Le réflexe racine

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Deuxième chapitre du sujet : les racines. Elles arrivent à l'examen sous trois formes : un radical à simplifier, une racine à situer, une racine cachée dans une opération inventée.

Les trois se règlent par le même réflexe : une racine est une puissance, et on la réécrit comme telle.

Ce chapitre suppose les règles des puissances acquises. Si am⋅ana^{m} \cdot a^{n} ou (am)n(a^{m})^{n} vous font hésiter, commencez par le chapitre « Puissances ».

Ce que le formulaire dit des racines

Le formulaire range la racine parmi les puissances, avec une seule égalité : amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}.

La page des conventions ajoute une ligne qu'on saute toujours : le symbole a\sqrt{a} ne désigne que la valeur positive. 9\sqrt{9} vaut 33, jamais −3-3.

En revanche, l'équation x2=9x^{2} = 9 a bien deux solutions. Confondre les deux coûte au moins une question par session.

Geste 1 — une racine est une puissance, et rien d'autre

Le symbole racine ne se manipule pas ; l'exposant, si. Réécrivez d'abord, calculez ensuite.

Sans la figure : combien vaut 3105\sqrt[5]{3^{10}} ?

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32=93^{2} = 9. Dix facteurs 33 en cinq paquets : deux par paquet. L'exposant 1010 est divisé par l'indice 55.

amn=amn\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}

l'indice de la racine passe au dénominateur de l'exposant

a=a12\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}

la racine carrée

a3=a13\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}

la racine cubique

1a=a−12\dfrac{1}{\sqrt{a}} = a^{-\frac{1}{2}}

et son inverse

Produit oui, somme non

La racine ne traverse ni une somme ni une différence — c'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre :

a+b=a+b\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}
9+16=5≠3+4\sqrt{9 + 16} = 5 \ne 3 + 4

Un contre-exemple à deux chiffres suffit à s'en souvenir : 25=5\sqrt{25} = 5, alors que 9+16=7\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7.

50=25+25\sqrt{50} = \sqrt{25} + \sqrt{25}
50=25⋅2=52\begin{aligned}\sqrt{50} &= \sqrt{25 \cdot 2} \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}

Sur un produit, en revanche, la racine passe sans problème — et c'est ainsi qu'on simplifie un radical : on cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre. Produit oui, somme non.

Un carré sous une racine ne rend pas le nombre de départ, mais sa valeur absolue : x2=∣x∣\sqrt{x^{2}} = |x|.

Geste 2 — de quel côté de 1 sommes-nous ?

« Élever au carré, ça agrandit » est faux la moitié du temps.

Entre 00 et 11, multiplier par un nombre plus petit que 11 diminue. Le carré descend donc, et la racine, qui fait le chemin inverse, monte.

0<a<1 ⇒ a2<a<a0 < a < 1 \ \Rightarrow\ a^{2} < a < \sqrt{a}

sous 1, le carré rapetisse

a>1 ⇒ a<a<a2a > 1 \ \Rightarrow\ \sqrt{a} < a < a^{2}

On donne 0<a<b<10 < a < b < 1. Laquelle de ces quatre expressions est la plus grande : a2a^{2}, b2b^{2}, a\sqrt{a}, b\sqrt{b} ?

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b\sqrt{b}, sans un seul calcul. Les deux racines sont au-dessus de leur nombre, les deux carrés en dessous, et à l'intérieur de chaque paire l'ordre de aa et bb est conservé : a2<b2<a<b<a<ba^{2} < b^{2} < a < b < \sqrt{a} < \sqrt{b}.

Geste 3 — simplifier un radical

Simplifier, c'est chercher le plus grand carré parfait qui divise le nombre, et le sortir de la racine.

Geste 4 — situer une racine

Situer, c'est encadrer le nombre entre deux carrés parfaits voisins. La racine tombe entre leurs racines.

Trois valeurs à connaître de tête : 2≈1,41\sqrt{2} \approx 1{,}41, 3≈1,73\sqrt{3} \approx 1{,}73, 5≈2,24\sqrt{5} \approx 2{,}24. Elles suffisent souvent à éliminer deux options sur quatre.

