Série 5 — encadrer, estimer, éliminer

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions en douze minutes, puis trois de plus, sous d’autres formes. On ne cherche jamais la valeur exacte : on cherche entre quels nombres elle tombe.

L'examen se passe sans calculatrice, et ce n'est pas un handicap : c'est une indication. Quand un énoncé donne des nombres impossibles à calculer de tête, il attend une estimation, et les quatre options sont assez écartées pour qu'elle suffise.

Les trois valeurs à connaître par cœur : 2≈1,41\sqrt{2} \approx 1{,}41, 3≈1,73\sqrt{3} \approx 1{,}73, 5≈2,24\sqrt{5} \approx 2{,}24. Et la méthode universelle : encadrer entre les deux carrés parfaits voisins.

Exercices

Exercice 1

Entre quels entiers consécutifs se situe 60\sqrt{60} ?

  1. 8<60<98 < \sqrt{60} < 9
  2. 6<60<76 < \sqrt{60} < 7
  3. 7<60<87 < \sqrt{60} < 8
  4. 29<60<3129 < \sqrt{60} < 31
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Réponse : C 7<60<87 < \sqrt{60} < 8

Corrigé :

72=4982=64\begin{aligned}7^{2} &= 49 \\ \quad 8^{2} &= 64\end{aligned}

Les deux carrés parfaits qui encadrent 6060.

49<60<64⇒7<60<849 < 60 < 64 \Rightarrow 7 < \sqrt{60} < 8

La bonne réponse : « 7<60<87 < \sqrt{60} < 8 ». « 6<60<76 < \sqrt{60} < 7 » — 62=366^{2} = 36, trop bas. « 8<60<98 < \sqrt{60} < 9 » — 82=648^{2} = 64 dépasse déjà 6060. « 29<60<3129 < \sqrt{60} < 31 » — la racine confondue avec la moitié. Notez que 6060 est plus proche de 6464 que de 4949 : 60\sqrt{60} vaut donc environ 7,757{,}75, pas 7,57{,}5.

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Exercice 2

Lequel de ces nombres est le plus proche de 2102^{10} ?

  1. 1000010000
  2. 10001000
  3. 2020
  4. 100100
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Réponse : B 10001000

Corrigé :

210=10242^{10} = 1024

La valeur exacte, à connaître : c'est la plus utile de toutes les puissances de 22.

La bonne réponse : « 10001000 ». « 100100 » — dix fois trop petit. « 2020 » — c'est 2×102 \times 10 : l'exposant traité comme un facteur. « 1000010000 » — dix fois trop grand. 210≈1 0002^{10} \approx 1\,000 est l'approximation la plus rentable du chapitre : elle permet d'estimer 220≈1062^{20} \approx 10^{6}, 230≈1092^{30} \approx 10^{9}, et de trancher presque toutes les questions d'ordre de grandeur.

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Exercice 3

Combien de chiffres le nombre 10710^{7} compte-t-il ?

  1. 7070
  2. 88
  3. 1010
  4. 77
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Réponse : B 88

Corrigé :

107=10 000 00010^{7} = 10\,000\,000

Un 11 suivi de sept zéros.

1+7=81 + 7 = 8

La bonne réponse : « 88 ». « 77 » — le nombre de zéros, pas de chiffres : le 11 de tête est oublié. C'est le distracteur qui gagne le plus souvent. « 1010 » — la base recopiée. « 7070 » — c'est 10×710 \times 7. Règle générale : 10n10^{n} s'écrit avec n+1n + 1 chiffres.

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Exercice 4

2+3\sqrt{2} + \sqrt{3} est le plus proche de —

  1. 3,13{,}1
  2. 66
  3. 55
  4. 2,22{,}2
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Réponse : A 3,13{,}1

Corrigé :

2≈1,41,3≈1,73\sqrt{2} \approx 1{,}41, \quad \sqrt{3} \approx 1{,}73

Les deux valeurs à connaître.

1,41+1,73=3,141{,}41 + 1{,}73 = 3{,}14

La bonne réponse : « 3,13{,}1 ». « 2,22{,}2 » — c'est 5\sqrt{5} : la racine distribuée sur la somme, comme si 2+3\sqrt{2} + \sqrt{3} valait 5\sqrt{5}. C'est l'erreur que cette question cherche. « 55 » — c'est 2+32 + 3 : les racines effacées. « 66 » — c'est 2×32 \times 3. La coïncidence amusante — le résultat ressemble à π\pi — n'est qu'une coïncidence.

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Exercice 5

Lequel de ces nombres est le plus grand ?

  1. 848^{4}
  2. 464^{6}
  3. 16216^{2}
  4. 2162^{16}
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Réponse : D 2162^{16}

Corrigé :

162=2846=21284=212\begin{aligned}16^{2} &= 2^{8} \\ \quad 4^{6} &= 2^{12} \\ \quad 8^{4} &= 2^{12}\end{aligned}

Tout sur la base 22.

216>212>282^{16} > 2^{12} > 2^{8}

La bonne réponse : « 2162^{16} ». « 16216^{2} » vaut 256256, le plus petit des quatre — les deux nombres 22 et 1616 échangés font une différence énorme. « 464^{6} » et « 848^{4} » valent toutes deux 4 0964\,096, donc elles sont égales : deux options identiques ne peuvent pas être la bonne réponse, ce qui les élimine sans calcul.

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Exercice 6

0,09=?\sqrt{0{,}09} = ?

