Série 6 — les opérations inventées · Racines · Psychométriques

Dix questions en douze minutes, puis trois de plus, sous d’autres formes. Avant-dernière série du chapitre.

L'examen aime définir un symbole que personne n'a jamais vu, puis demander de l'appliquer une ou deux fois. Le symbole n'est jamais le problème : récrivez-le en exposant, et il ne reste qu'une règle du formulaire.

Appliquer deux fois une opération, c'est composer deux exposants — donc les multiplier. Et quand un nombre précis est donné, il n'est jamais choisi au hasard : c'est une puissance dont l'exposant absorbe le dénominateur.

Exercices

Exercice 1

Pour tout $t > 0$ , on pose $\clubsuit(t) = t \cdot \sqrt{t}$ . Combien vaut $\clubsuit(9)$ ?

$81$
$18$
$12$
$27$

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Réponse : D $27$

Corrigé :

\begin{aligned}\clubsuit(9) &= 9 \cdot \sqrt{9} \\ &= 9 \times 3\end{aligned}

On applique la définition telle quelle.

= 27

La bonne réponse : « $27$ ». « $18$ » — c'est $9 \times 2$ : la racine confondue avec la moitié ou avec le facteur $2$ . « $81$ » — c'est $9^{2}$ : la racine oubliée et le nombre élevé au carré. « $12$ » — c'est $9 + 3$ : le produit de la définition lu comme une somme. Contrôle par les exposants : $9^{\frac{3}{2}} = \big(3^{2}\big)^{\frac{3}{2}} = 3^{3} = 27$ .

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Exercice 2

Pour tout $t > 0$ , on pose $\clubsuit(t) = \dfrac{t}{\sqrt{t}}$ . À quoi est égal $\clubsuit(t)$ ?

$\sqrt{t}$
$\dfrac{1}{\sqrt{t}}$
$t^{\frac{3}{2}}$
$t$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\sqrt{t}$

Corrigé :

\dfrac{t^{1}}{t^{\frac{1}{2}}} = t^{1 - \frac{1}{2}}

Quotient de même base : on soustrait les exposants.

= t^{\frac{1}{2}} = \sqrt{t}

La bonne réponse : « $\sqrt{t}$ ». « $t$ » — la racine du dénominateur simplement effacée. « $t^{\frac{3}{2}}$ » — les exposants additionnés : c'est $t \cdot \sqrt{t}$ , l'opération inverse de celle-ci. « $\tfrac{1}{\sqrt{t}}$ » — la soustraction faite dans le mauvais sens. Contrôle avec $t = 4$ : $\tfrac{4}{2} = 2$ , et $\sqrt{4} = 2$ .

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Exercice 3

Pour tout $n > 0$ , on pose $\spadesuit(n) = n^{2} \cdot \sqrt{n}$ . À quoi est égal $\spadesuit(n)$ ?

$n^{1}$
$n^{\frac{3}{2}}$
$n^{\frac{5}{2}}$
$n^{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $n^{\frac{5}{2}}$

Corrigé :

n^{2} \cdot n^{\frac{1}{2}} = n^{2 + \frac{1}{2}}

Produit de même base.

= n^{\frac{5}{2}}

La bonne réponse : « $n^{\frac{5}{2}}$ ». « $n^{\frac{3}{2}}$ » — l'exposant $2$ lu comme $1$ . « $n^{1}$ » — c'est $2 \times \tfrac{1}{2}$ : les exposants multipliés au lieu d'être additionnés. « $n^{4}$ » — c'est $2 \times 2$ : la racine traitée comme un second carré. Un contrôle d'ordre de grandeur suffit à trancher : $\spadesuit(4) = 16 \times 2 = 32$ , et $4^{\frac{5}{2}} = 2^{5} = 32$ .

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Exercice 4

Pour tout $t > 0$ , on pose $\diamondsuit(t) = \sqrt{t}$ . Combien vaut $\diamondsuit\big(\diamondsuit(81)\big)$ ?

$3$
$\sqrt{3}$
$81$
$9$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $3$

Corrigé :

\begin{aligned}\diamondsuit(81) &= \sqrt{81} \\ &= 9\end{aligned}

Première application.

\begin{aligned}\diamondsuit(9) &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

Seconde application.

