Série 4 — comparer sans calculer

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions en douze minutes, puis trois de plus, sous d’autres formes. Aucune ne demande une valeur exacte : toutes demandent un classement.

Sous 11, élever à une puissance rapetisse et prendre une racine agrandit. Au-dessus de 11, l'inverse. Et le 11 lui-même est une frontière que personne ne franchit : un nombre entre 00 et 11 y reste pour toutes ses puissances.

Deux valeurs d'essai règlent presque toute la série : 0,50{,}5 pour le domaine du dessous, 44 pour celui du dessus. Elles sont assez petites pour être calculées de tête et assez éloignées de 11 pour séparer les options.

Exercices

Exercice 1

0<a<10 < a < 1. Laquelle de ces expressions est la plus grande ?

  1. aa
  2. a2a^{2}
  3. a3a^{3}
  4. a\sqrt{a}
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Réponse : D a\sqrt{a}

Corrigé :

a=0,25: a=0,5\begin{aligned}a &= 0{,}25 : \ \sqrt{a} \\ &= 0{,}5\end{aligned}

La racine remonte vers 11.

a3<a2<a<aa^{3} < a^{2} < a < \sqrt{a}

L'ordre est le même pour tout aa entre 00 et 11.

La bonne réponse : « a\sqrt{a} ». Les trois autres descendent, et de plus en plus vite à mesure que l'exposant grandit. L'erreur qui fait choisir « a3a^{3} » est l'intuition « plus l'exposant est grand, plus le nombre est grand » — vraie au-dessus de 11 seulement. Ici l'exposant 12\tfrac{1}{2} de la racine est le plus petit des quatre, donc son résultat est le plus grand.

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Exercice 2

b>1b > 1. Laquelle de ces expressions est la plus petite ?

  1. bb
  2. b\sqrt{b}
  3. b2b^{2}
  4. b4b^{4}
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Réponse : B b\sqrt{b}

Corrigé :

b=4: b=2\begin{aligned}b &= 4 : \ \sqrt{b} \\ &= 2\end{aligned}

Au-dessus de 11, la racine descend.

b<b<b2<b4\sqrt{b} < b < b^{2} < b^{4}

La bonne réponse : « b\sqrt{b} ». « bb » — le nombre lui-même, plus grand que sa racine dès qu'il dépasse 11. « b2b^{2} » et « b4b^{4} » — les plus grandes des quatre. C'est exactement le classement de la question précédente, retourné : rien d'autre n'a changé que le côté de 11 où l'on se trouve.

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Exercice 3

0<a<b<10 < a < b < 1. Laquelle de ces expressions est la plus petite ?

  1. b\sqrt{b}
  2. b2b^{2}
  3. a\sqrt{a}
  4. a2a^{2}
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Réponse : D a2a^{2}

Corrigé :

a2<b2a2<a<a<ba^{2} < b^{2} \qquad a^{2} < a < \sqrt{a} < \sqrt{b}

a2a^{2} passe sous b2b^{2} — même exposant, base plus petite — et sous les deux racines, qui dépassent aa. L'ordre entre b2b^{2} et aa dépend des valeurs, et la question n'en a pas besoin.

La bonne réponse : « a2a^{2} ». « b2b^{2} » — le bon côté, mais le plus grand des deux carrés. « a\sqrt{a} » et « b\sqrt{b} » — au-dessus de aa et de bb, donc du mauvais côté. Cette question s'enchaîne sans un seul calcul : c'est la plus petite des deux valeurs, portée à la plus grande des deux puissances.

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Exercice 4

Lequel de ces nombres est le plus proche de 30\sqrt{30} ?

  1. 77
  2. 1515
  3. 5,55{,}5
  4. 33
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Réponse : C 5,55{,}5

Corrigé :

52=2562=36\begin{aligned}5^{2} &= 25 \\ \quad 6^{2} &= 36\end{aligned}

On encadre 3030 entre deux carrés parfaits.

5<30<65 < \sqrt{30} < 6

Et 3030 est presque au milieu de 2525 et 3636.

