Série 1 — la racine devient un exposant

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions en douze minutes, puis trois de plus, sous d’autres formes. Première série du chapitre des racines : elle commence par le geste qui les rend manipulables.

Le symbole racine ne se manipule pas. L'exposant, si. Tant que  \sqrt{\ } reste écrit, aucune des règles du formulaire ne s'applique — et c'est pour cela que la première ligne de votre brouillon doit toujours être une réécriture.

L'égalité à graver : amn=amn\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}. L'indice de la racine va au dénominateur. Une fois qu'elle est automatique, la moitié de ce chapitre se fait de tête.

Exercices

Exercice 1

a10=?\sqrt{a^{10}} = ? (a>0a > 0)

  1. a100a^{100}
  2. a8a^{8}
  3. a20a^{20}
  4. a5a^{5}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D a5a^{5}

Corrigé :

a10=a102\sqrt{a^{10}} = a^{\frac{10}{2}}

L'indice 22 de la racine carrée passe au dénominateur.

=a5= a^{5}

La bonne réponse : « a5a^{5} ». « a20a^{20} » — l'exposant multiplié par 22 : c'est le carré, l'opération inverse. « a8a^{8} » — c'est 10−210 - 2 : la racine traitée comme un quotient. « a100a^{100} » — l'exposant élevé au carré. Le contrôle : le résultat doit, une fois élevé au carré, redonner a10a^{10} — et (a5)2=a10\big(a^{5}\big)^{2} = a^{10}.

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Exercice 2

x123=?\sqrt[3]{x^{12}} = ? (x>0x > 0)

  1. x36x^{36}
  2. x9x^{9}
  3. x6x^{6}
  4. x4x^{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D x4x^{4}

Corrigé :

x123=x123=x4\begin{aligned}\sqrt[3]{x^{12}} &= x^{\frac{12}{3}} \\ &= x^{4}\end{aligned}

L'indice 33 va au dénominateur : 1212 divisé par 33.

La bonne réponse : « x4x^{4} ». « x36x^{36} » — l'exposant multiplié par 33. « x9x^{9} » — c'est 12−312 - 3. « x6x^{6} » — la racine carrée appliquée au lieu de la cubique : le piège est de lire l'indice trop vite.

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Exercice 3

t⋅t⋅t=?\sqrt{t} \cdot \sqrt{t} \cdot \sqrt{t} = ? (t>0t > 0)

  1. 3t\sqrt{3t}
  2. t3/2t^{3/2}
  3. t1/6t^{1/6}
  4. t3t^{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B t3/2t^{3/2}

Corrigé :

t=t12\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}

On réécrit chaque facteur.

t12⋅t12⋅t12=t32t^{\frac{1}{2}} \cdot t^{\frac{1}{2}} \cdot t^{\frac{1}{2}} = t^{\frac{3}{2}}

Produit de même base : trois demis.

La bonne réponse : « t3/2t^{3/2} ». « t3t^{3} » — les racines simplement effacées. « t1/6t^{1/6} » — les indices additionnés, 2+2+2=62 + 2 + 2 = 6 : trois racines carrées prises pour une racine sixième, alors que ce sont les exposants 12\tfrac{1}{2} qui s'additionnent. « 3t\sqrt{3t} » — le nombre de facteurs glissé sous la racine, ce qu'aucune règle n'autorise.

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Exercice 4

823=?8^{\frac{2}{3}} = ?

  1. 163\dfrac{16}{3}
  2. 1616
  3. 22
  4. 44
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 44

Corrigé :

8=238 = 2^{3}

On choisit la base dont l'exposant absorbe le dénominateur 33.

(23)23=22=4\begin{aligned}\big(2^{3}\big)^{\frac{2}{3}} &= 2^{2} \\ &= 4\end{aligned}

Le 33 de la base et le 33 du dénominateur se simplifient.