Entre quels entiers consécutifs se situe 70\sqrt{70} ? Et de quel entier est-elle la plus proche ?

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Entre 88 et 99, puisque 64<70<8164 < 70 < 81. Plus près de 88 : 7070 est à 66 de 6464 et à 1111 de 8181. Ne répondez jamais 3535 — la racine d'un nombre n'est pas sa moitié.

Les pièges, en une page

Deux confusions que les distracteurs exploitent à chaque examen :

x2=x\sqrt{x^{2}} = x
x2=∣x∣\sqrt{x^{2}} = |x|

Vrai seulement si xx est positif. Dès que l'énoncé laisse le signe ouvert, il teste ça.

x2=9⇒x=3\begin{aligned}x^{2} &= 9 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}
x2=9⇒x=3 ou x=−3\begin{aligned}x^{2} &= 9 \Rightarrow x \\ &= 3 \text{ ou } x \\ &= -3\end{aligned}

Une équation garde ses deux solutions ; le symbole 9\sqrt{9}, lui, n'en désigne qu'une, la positive.

L'ordre des gestes, quand la question tombe

1. Un symbole racine ? Réécrivez-le en exposant fractionnaire. 2. Simplifier ? Sortez le plus grand carré parfait.

3. Comparer ou situer ? De quel côté de 11, ou entre quels carrés parfaits ? 4. Une équation x2=kx^{2} = k ? Deux solutions ; le symbole k\sqrt{k}, une seule.

Le contrôle qui sauve, ici plus qu'ailleurs : élevez votre réponse au carré. Une racine juste redonne toujours le nombre de départ ; une racine fausse se démasque en trois secondes.

Exercices

Exercice 1

On donne 0<t<10 < t < 1. Laquelle de ces expressions a la plus petite valeur ?

  1. t\sqrt{t}
  2. t2t^{2}
  3. t3t^{3}
  4. tt
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Réponse : C t3t^{3}

Corrigé :

t=0,5⇒t2=0,25 t3=0,125\begin{aligned}t &= 0{,}5 \Rightarrow t^{2} \\ &= 0{,}25 \\ \ t^{3} &= 0{,}125\end{aligned}

Une valeur d'essai suffit : chaque multiplication par un nombre plus petit que 11 diminue encore.

t3<t2<t<tt^{3} < t^{2} < t < \sqrt{t}

Plus l'exposant est grand, plus on descend vers 00.

La bonne réponse : « t3t^{3} ». « t2t^{2} » — la bonne direction, mais un cran trop haut : l'exposant 33 descend plus bas encore. « tt » — c'est le nombre de départ, à qui l'on compare tous les autres. « t\sqrt{t} » — c'est la plus grande des quatre : la racine remonte vers 11. Le réflexe : entre 00 et 11, un exposant plus grand donne un nombre plus petit.

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Exercice 2

a6⋅b2=?\sqrt{a^{6} \cdot b^{2}} = ? (a>0a > 0, b>0b > 0)

  1. a3ba^{3} b
  2. a4ba^{4} b
  3. a3b2a^{3} b^{2}
  4. a12b4a^{12} b^{4}
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Réponse : A a3ba^{3} b

Corrigé :

a6⋅b2=(a6b2)12\sqrt{a^{6} \cdot b^{2}} = (a^{6} b^{2})^{\frac{1}{2}}

La racine devient un exposant 12\tfrac{1}{2}.

a6⋅12⋅b2⋅12=a3ba^{6 \cdot \frac{1}{2}} \cdot b^{2 \cdot \frac{1}{2}} = a^{3} b

Sur un produit, la racine passe sur chaque facteur : chaque exposant est divisé par deux.

La bonne réponse : « a3ba^{3} b ». « a3b2a^{3} b^{2} » — la racine appliquée à aa mais oubliée sur bb. « a12b4a^{12} b^{4} » — les exposants multipliés par deux au lieu d'être divisés : c'est le carré, pas la racine. « a4ba^{4} b » — c'est 6−26 - 2 : la racine traitée comme une soustraction de 22 sur l'exposant, au lieu d'une division par 22. Ici la racine passe sans réserve parce que l'expression est un produit ; sur une somme, elle ne passerait pas.

