Série 2 — simplifier un radical

Réponse : D $6\sqrt{2}$

Corrigé :

La bonne réponse : « $6\sqrt{2}$ ». « $2\sqrt{6}$ » — les deux nombres échangés : $2\sqrt{6}$ vaut environ $4{,}9$, contre $8{,}5$ pour la bonne réponse. « $8\sqrt{3}$ » — c'est $\sqrt{64 \times 3}$ : le plus grand carré cherché, $64$, mais $72$ ne se divise pas par $64$ ; $8\sqrt{3}$ vaut environ $13{,}9$. « $36\sqrt{2}$ » — le carré parfait sorti sans que sa racine soit prise.

Réponse : D $5$

Corrigé :

La bonne réponse : « $5$ ». « $7$ » — c'est $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4$ : la racine distribuée sur une somme, ce qui est interdit. C'est le contre-exemple canonique du chapitre, et il vaut la peine de le mémoriser tel quel. « $25$ » — la racine oubliée. « $12$ » — c'est $3 \times 4$ : la racine distribuée puis les deux résultats multipliés.

Réponse : A $10$

Corrigé :

La bonne réponse : « $10$ ». « $\sqrt{25}$ » — c'est $\sqrt{5 + 20}$ : les nombres additionnés sous la racine au lieu d'être multipliés. Elle vaut $5$. « $100$ » — le produit correct, mais la racine jamais extraite. « $5\sqrt{20}$ » — la première racine effacée et gardée comme facteur entier.

Réponse : D $4$

Corrigé :

La bonne réponse : « $4$ ». « $16$ » — la division faite, la racine oubliée. « $\sqrt{45}$ » — c'est $\sqrt{48 - 3}$ : la soustraction au lieu de la division. « $4\sqrt{3}$ » — c'est $\sqrt{48}$ simplifié, sans jamais diviser par $\sqrt{3}$.

Réponse : A $7\sqrt{3}$

Corrigé :

La bonne réponse : « $7\sqrt{3}$ ». « $7\sqrt{6}$ » — le bon coefficient, mais les nombres sous les racines additionnés en plus, $3 + 3 = 6$ : rien ne le demande. « $10\sqrt{3}$ » — c'est $2 \times 5$ : les coefficients multipliés au lieu d'être additionnés. « $\sqrt{21}$ » — tout fondu sous une seule racine. Retenez : $\sqrt{3}$ se comporte exactement comme une lettre $x$ dans une somme.

Réponse : D $18$

Corrigé :

La bonne réponse : « $18$ ». « $6$ » — c'est $3 \times 2$ : le carré appliqué à la racine seulement. « $9\sqrt{2}$ » — le coefficient élevé au carré, la racine laissée intacte. « $36$ » — c'est $6^{2}$ : le produit $3\sqrt{2}$ pris pour $6$ avant d'être élevé.

Réponse : D $\sqrt{a^{2} + b^{2}} = a + b$

Corrigé :

La bonne réponse : « $\sqrt{a^{2} + b^{2}} = a + b$ », qui est bien la fausse. Les trois autres sont vraies, et elles disent toutes la même chose : la racine passe sur un produit, sur un quotient, et elle s'annule avec un carré. Seule la somme lui résiste. Sur une figure, $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ est exactement l'hypoténuse — et une hypoténuse n'est jamais la somme des deux côtés.

Réponse : C $8\sqrt{2}$

Corrigé :

La bonne réponse : « $8\sqrt{2}$ ». « $\sqrt{68}$ » — c'est $\sqrt{50 + 18}$ : les nombres additionnés sous une seule racine, ce qui est interdit. « $8\sqrt{4}$ » — les radicaux bien simplifiés, puis les nombres sous les racines additionnés en plus des coefficients : $\sqrt{2 + 2}$. « $15\sqrt{2}$ » — les coefficients $5$ et $3$ multipliés au lieu d'être additionnés. La méthode est toujours : simplifier d'abord, additionner ensuite — et si les racines restantes diffèrent, la somme ne se simplifie pas du tout.

Réponse : D $10\sqrt{2}$

Corrigé :

La bonne réponse : « $10\sqrt{2}$ ». « $2\sqrt{10}$ » — les deux nombres échangés ; cette option vaut environ $6{,}3$, contre $14{,}1$. « $100\sqrt{2}$ » — le carré parfait sorti sans qu'on en prenne la racine. « $20$ » — c'est $10 \times 2$ : le $10$ bien sorti, puis la racine de $2$ oubliée. Le contrôle d'ordre de grandeur règle la question à lui seul : $14^{2} = 196$, donc $\sqrt{200}$ est un peu plus que $14$.

Réponse : A $25$

Corrigé :

La bonne réponse : « $25$ ». « $5$ » — deux facteurs seulement pris en compte. « $20$ » — c'est $5 \times 4$ : le nombre de facteurs traité comme un multiplicateur. « $625$ » — c'est $5^{4}$ : les racines effacées sans diviser les exposants. Le raccourci qui évite tout : deux racines identiques multipliées rendent le nombre, donc quatre en rendent le carré.

Réponse : 8

Corrigé :

8. Le piège : simplifier chaque racine à part ($\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$) — juste, mais plus long : $\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 4 \times 2 = 8$.

Réponse : Faux

Corrigé :

Faux. La racine ne traverse pas une somme : $10$, et non $14$.

Réponse : √300 = √(100 × 3) = 10√3.

Corrigé :

100 et 10. Avec $4$ ou $25$, on obtiendrait $2\sqrt{75}$ ou $5\sqrt{12}$ : juste, mais inachevé.