La bonne réponse : « $3$ ». « $9$ » — une seule application faite, la seconde oubliée. « $81$ » — aucune application. « $\sqrt{3}$ » — une application de trop. Par les exposants : $81^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = 81^{\frac{1}{4}}$ , et $81 = 3^{4}$ , donc le résultat est $3$ . Les deux chemins doivent donner la même chose — c'est le meilleur contrôle disponible.

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Exercice 5

Pour tout $x > 0$ , on pose $\heartsuit(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ . Combien vaut $\heartsuit(25)$ ?

$0{,}04$
$0{,}2$
$5$
$-5$

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Réponse : B $0{,}2$

Corrigé :

\sqrt{25} = 5

\dfrac{1}{5} = 0{,}2

La bonne réponse : « $0{,}2$ ». « $5$ » — la barre de fraction ignorée. « $0{,}04$ » — c'est $\tfrac{1}{25}$ : la racine oubliée. « $-5$ » — l'inverse confondu avec l'opposé : $\tfrac{1}{5}$ et $-5$ sont deux choses différentes, et c'est une confusion que l'exposant $-1$ entretient.

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Exercice 6

Pour tous $a > 0$ et $b > 0$ , on pose $a \star b = \sqrt{a \cdot b}$ . Combien vaut $8 \star 2$ ?

$16$
$\sqrt{10}$
$2$
$4$

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Réponse : D $4$

Corrigé :

\begin{aligned}8 \star 2 &= \sqrt{8 \times 2} \\ &= \sqrt{16}\end{aligned}

Le produit d'abord, sous la racine.

= 4

La bonne réponse : « $4$ ». « $16$ » — le produit calculé, la racine oubliée. « $\sqrt{10}$ » — c'est $\sqrt{8 + 2}$ : le produit lu comme une somme. « $2$ » — c'est $\sqrt{8} : \sqrt{2}$ : un quotient au lieu d'un produit. Notez que cette opération porte un nom : $\sqrt{ab}$ est la moyenne géométrique de $a$ et $b$ , et elle tombe toujours entre les deux nombres.

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Exercice 7

Pour tout $t > 0$ , on pose $\clubsuit(t) = t^{\frac{1}{3}}$ . Combien vaut $\clubsuit\big(\clubsuit(512)\big)$ ?

$8$
$2$
$4$
$512^{\frac{2}{3}}$

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Réponse : B $2$

Corrigé :

512 = 8^{3}

Ou, mieux encore, $512 = 2^{9}$ .

\big(2^{9}\big)^{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}} = 2^{\frac{9}{9}}

Deux applications : les exposants se multiplient, donc $\tfrac{1}{9}$ .

= 2^{1} = 2

La bonne réponse : « $2$ ». « $8$ » — une seule application : $\clubsuit(512) = 8$ . « $4$ » — c'est $\tfrac{8}{2}$ : la seconde racine cubique confondue avec une division par $2$ . « $512^{\frac{2}{3}}$ » — les deux exposants additionnés au lieu d'être multipliés ; cette expression vaut $64$ , pas $2$ . Le choix de $512$ n'est pas un hasard : c'est $2^{9}$ , et $9$ est exactement le dénominateur qui apparaît.

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Exercice 8

Pour tout $t > 0$ , on pose $\spadesuit(t) = t \cdot \sqrt{t}$ . Pour quelle valeur de $t$ a-t-on $\spadesuit(t) = t^{3}$ ?

$t = 3$
$t = 1$
$t = 9$
$t = 2$

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Réponse : B $t = 1$

Corrigé :

t^{\frac{3}{2}} = t^{3}

On réécrit l'opération en exposant.

\tfrac{3}{2} \ne 3

Les exposants diffèrent : l'égalité ne peut tenir que si la base rend l'exposant sans effet.

t = 1

Et $1$ élevé à n'importe quel exposant vaut $1$ .

La bonne réponse : « $t = 1$ ». Les trois autres échouent : pour $t = 2$ , la gauche vaut environ $2{,}83$ et la droite $8$ ; pour $t = 3$ , $5{,}2$ contre $27$ ; pour $t = 9$ , $27$ contre $729$ . La leçon est générale : quand deux puissances d'une même base positive sont égales et que les exposants diffèrent, la base vaut $1$ — ou $0$ , exclu ici. C'est un cas que les questions d'équations exploitent beaucoup.