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Exercice 3

x2=36x^{2} = 36 et x<0x < 0. Combien vaut x2+x\sqrt{x^{2}} + x ?

  1. −12-12
  2. 00
  3. 1212
  4. 3636
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Réponse : B 00

Corrigé :

x=−6x = -6

Deux candidats, 66 et −6-6 : l'énoncé garde le négatif.

x2=∣x∣=6\begin{aligned}\sqrt{x^{2}} &= |x| \\ &= 6\end{aligned}

La racine d'un carré rend la valeur absolue, jamais le nombre lui-même.

6+(−6)=06 + (-6) = 0

La bonne réponse : « 00 ». « −12-12 » — x2\sqrt{x^{2}} remplacé par xx, soit −6+(−6)-6 + (-6) : c'est exactement l'erreur que la question cherche. « 1212 » — la valeur positive gardée pour les deux termes. « 3636 » — la racine oubliée, x2x^{2} recopié tel quel. Retenez : x2=∣x∣\sqrt{x^{2}} = |x|, et ∣x∣=−x|x| = -x dès que xx est négatif.

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Exercice 4

45=?\sqrt{45} = ?

  1. 959\sqrt{5}
  2. 1515
  3. 353\sqrt{5}
  4. 535\sqrt{3}
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Réponse : C 353\sqrt{5}

Corrigé :

45=9×545 = 9 \times 5

Le plus grand carré parfait qui divise 4545 : 99.

9⋅5=35\sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}

Le carré parfait sort de la racine.

La bonne réponse : « 353\sqrt{5} ». « 535\sqrt{3} » — les deux nombres échangés : cette option vaut 75\sqrt{75}, pas 45\sqrt{45}. « 959\sqrt{5} » — le carré parfait sorti sans que sa racine soit prise. « 1515 » — c'est 3×53 \times 5, la racine de 55 perdue en route. Le contrôle : 32×5=453^{2} \times 5 = 45.

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Exercice 5

Combien vaut 643+64\sqrt[3]{64} + \sqrt{64} ?

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Réponse : 12

Corrigé :

64=2664 = 2^{6}

Six facteurs 22.

263=22=426=23=8\begin{aligned}\sqrt[3]{2^{6}} &= 2^{2} \\ &= 4 \\ \quad \sqrt{2^{6}} &= 2^{3} \\ &= 8\end{aligned}

L'indice divise l'exposant : par 33, puis par 22.

4+8=124 + 8 = 12

12. Le piège : diviser le nombre par l'indice (643\tfrac{64}{3}, 642\tfrac{64}{2}) au lieu de diviser l'exposant.

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Exercice 6

16+9=4+3\sqrt{16 + 9} = 4 + 3.

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Réponse : Faux

Corrigé :

16+9=25=5\begin{aligned}\sqrt{16 + 9} &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

On additionne d'abord sous la racine.

5≠75 \ne 7

Faux. La racine ne traverse pas une somme : 16+9=5\sqrt{16 + 9} = 5, alors que 4+3=74 + 3 = 7. Sur un produit, elle passerait.

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Exercice 7

Simplifiez 72\sqrt{72} en sortant le plus grand carré parfait.

72 = ____ × 2, donc √72 = ____√2.

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Réponse : 72 = 36 × 2, donc √72 = 6√2.

Corrigé :

72=36×272 = 36 \times 2

Le plus grand carré parfait qui divise 7272 : 3636.

72=36⋅2=62\begin{aligned}\sqrt{72} &= \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} \\ &= 6\sqrt{2}\end{aligned}

36 et 6. Avec 44 ou 99, on obtient 2182\sqrt{18} ou 383\sqrt{8} : juste, mais inachevé.

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Exercice 8

On donne 0<a<10 < a < 1. Chaque expression est-elle plus petite ou plus grande que aa ?

