Série 3 — équations, valeur absolue, racine positive

Réponse : B Deux

Corrigé :

La bonne réponse : « Deux ». « Une » — la solution négative oubliée : c'est la confusion entre l'équation et le symbole $\sqrt{49}$, qui vaut $7$ tout seul. « Aucune » — vrai seulement si le membre de droite était négatif. « Une infinité » — jamais pour une équation du second degré non triviale.

Réponse : C $6$

Corrigé :

La bonne réponse : « $6$ ». « $-6$ » — le nombre de départ recopié, comme si racine et carré s'annulaient toujours. Ils ne s'annulent que si le nombre est positif : $\sqrt{x^{2}} = |x|$. « $36$ » — la racine oubliée. « $\pm 6$ » — la règle de l'équation appliquée à un symbole : le formulaire de l'examen tranche, $\sqrt{\ }$ ne désigne que la racine positive.

Réponse : C $81$

Corrigé :

La bonne réponse : « $81$ ». « $3$ » — la racine prise une fois de trop : $\sqrt{9} = 3$. « $18$ » — c'est $9 \times 2$ : le carré traité comme un doublement. « $\pm 81$ » — la solution négative ajoutée alors que $x$ est sous la racine : $x$ doit être positif pour que $\sqrt{x}$ existe.

Réponse : B Aucune

Corrigé :

La bonne réponse : « Aucune ». « Une » et « Deux » — le réflexe « $x^{2} = k$ donne deux solutions » appliqué sans regarder le signe de $k$. La règle complète a trois cas : $k > 0$ donne deux solutions, $k = 0$ en donne une, $k < 0$ n'en donne aucune. « Quatre » — le degré $2$ ne peut pas donner plus de deux solutions.

Réponse : D $-x$

Corrigé :

La bonne réponse : « $-x$ ». « $x$ » — vrai seulement si $x$ est positif, ce que l'énoncé exclut explicitement. « $x^{2}$ » — la racine oubliée. « $0$ » — la racine crue impossible parce que $x$ est négatif, et remplacée par $0$ ; or $x^{2}$, sous la racine, est positif. Le contrôle : avec $x = -3$, l'expression vaut $\sqrt{9} = 3$, et $-x = 3$. L'écriture $-x$ n'est pas un nombre négatif ici : elle désigne l'opposé d'un négatif.

Réponse : B $5$

Corrigé :

La bonne réponse : « $5$ ». « $\sqrt{5}$ » — la racine prise des deux côtés comme si l'équation était $x^{2} = 5$. « $25$ » — c'est $x^{2}$ : la bonne valeur trouvée, puis élevée au carré par une lecture trop rapide de la question. « $0$ » — la solution que l'énoncé exclut, précisément pour tester si vous l'avez trouvée. Notez le geste utile : sur une équation où $x$ apparaît des deux côtés, on factorise, on ne divise jamais par $x$ — diviser ferait perdre la solution nulle.

Réponse : D Deux

Corrigé :

La bonne réponse : « Deux ». Les deux équations sont équivalentes : $|x| = k$ et $x^{2} = k^{2}$ ont toujours le même ensemble de solutions quand $k$ est positif. « Une » — une seule des deux ouvertures faite. « Aucune » — sans rapport. « Quatre » — les deux solutions comptées deux fois, une fois par équation.

Réponse : B $a^{2} \ge 0$

Corrigé :

La bonne réponse : « $a^{2} \ge 0$ ». « $a^{2} > a$ » — faux entre $0$ et $1$ : avec $a = 0{,}5$, le carré vaut $0{,}25$. « $a^{3} > 0$ » — faux dès que $a$ est négatif, l'exposant impair gardant le signe. « $\sqrt{a^{2}} = a$ » — faux pour $a$ négatif ; la version toujours vraie est $\sqrt{a^{2}} = |a|$. Sur une question en « toujours », une seule valeur d'essai suffit à éliminer.

Réponse : D $-1331$

Corrigé :

La bonne réponse : « $-1331$ ». « $1331$ » — la solution positive $n = 11$ retenue, alors que l'énoncé la refuse. « $-363$ » — c'est $-121 \times 3$ : le cube traité comme une multiplication par $3$. « $-11$ » — c'est $n$ lui-même, le cube jamais calculé. La condition « $n < 0$ » n'est jamais décorative : elle est là pour choisir entre les deux racines.

Réponse : D Deux

Corrigé :

La bonne réponse : « Deux ». « Une » — la solution négative oubliée ; un exposant pair admet toujours les deux signes. « Quatre » — le degré $4$ pris pour un nombre de solutions ; il en borne le nombre, il ne le donne pas. « Aucune » — sans rapport. La règle générale : $x^{\text{pair}} = k$ avec $k > 0$ donne deux solutions réelles, quel que soit l'exposant.

Réponse : -8

Corrigé :

−8. Le piège : répondre $8$ par réflexe, comme si l'on calculait $\sqrt{64}$. C'est une équation, pas un symbole.

Réponse : Faux

Corrigé :

Faux. $\sqrt{(-5)^{2}} = |-5| = 5$. Une racine carrée n'est jamais négative.

Réponse : L'équation x² = 81 a 2 solutions ; la plus petite est -9.

Corrigé :

2 et −9. Le symbole $\sqrt{81}$, lui, ne vaut que $9$.