t^{1} \cdot t^{\frac{1}{3}} \\ &= t^{\frac{4}{3}}\end{aligned}

La racine cubique devient un exposant 13\tfrac{1}{3}, et les deux exposants s'additionnent : c'est un produit de puissances de même base.

♡(♡(t))=(t43)43\heartsuit\big(\heartsuit(t)\big) = \big(t^{\frac{4}{3}}\big)^{\frac{4}{3}}

Appliquer l'opération à son propre résultat, c'est une puissance de puissance.

t43×43=t169t^{\frac{4}{3} \times \frac{4}{3}} = t^{\frac{16}{9}}

Les deux exposants se multiplient : 43×43=169\tfrac{4}{3} \times \tfrac{4}{3} = \tfrac{16}{9}.

La bonne réponse : « t16/9t^{16/9} ». « t8/3t^{8/3} » — c'est 43+43\tfrac{4}{3} + \tfrac{4}{3} : les exposants additionnés alors qu'il s'agit d'une puissance de puissance. « t4/3t^{4/3} » — c'est ♡(t)\heartsuit(t), l'opération appliquée une seule fois. « t9/16t^{9/16} » — la fraction renversée, l'erreur qu'on fait en croyant qu'une racine « divise » toujours. Le contrôle : 169\tfrac{16}{9} est plus grand que 11, donc le résultat doit dépasser tt quand t>1t > 1 — ce que t9/16t^{9/16} ne fait pas.

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Exercice 4

Simplifiez 162\sqrt{162}.

162 = 81 × 2, donc √162 = ____√2.

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Réponse : 162 = 81 × 2, donc √162 = 9√2.

Corrigé :

162=81×2162 = 81 \times 2

Le plus grand carré parfait qui divise 162162 : 8181.

162=92\sqrt{162} = 9\sqrt{2}

Contrôle : 92×2=1629^{2} \times 2 = 162.

9. Avec 99 seulement, on écrirait 3183\sqrt{18} : juste, mais inachevé.

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Exercice 5

48=212\sqrt{48} = 2\sqrt{12}, et c'est la forme la plus simple.

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Réponse : Faux

Corrigé :

48=16×348 = 16 \times 3

Le plus grand carré parfait qui divise 4848 est 1616, pas 44.

48=43\sqrt{48} = 4\sqrt{3}

2122\sqrt{12} vaut bien 48\sqrt{48}, mais 1212 contient encore 44.

Faux. L'égalité est juste, la forme ne l'est pas : 212=2⋅23=432\sqrt{12} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}. L'examen ne propose que la forme achevée.

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Exercice 6

Quel est le plus grand entier inférieur à 300\sqrt{300} ?

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Réponse : 17

Corrigé :

172=289182=324\begin{aligned}17^{2} &= 289 \\ \quad 18^{2} &= 324\end{aligned}

Les deux carrés parfaits qui encadrent 300300.

289<300<324⇒17<300<18289 < 300 < 324 \Rightarrow 17 < \sqrt{300} < 18

17. Le piège : 150150, la moitié. Et 300=103≈17,3\sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}3 le confirme.

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Exercice 7

Associez chaque racine aux deux entiers qui l'encadrent.

  • 20\sqrt{20}
  • 50\sqrt{50}
  • 90\sqrt{90}
  • 150\sqrt{150}
  • entre 1212 et 1313
  • entre 44 et 55
  • entre 77 et 88
  • entre 99 et 1010
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 20\sqrt{20} — entre 44 et 55 · 50\sqrt{50} — entre 77 et 88 · 90\sqrt{90} — entre 99 et 1010 · 150\sqrt{150} — entre 1212 et 1313

Corrigé :

16<20<25,49<50<6416 < 20 < 25, \quad 49 < 50 < 64

20\sqrt{20} entre 44 et 55 ; 50\sqrt{50} entre 77 et 88.