  • Plus petite que aa
  • Plus grande que aa
  • 1a\dfrac{1}{a}
  • a2\dfrac{a}{2}
  • a3\sqrt[3]{a}
  • a\sqrt{a}
  • a2a^{2}
  • a3a^{3}
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Réponse : a2a^{2} — Plus petite que aa · a\sqrt{a} — Plus grande que aa · a3a^{3} — Plus petite que aa · a3\sqrt[3]{a} — Plus grande que aa · a2\dfrac{a}{2} — Plus petite que aa · 1a\dfrac{1}{a} — Plus grande que aa

Corrigé :

a=0,3⇒a2=0,09 a3=0,027 a2=0,15\begin{aligned}a &= 0{,}3 \Rightarrow a^{2} \\ &= 0{,}09 \\ \ a^{3} &= 0{,}027 \\ \ \tfrac{a}{2} &= 0{,}15\end{aligned}

Une valeur d'essai : les puissances et la moitié descendent.

0,3≈0,55, 0,33≈0,67, 10,3≈3,3\sqrt{0{,}3} \approx 0{,}55,\ \sqrt[3]{0{,}3} \approx 0{,}67,\ \tfrac{1}{0{,}3} \approx 3{,}3

Les racines et l'inverse montent.

Sous 11, les puissances descendent et les racines montent. L'inverse 1a\tfrac{1}{a} dépasse même 11.

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Exercice 9

x=−7x = -7. Combien vaut x2\sqrt{x^{2}} ?

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Réponse : 7

Corrigé :

x2=(−7)2=49\begin{aligned}x^{2} &= (-7)^{2} \\ &= 49\end{aligned}

Le carré efface le signe.

49=7\sqrt{49} = 7

Le symbole ne rend que la valeur positive.

7, et non −7-7 : x2=∣x∣\sqrt{x^{2}} = |x|. Répondre −7-7, c'est croire que la racine « défait » le carré.

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Exercice 10

Entre quels entiers consécutifs se situe 40\sqrt{40} ?

  1. 7<40<87 < \sqrt{40} < 8
  2. 19<40<2119 < \sqrt{40} < 21
  3. 6<40<76 < \sqrt{40} < 7
  4. 5<40<65 < \sqrt{40} < 6
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Réponse : C 6<40<76 < \sqrt{40} < 7

Corrigé :

62=3672=49\begin{aligned}6^{2} &= 36 \\ \quad 7^{2} &= 49\end{aligned}

Les deux carrés parfaits qui encadrent 4040.

36<40<49⇒6<40<736 < 40 < 49 \Rightarrow 6 < \sqrt{40} < 7

La bonne réponse : « 6<40<76 < \sqrt{40} < 7 ». « 5<40<65 < \sqrt{40} < 6 » — 62=366^{2} = 36 est déjà sous 4040. « 7<40<87 < \sqrt{40} < 8 » — 72=497^{2} = 49 dépasse 4040. « 19<40<2119 < \sqrt{40} < 21 » — la moitié de 4040 : la racine n'est jamais la moitié.

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Exercice 11

L'équation x2=25x^{2} = 25 a deux solutions, alors que 25\sqrt{25} ne désigne que 55.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

x2=25⇒x=5 ou x=−5\begin{aligned}x^{2} &= 25 \Rightarrow x \\ &= 5 \text{ ou } x \\ &= -5\end{aligned}

Deux nombres ont pour carré 2525.

25=5\sqrt{25} = 5

Le symbole ne désigne que la valeur positive.

Vrai. C'est la différence entre une équation, qui garde ses deux solutions, et un symbole, qui n'en désigne qu'une.

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Exercice 12

Rangez ces nombres du plus petit au plus grand.

  • 50\sqrt{50}
  • 363\sqrt{6}
  • 535\sqrt{3}
  • 77
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Réponse : 77 · 50\sqrt{50} · 363\sqrt{6} · 535\sqrt{3}

Corrigé :

7=4936=5453=75\begin{aligned}7 &= \sqrt{49} \\ \quad 3\sqrt{6} &= \sqrt{54} \\ \quad 5\sqrt{3} &= \sqrt{75}\end{aligned}

On fait rentrer chaque facteur sous la racine : kr=k2rk\sqrt{r} = \sqrt{k^{2} r}.

49<50<54<75\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{54} < \sqrt{75}

Sous une même racine, l'ordre est celui des nombres.

7<50<36<537 < \sqrt{50} < 3\sqrt{6} < 5\sqrt{3}. Le piège : comparer les facteurs devant la racine (5>35 > 3) sans regarder ce qu'il y a dessous.

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