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Exercice 9

Pour tous $a$ et $b$ positifs, on pose $a \star b = a^{b}$ . Combien vaut $(2 \star 3) \star 2$ ?

$16$
$64$
$36$
$512$

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Réponse : B $64$

Corrigé :

\begin{aligned}2 \star 3 &= 2^{3} \\ &= 8\end{aligned}

La parenthèse d'abord.

\begin{aligned}8 \star 2 &= 8^{2} \\ &= 64\end{aligned}

La bonne réponse : « $64$ ». « $512$ » — c'est $2 \star (3 \star 2) = 2^{9}$ : les parenthèses déplacées. Cette opération n'est pas associative, et c'est précisément ce que la question teste. « $16$ » — c'est $8 \times 2$ : la parenthèse bien calculée, puis la seconde étoile lue comme un produit. « $36$ » — c'est $6^{2}$ : la première parenthèse lue comme $2 \times 3$ .

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Exercice 10

Pour tout $t > 0$ , on pose $\diamondsuit(t) = \sqrt[4]{t}$ . Combien vaut $\big(\diamondsuit(t)\big)^{8}$ ?

$t^{32}$
$t^{2}$
$t^{\frac{1}{2}}$
$t^{4}$

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Réponse : B $t^{2}$

Corrigé :

\big(t^{\frac{1}{4}}\big)^{8} = t^{\frac{8}{4}}

Puissance de puissance : les exposants se multiplient.

= t^{2}

La bonne réponse : « $t^{2}$ ». « $t^{4}$ » — l'indice $4$ de la racine recopié comme exposant du résultat. « $t^{32}$ » — c'est $4 \times 8$ : l'indice multiplié au lieu de diviser. « $t^{\frac{1}{2}}$ » — c'est $\tfrac{4}{8}$ : la division faite à l'envers, l'indice divisé par l'exposant. Contrôle avec $t = 16$ : $\diamondsuit(16) = 2$ , et $2^{8} = 256 = 16^{2}$ .

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Exercice 11

Pour tout $t > 0$ , on pose $\heartsuit(t) = \sqrt{t} \cdot \sqrt[4]{t}$ . Combien vaut $\heartsuit(16)$ ?

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Réponse : 8

Corrigé :

\begin{aligned}\sqrt{16} &= 4 \\ \quad \sqrt[4]{16} &= 2\end{aligned}

$16 = 2^{4}$ .

4 \cdot 2 = 8

Contrôle : $\heartsuit(t) = t^{\frac{3}{4}}$ et $16^{\frac{3}{4}} = 2^{3}$ .

8. Le piège : $\sqrt[4]{16} = 4$ , l'indice confondu avec un diviseur.

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Exercice 12

Si $\clubsuit(t) = t^{\frac{1}{2}}$ , alors $\clubsuit\big(\clubsuit(t)\big) = t^{\frac{1}{4}}$ .

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Réponse : Vrai

Corrigé :

\big(t^{\frac{1}{2}}\big)^{\frac{1}{2}} = t^{\frac{1}{4}}

Puissance de puissance : les exposants se multiplient.

Vrai. La racine de la racine est la racine quatrième. L'erreur serait d'additionner : $t^{1}$ .

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Exercice 13

On pose $\diamondsuit(t) = t^{2} \cdot \sqrt{t}$ pour $t > 0$ .

♦(t) = t puissance ____/____, et ♦(4) = ____.

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Réponse : ♦(t) = t puissance 5/2, et ♦(4) = 32.

Corrigé :

t^{2} \cdot t^{\frac{1}{2}} = t^{\frac{5}{2}}

Même base : $2 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}$ .

\begin{aligned}\diamondsuit(4) &= 16 \cdot 2 \\ &= 32\end{aligned}

5/2, et 32. Le piège : $t^{1}$ , l'exposant $2$ multiplié par $\tfrac{1}{2}$ au lieu d'être additionné.

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Exercices

La suite se pratique sur elev