81<90<100,144<150<16981 < 90 < 100, \quad 144 < 150 < 169

90\sqrt{90} entre 99 et 1010 ; 150\sqrt{150} entre 1212 et 1313.

Chaque fois, on cherche le dernier carré parfait sous le nombre. Connaître les carrés jusqu'à 152=22515^{2} = 225 suffit presque toujours.

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Exercice 8

Pour tout t>0t > 0, on pose ♢(t)=t⋅t3\diamondsuit(t) = \sqrt{t} \cdot \sqrt[3]{t}. À quoi est égal ♢(♢(t))\diamondsuit\big(\diamondsuit(t)\big) ?

  1. t36/25t^{36/25}
  2. t5/3t^{5/3}
  3. t25/36t^{25/36}
  4. t5/6t^{5/6}
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Réponse : C t25/36t^{25/36}

Corrigé :

t⋅t3=t12+13=t56\begin{aligned}\sqrt{t} \cdot \sqrt[3]{t} &= t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \\ &= t^{\frac{5}{6}}\end{aligned}

Même base : les exposants s'additionnent.

(t56)56=t2536\big(t^{\frac{5}{6}}\big)^{\frac{5}{6}} = t^{\frac{25}{36}}

Appliquer l'opération à son résultat : les exposants se multiplient.

La bonne réponse : « t25/36t^{25/36} ». « t5/3t^{5/3} » — 56+56\tfrac{5}{6} + \tfrac{5}{6} : additionnés au lieu d'être multipliés. « t5/6t^{5/6} » — c'est ♢(t)\diamondsuit(t), une seule application. « t36/25t^{36/25} » — la fraction renversée.

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Exercice 9

Pour tout t>0t > 0, on pose ♣(t)=t⋅t\clubsuit(t) = t \cdot \sqrt{t}. Combien vaut ♣(♣(16))\clubsuit\big(\clubsuit(16)\big) ?

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Réponse : 512

Corrigé :

♣(16)=16⋅4=64\begin{aligned}\clubsuit(16) &= 16 \cdot 4 \\ &= 64\end{aligned}

D'abord l'intérieur.

♣(64)=64⋅8=512\begin{aligned}\clubsuit(64) &= 64 \cdot 8 \\ &= 512\end{aligned}

Puis l'opération sur ce résultat.

1694=29=512\begin{aligned}16^{\frac{9}{4}} &= 2^{9} \\ &= 512\end{aligned}

Contrôle par les exposants : ♣(♣(t))=t94\clubsuit(\clubsuit(t)) = t^{\frac{9}{4}}.

512. Le piège : s'arrêter à ♣(16)=64\clubsuit(16) = 64, l'opération appliquée une seule fois.

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Exercice 10

Ce radical est-il déjà simplifié au maximum ?

  • Simplifié au maximum
  • Se simplifie encore
  • 12\sqrt{12}
  • 282\sqrt{8}
  • 3183\sqrt{18}
  • 323\sqrt{2}
  • 464\sqrt{6}
  • 535\sqrt{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 323\sqrt{2} — Simplifié au maximum · 282\sqrt{8} — Se simplifie encore · 535\sqrt{3} — Simplifié au maximum · 12\sqrt{12} — Se simplifie encore · 464\sqrt{6} — Simplifié au maximum · 3183\sqrt{18} — Se simplifie encore

Corrigé :

28=4212=23318=92\begin{aligned}2\sqrt{8} &= 4\sqrt{2} \\ \quad \sqrt{12} &= 2\sqrt{3} \\ \quad 3\sqrt{18} &= 9\sqrt{2}\end{aligned}

Sous la racine, 88, 1212 et 1818 cachent un carré parfait.

2, 3, 62,\ 3,\ 6

Aucun carré parfait ne divise 22, 33 ou 66.

Un radical est achevé quand aucun carré parfait ne divise le nombre sous la racine — le facteur devant ne compte pas.

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