  1. 33
  2. 0,030{,}03
  3. 0,30{,}3
  4. 0,90{,}9
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Réponse : C 0,30{,}3

Corrigé :

0,3×0,3=0,090{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}09

Le contrôle direct : on élève la réponse au carré.

La bonne réponse : « 0,30{,}3 ». « 0,030{,}03 » — son carré vaut 0,00090{,}0009, cent fois trop petit. « 0,90{,}9 » — la racine de 0,810{,}81. « 33 » — la virgule perdue. Attention au piège de fond : 0,090{,}09 est plus petit que 11, donc sa racine est plus grande que lui. 0,30{,}3 dépasse bien 0,090{,}09.

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Exercice 7

Environ combien vaut 610210\dfrac{6^{10}}{2^{10}} ?

  1. 59 00059\,000
  2. 33
  3. 3030
  4. 1 0001\,000
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Réponse : A 59 00059\,000

Corrigé :

610210=310\dfrac{6^{10}}{2^{10}} = 3^{10}

Exposants égaux : ce sont les bases qui se divisent.

310=(35)2=2432\begin{aligned}3^{10} &= \big(3^{5}\big)^{2} \\ &= 243^{2}\end{aligned}

Et 2432243^{2} vaut un peu moins que 2502=62 500250^{2} = 62\,500.

La bonne réponse : « 59 00059\,000 », la valeur exacte étant 59 04959\,049. « 33 » — la base trouvée mais l'exposant oublié. « 1 0001\,000 » — c'est 2102^{10}, le dénominateur pris pour la réponse. « 3030 » — c'est 3×103 \times 10. L'estimation suffisait : 3103^{10} dépasse largement 10410^{4}, ce qui écarte les trois autres d'un coup.

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Exercice 8

0,53=?0{,}5^{3} = ?

  1. 1,51{,}5
  2. 0,0150{,}015
  3. 0,1250{,}125
  4. 0,150{,}15
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Réponse : C 0,1250{,}125

Corrigé :

0,53=(12)3=18\begin{aligned}0{,}5^{3} &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} \\ &= \dfrac{1}{8}\end{aligned}

Passer par la fraction évite toute erreur de virgule.

=0,125= 0{,}125

La bonne réponse : « 0,1250{,}125 ». « 1,51{,}5 » — c'est 0,5×30{,}5 \times 3 : l'exposant traité comme un facteur, et le résultat qui dépasse le nombre de départ alors qu'un nombre entre 00 et 11 ne peut que descendre. « 0,150{,}15 » et « 0,0150{,}015 » — la virgule mal placée. Le contrôle de position : élever au cube un nombre à une décimale en donne trois — les décimales se multiplient par l'exposant, et 0,1253=0,0019531250{,}125^{3} = 0{,}001953125 en a neuf.

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Exercice 9

Lequel de ces nombres est le plus proche de 101\sqrt{101} ?

  1. 1111
  2. 5050
  3. 10 20110\,201
  4. 1010
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Réponse : D 1010

Corrigé :

102=10010^{2} = 100

101101 est à peine au-dessus.

101≈10,05\sqrt{101} \approx 10{,}05

La bonne réponse : « 1010 ». « 1111 » — 112=12111^{2} = 121, trop loin. « 5050 » — la moitié, encore une fois. « 10 20110\,201 » — c'est 1012101^{2} : l'opération inverse. La leçon d'ordre de grandeur : la racine d'un nombre à peine supérieur à un carré parfait est à peine supérieure à sa racine — l'écart se divise à peu près par le double de la racine.

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Exercice 10

Combien de zéros le nombre (104)3\big(10^{4}\big)^{3} compte-t-il ?

  1. 4343
  2. 77
  3. 1313
  4. 1212
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Réponse : D 1212

Corrigé :

(104)3=1012\big(10^{4}\big)^{3} = 10^{12}

Puissance de puissance : les exposants se multiplient.

1012=1 suivi de 12 zeˊros10^{12} = 1 \ \text{suivi de} \ 12 \ \text{zéros}

La bonne réponse : « 1212 ». « 77 » — c'est 4+34 + 3 : la règle du produit. « 4343 » — les deux chiffres accolés. « 1313 » — le nombre de chiffres, pas de zéros ; la question demandait bien les zéros. Lire précisément ce qui est demandé — chiffres ou zéros — vaut ici autant que le calcul.

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Exercice 11

Quel est le plus grand entier nn tel que n<150n < \sqrt{150} ?

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Réponse : 12

Corrigé :

122=144132=169\begin{aligned}12^{2} &= 144 \\ \quad 13^{2} &= 169\end{aligned}

Les deux carrés parfaits qui encadrent 150150.

144<150<169⇒12<150<13144 < 150 < 169 \Rightarrow 12 < \sqrt{150} < 13

12. Le piège : 7575, la moitié de 150150.

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Exercice 12

2+2=4\sqrt{2} + \sqrt{2} = \sqrt{4}.

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Réponse : Faux

Corrigé :

2+2=22≈2,83\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83

Deux fois la même racine.

4=2\sqrt{4} = 2

Faux. 22=82\sqrt{2} = \sqrt{8}, pas 4\sqrt{4} : les racines ne s'additionnent pas sous le symbole.

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Exercice 13

Encadrez entre deux entiers consécutifs.

√80 est entre ____ et ____.

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Réponse : √80 est entre 8 et 9.

Corrigé :

82=6492=81\begin{aligned}8^{2} &= 64 \\ \quad 9^{2} &= 81\end{aligned}

8080 est juste sous 8181.

64<80<8164 < 80 < 81

8 et 9, et tout près de 99 : 80≈8,94\sqrt{80} \approx 8{,}94.

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