La bonne réponse : « 5,55{,}5 ». « 33 » — trop petit : 323^{2} ne vaut que 99. « 1515 » — c'est 30:230 : 2, la racine confondue avec la moitié. C'est l'erreur qui revient le plus dans les questions d'ordre de grandeur. « 77 » — trop grand : 72=497^{2} = 49. La méthode d'encadrement entre deux carrés parfaits suffit à toutes les questions de cette forme.

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Exercice 5

0<c<10 < c < 1. Laquelle de ces inégalités est vraie ?

  1. c5=c3c^{5} = c^{3}
  2. c5<c3c^{5} < c^{3}
  3. c5>1c^{5} > 1
  4. c5>c3c^{5} > c^{3}
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Réponse : B c5<c3c^{5} < c^{3}

Corrigé :

c5=c3⋅c2c^{5} = c^{3} \cdot c^{2}

Le plus grand exposant, c'est le plus petit multiplié par un nombre inférieur à 11.

c2<1⇒c5<c3c^{2} < 1 \Rightarrow c^{5} < c^{3}

Multiplier par un nombre plus petit que 11 diminue.

La bonne réponse : « c5<c3c^{5} < c^{3} ». « c5>c3c^{5} > c^{3} » — vrai au-dessus de 11, faux ici. « c5=c3c^{5} = c^{3} » — vrai seulement pour c=−1c = -1, 00 ou 11, que l'énoncé exclut tous les trois. « c5>1c^{5} > 1 » — impossible : toutes les puissances d'un nombre entre 00 et 11 restent dans cet intervalle. Contrôle avec c=0,5c = 0{,}5 : 0,031250{,}03125 contre 0,1250{,}125.

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Exercice 6

Lequel de ces nombres est le plus grand ?

  1. 3403^{40}
  2. 271227^{12}
  3. 9159^{15}
  4. 81981^{9}
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Réponse : A 3403^{40}

Corrigé :

915=3302712=336\begin{aligned}9^{15} &= 3^{30} \\ \quad 27^{12} &= 3^{36}\end{aligned}

On ramène tout sur la base 33 : c'est la seule façon de comparer.

819=33681^{9} = 3^{36}
340>336>3303^{40} > 3^{36} > 3^{30}

Même base : le plus grand exposant gagne.

La bonne réponse : « 3403^{40} ». « 9159^{15} » vaut 3303^{30}, le plus petit des quatre. « 271227^{12} » et « 81981^{9} » valent toutes deux 3363^{36} — elles sont égales entre elles, ce qui suffit déjà à les écarter : deux options identiques ne peuvent pas être la bonne réponse d'un QCM. Cette remarque seule règle la question en dix secondes.

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Exercice 7

0<x<10 < x < 1. Où se situe 1x\dfrac{1}{x} ?

  1. Au-dessus de 11
  2. Entre xx et 11
  3. En dessous de 00
  4. Entre 00 et xx
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Réponse : A Au-dessus de 11

Corrigé :

x=0,25⇒1x=4\begin{aligned}x &= 0{,}25 \Rightarrow \dfrac{1}{x} \\ &= 4\end{aligned}

Diviser 11 par un nombre plus petit que 11 donne un résultat plus grand que 11.

La bonne réponse : « Au-dessus de 11 ». « Entre 00 et xx » et « Entre xx et 11 » — l'inverse d'un petit nombre est grand, pas petit : c'est la règle qui rend x−1x^{-1} si trompeur. « En dessous de 00 » — l'inverse d'un positif reste positif. À retenir : passer à l'inverse échange les deux côtés de 11, dans les deux sens.

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Exercice 8

Lequel de ces nombres est compris entre 22 et 33 ?

  1. 10\sqrt{10}
  2. 5\sqrt{5}
  3. 2\sqrt{2}
  4. 3\sqrt{3}
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Réponse : B 5\sqrt{5}

Corrigé :

22=432=9\begin{aligned}2^{2} &= 4 \\ \quad 3^{2} &= 9\end{aligned}

Un nombre est entre 22 et 33 si son carré est entre 44 et 99.

4<5<94 < 5 < 9

Seul 55 est dans cet intervalle.

La bonne réponse : « 5\sqrt{5} », qui vaut environ 2,242{,}24. « 2\sqrt{2} » vaut 1,411{,}41 et « 3\sqrt{3} » vaut 1,731{,}73 : les deux sont entre 11 et 22. « 10\sqrt{10} » vaut 3,163{,}16, juste au-dessus. La méthode qui évite toute approximation : comparer les carrés plutôt que les racines — c'est toujours plus rapide et toujours exact.