La bonne réponse : « 44 ». « 1616 » — c'est 82:48^{2} : 4, ou 242^{4} : l'exposant 23\tfrac{2}{3} lu comme 22 puis mal corrigé. « 163\tfrac{16}{3} » — c'est 8×238 \times \tfrac{2}{3} : l'exposant traité comme un facteur. « 22 » — c'est 8138^{\frac{1}{3}} : le numérateur 22 de l'exposant oublié.

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Exercice 5

1y=?\dfrac{1}{\sqrt{y}} = ? (y>0y > 0)

  1. y1/2y^{1/2}
  2. y−1/2y^{-1/2}
  3. y−2y^{-2}
  4. −y1/2-y^{1/2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B y−1/2y^{-1/2}

Corrigé :

y=y12\sqrt{y} = y^{\frac{1}{2}}

D'abord la racine.

1y12=y−12\dfrac{1}{y^{\frac{1}{2}}} = y^{-\frac{1}{2}}

Puis la barre : le facteur remonte et son exposant change de signe.

La bonne réponse : « y−1/2y^{-1/2} ». « y1/2y^{1/2} » — c'est y\sqrt{y} lui-même : la barre de fraction ignorée. « −y1/2-y^{1/2} » — le signe moins posé devant l'expression au lieu de l'exposant. « y−2y^{-2} » — l'exposant 12\tfrac{1}{2} renversé en 22 : deux opérations différentes confondues.

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Exercice 6

a⋅a4=?\sqrt{a} \cdot \sqrt[4]{a} = ? (a>0a > 0)

  1. a6\sqrt[6]{a}
  2. a3/4a^{3/4}
  3. a1/8a^{1/8}
  4. a2/6a^{2/6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B a3/4a^{3/4}

Corrigé :

a12⋅a14a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{4}}

Les deux racines deviennent des exposants.

12+14=34\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}

Produit de même base : on additionne, avec un dénominateur commun.

La bonne réponse : « a3/4a^{3/4} ». « a1/8a^{1/8} » — les exposants multipliés. « a2/6a^{2/6} » — les numérateurs et les dénominateurs additionnés séparément, une addition de fractions fausse. « a6\sqrt[6]{a} » — c'est a1/6a^{1/6} : les deux indices 22 et 44 additionnés sous la racine.

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Exercice 7

(x)6=?\big(\sqrt{x}\big)^{6} = ? (x>0x > 0)

  1. x6x^{6}
  2. x3x^{3}
  3. x6⋅6\sqrt{x^{6}} \cdot 6
  4. x12x^{12}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B x3x^{3}

Corrigé :

(x12)6=x62\big(x^{\frac{1}{2}}\big)^{6} = x^{\frac{6}{2}}

Puissance de puissance : les exposants se multiplient.

=x3= x^{3}

La bonne réponse : « x3x^{3} ». « x12x^{12} » — l'exposant 66 multiplié par 22 au lieu d'être divisé. « x6x^{6} » — la racine effacée sans être prise en compte. « x6⋅6\sqrt{x^{6}} \cdot 6 » — l'exposant à la fois placé sous la racine et gardé comme facteur. Notez que x6\sqrt{x^{6}} tout seul aurait été juste : c'est la même valeur, écrite avant simplification.

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Exercice 8

2723=?\sqrt[3]{27^{2}} = ?

  1. 33
  2. 2727
  3. 1818
  4. 99
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 99

Corrigé :

27=3327 = 3^{3}

On réécrit sur la base 33.

(33)23=363=32\begin{aligned}\sqrt[3]{\big(3^{3}\big)^{2}} &= 3^{\frac{6}{3}} \\ &= 3^{2}\end{aligned}

Exposant 66, indice 33.

=9= 9

La bonne réponse : « 99 ». « 33 » — c'est 273\sqrt[3]{27} : l'exposant 22 oublié. « 1818 » — c'est 27×2:327 \times 2 : 3 : les deux opérations traitées comme des facteurs. « 2727 » — le nombre de départ recopié, comme si racine cubique et carré s'annulaient. Le raccourci : 2723=(273)2=32\sqrt[3]{27^{2}} = \big(\sqrt[3]{27}\big)^{2} = 3^{2} — on peut extraire d'abord, élever ensuite.

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Exercice 9

m>0m > 0. m9m3=?\dfrac{\sqrt{m^{9}}}{\sqrt{m^{3}}} = ?

  1. m3m^{3}
  2. m1,5m^{1{,}5}
  3. m12m^{12}
  4. m6m^{6}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A m3m^{3}

Corrigé :

m92m32=m92−32\dfrac{m^{\frac{9}{2}}}{m^{\frac{3}{2}}} = m^{\frac{9}{2} - \frac{3}{2}}

Deux réécritures, puis un quotient de même base.

=m62=m3= m^{\frac{6}{2}} = m^{3}

La bonne réponse : « m3m^{3} ». « m6m^{6} » — c'est 9−39 - 3 : la soustraction faite avant de diviser par 22, et le 22 ensuite oublié. « m1,5m^{1{,}5} » — c'est 32\tfrac{3}{2} : le dénominateur recopié comme réponse. « m12m^{12} » — les exposants additionnés. Un chemin plus court existe : m9m3=m6=m3\sqrt{\tfrac{m^{9}}{m^{3}}} = \sqrt{m^{6}} = m^{3}.

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Exercice 10

1634=?16^{\frac{3}{4}} = ?

  1. 1212
  2. 22
  3. 88
  4. 6464
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Réponse : C 88

Corrigé :

16=2416 = 2^{4}

La base dont l'exposant absorbe le dénominateur 44.

(24)34=23=8\begin{aligned}\big(2^{4}\big)^{\frac{3}{4}} &= 2^{3} \\ &= 8\end{aligned}

La bonne réponse : « 88 ». « 1212 » — c'est 16×3416 \times \tfrac{3}{4} : l'exposant traité comme une fraction du nombre. C'est le distracteur le plus choisi de cette forme, parce qu'il ressemble à un calcul de pourcentage. « 6464 » — c'est 163216^{\frac{3}{2}} ou 434^{3} : le dénominateur 44 lu comme 22. « 22 » — c'est 161416^{\frac{1}{4}} : le numérateur 33 oublié.

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Exercice 11

3235=?32^{\frac{3}{5}} = ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

32=2532 = 2^{5}

On écrit la base comme une puissance.

(25)35=23=8\begin{aligned}\big(2^{5}\big)^{\frac{3}{5}} &= 2^{3} \\ &= 8\end{aligned}

Puissance de puissance : les exposants se multiplient.

8. Le piège : 32×3532 \times \tfrac{3}{5}. Un exposant fractionnaire ne multiplie pas la base : il prend une racine, ici la racine cinquième.

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Exercice 12

a24=a\sqrt[4]{a^{2}} = \sqrt{a} pour tout a>0a > 0.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

a24=a24=a12\begin{aligned}\sqrt[4]{a^{2}} &= a^{\frac{2}{4}} \\ &= a^{\frac{1}{2}}\end{aligned}

L'indice 44 va au dénominateur, puis on réduit.

a12=aa^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}

Vrai. 24=12\tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2} : un exposant fractionnaire se réduit comme n'importe quelle fraction.

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Exercice 13

Réécrivez en puissances de aa (a>0a > 0).

∛(a¹²) = a puissance ____, et ⁴√(a¹²) = a puissance ____.

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Réponse : ∛(a¹²) = a puissance 4, et ⁴√(a¹²) = a puissance 3.

Corrigé :

a123=a123=a4\begin{aligned}\sqrt[3]{a^{12}} &= a^{\frac{12}{3}} \\ &= a^{4}\end{aligned}

Indice 33 : 1212 divisé par 33.

a124=a124=a3\begin{aligned}\sqrt[4]{a^{12}} &= a^{\frac{12}{4}} \\ &= a^{3}\end{aligned}

Indice 44 : 1212 divisé par 44.

4 et 3. Plus l'indice est grand, plus l'exposant obtenu est petit.

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