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Exercice 9

−1<d<0-1 < d < 0. Laquelle de ces expressions est la plus grande ?

  1. d5d^{5}
  2. d3d^{3}
  3. d2d^{2}
  4. dd
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Réponse : C d2d^{2}

Corrigé :

d=−0,5: d2=0,25\begin{aligned}d &= -0{,}5 : \ d^{2} \\ &= 0{,}25\end{aligned}

Un exposant pair rend le résultat positif.

d3=−0,125d5=−0,03125\begin{aligned}d^{3} &= -0{,}125 \\ \quad d^{5} &= -0{,}03125\end{aligned}

Les exposants impairs restent négatifs, donc plus petits.

La bonne réponse : « d2d^{2} ». C'est la seule des quatre à être positive, ce qui suffit à conclure sans comparer les trois autres entre elles. « dd », « d3d^{3} » et « d5d^{5} » sont toutes négatives — et parmi elles, l'ordre est d'ailleurs inversé par rapport à l'intuition : d<d3<d5d < d^{3} < d^{5}, car chaque multiplication par dd rapproche de zéro.

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Exercice 10

Lequel de ces nombres est le plus grand ?

  1. 3203^{20}
  2. 5105^{10}
  3. 6106^{10}
  4. 2302^{30}
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Réponse : A 3203^{20}

Corrigé :

230=(23)10=810\begin{aligned}2^{30} &= \big(2^{3}\big)^{10} \\ &= 8^{10}\end{aligned}

Les quatre exposants ont 1010 pour diviseur commun : on ramène tout à l'exposant 1010.

320=(32)10=910\begin{aligned}3^{20} &= \big(3^{2}\big)^{10} \\ &= 9^{10}\end{aligned}

Même geste sur le deuxième.

910>810>610>5109^{10} > 8^{10} > 6^{10} > 5^{10}

Même exposant : c'est la plus grande base qui gagne.

La bonne réponse : « 3203^{20} », qui vaut 9109^{10}. « 2302^{30} » vaut 8108^{10}, juste en dessous — et c'est le distracteur qui piège, parce que son exposant est le plus grand des quatre. « 6106^{10} » et « 5105^{10} » sont déjà écrits sur l'exposant commun, et leurs bases sont les plus petites. La méthode : quand les bases diffèrent et que les exposants ont un diviseur commun, on égalise les exposants ; quand ce sont les bases qui se ramènent l'une à l'autre, on égalise les bases.

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Exercice 11

a=0,25a = 0{,}25. Combien de fois a\sqrt{a} est-il plus grand que aa ?

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Réponse : 2

Corrigé :

0,25=0,5\sqrt{0{,}25} = 0{,}5

La racine d'un nombre sous 11 remonte vers 11.

0,50,25=2\dfrac{0{,}5}{0{,}25} = 2

2. Le piège : croire que la racine « rapetisse » toujours. Sous 11, elle agrandit.

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Exercice 12

Si a>1a > 1, alors a<a\sqrt{a} < a.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

a>1⇒a>1a > 1 \Rightarrow \sqrt{a} > 1

La racine reste au-dessus de 11.

a=a⋅a>a⋅1a = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} > \sqrt{a} \cdot 1

Multiplier a\sqrt{a} par un nombre plus grand que 11 l'agrandit.

Vrai. Au-dessus de 11 : a<a<a2\sqrt{a} < a < a^{2}. Sous 11, l'ordre s'inverse.

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Exercice 13

On prend a=9a = 9. Complétez.

√a = ____ et a² = ____ : au-dessus de 1, la racine est sous a, le carré au-dessus.

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Réponse : √a = 3 et a² = 81 : au-dessus de 1, la racine est sous a, le carré au-dessus.

Corrigé :

9=392=81\begin{aligned}\sqrt{9} &= 3 \\ \quad 9^{2} &= 81\end{aligned}

3 et 81. 3<9<813 < 9 < 81 : au-dessus de 11, a<a<a2\sqrt{a} < a < a^{2}.

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