Série 7 — « nécessairement » et le contre-exemple · Racines · Psychométriques

Dix questions en douze minutes, puis trois de plus, sous d’autres formes. Toutes portent le même mot, et ce mot change la méthode.

« Nécessairement vrai » ne veut pas dire « souvent vrai ». Pour éliminer une option, il suffit d'une seule valeur qui la contredise. Pour garder la bonne, il faut un argument — mais dans un QCM, éliminer les trois autres suffit.

La courte liste de valeurs qui casse presque tout : $0$ , $1$ , $-1$ , $\tfrac{1}{2}$ , $2$ . Elles couvrent les cinq comportements différents d'une puissance. Essayez-les dans cet ordre, et arrêtez-vous dès qu'une option tombe.

Exercices

Exercice 1

$x$ est un nombre réel. Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

$x^{2} \ge 0$
$x^{2} > x$
$x^{2} \ne x$
$x^{2} > 0$

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Réponse : A $x^{2} \ge 0$

Corrigé :

\begin{aligned}x &= 0 : \ x^{2} \\ &= 0\end{aligned}

Cette valeur casse la troisième et la quatrième option d'un coup.

\begin{aligned}x &= 0{,}5 : \ x^{2} \\ &= 0{,}25 < x\end{aligned}

Et celle-ci casse la deuxième.

La bonne réponse : « $x^{2} \ge 0$ ». « $x^{2} > x$ » — faux entre $0$ et $1$ . « $x^{2} > 0$ » — faux pour $x = 0$ ; c'est la différence entre $\ge$ et $>$ , et l'examen la teste souvent. « $x^{2} \ne x$ » — faux pour $x = 0$ et pour $x = 1$ , les deux seuls nombres égaux à leur carré.

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Exercice 2

On donne $a^{2} = b^{2}$ . Que peut-on affirmer ?

$|a| = |b|$
$a^{3} = b^{3}$
$a = -b$
$a = b$

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Réponse : A $|a| = |b|$

Corrigé :

\begin{aligned}a^{2} &= b^{2} \Rightarrow |a| \\ &= |b|\end{aligned}

Deux carrés égaux signifient deux distances à zéro égales.

\begin{aligned}a &= b \ \text{ou} \ a \\ &= -b\end{aligned}

Deux cas possibles, et l'énoncé ne dit pas lequel.

La bonne réponse : « $|a| = |b|$ ». « $a = b$ » — vrai dans un des deux cas seulement ; $a = 3$ et $b = -3$ le contredisent. « $a = -b$ » — vrai dans l'autre cas seulement ; $a = b = 3$ le contredit. « $a^{3} = b^{3}$ » — faux avec $a = 3$ et $b = -3$ : $27$ et $-27$ . Le carré efface le signe, le cube le garde. La valeur absolue est la seule formulation qui couvre les deux cas d'un coup.

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Exercice 3

On donne $x^{3} > x$ . Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

$x > 0$
$x \ne 0$
$x^{2} > 1$
$x > 1$

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Réponse : B $x \ne 0$

Corrigé :

\begin{aligned}x &= -0{,}5 : \ x^{3} \\ &= -0{,}125 > -0{,}5\end{aligned}

L'inégalité tient aussi pour certains négatifs : elle ne force donc ni le signe, ni la taille.

x = 0 : \ 0 > 0 \ \text{est faux}

En revanche $x = 0$ est impossible.

La bonne réponse : « $x \ne 0$ ». « $x > 1$ » et « $x > 0$ » — le contre-exemple $x = -0{,}5$ les fait tomber toutes les deux. « $x^{2} > 1$ » — même contre-exemple : $0{,}25$ n'est pas plus grand que $1$ . C'est une question typique : la conclusion la plus faible des quatre est celle qui survit.

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Exercice 4

$n$ est un entier positif et $2^{n} > n^{2}$ . Quel est le plus petit $n$ qui convient ?

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Réponse : A $1$

Corrigé :

n = 1 : \ 2 > 1

L'inégalité est déjà vraie.

\begin{aligned}n &= 2 : \ 4 \\ &= 4 \\ \quad n &= 3 : \ 8 < 9\end{aligned}

Elle redevient fausse ensuite, puis vraie à partir de $5$ .

La bonne réponse : « $1$ ». « $5$ » — la plus petite valeur à partir de laquelle l'inégalité reste vraie pour toujours ( $32 > 25$ ) ; c'est la bonne réponse à une autre question. « $3$ » — $8 < 9$ , donc elle échoue. « $4$ » — $16 = 16$ , égalité et non inégalité stricte. La leçon : lisez « la plus petite valeur possible », pas « à partir de laquelle c'est toujours vrai ».

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Exercice 5

On donne $0 < p < q$ . Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie ?

$\sqrt{p} > \sqrt{q}$
$p^{2} < q^{2}$
$p^{2} < q$
$p^{2} > p$

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Réponse : B $p^{2} < q^{2}$

Corrigé :

0 < p < q \Rightarrow p^{2} < q^{2}

Élever au carré conserve l'ordre entre nombres positifs.

La bonne réponse : « $p^{2} < q^{2}$ ». « $p^{2} < q$ » — faux avec $p = 3$ et $q = 4$ : $9$ dépasse $4$ . « $\sqrt{p} > \sqrt{q}$ » — la racine conserve l'ordre elle aussi, donc l'inégalité est retournée. « $p^{2} > p$ » — faux pour $p$ entre $0$ et $1$ . À retenir : entre nombres positifs, carré et racine conservent l'ordre ; c'est seulement la comparaison au nombre de départ qui dépend du côté de $1$ .

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Exercice 6

On donne $(c + d)^{2} = c^{2} + d^{2}$ . Que peut-on affirmer ?

$c = 0$ ou $d = 0$
$c = -d$
$c = d$
$c$ et $d$ sont tous deux nuls

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Réponse : A $c = 0$ ou $d = 0$

Corrigé :

(c + d)^{2} = c^{2} + 2cd + d^{2}

On développe le membre de gauche.

2cd = 0

En comparant les deux membres, il ne reste que le double produit.

\begin{aligned}c &= 0 \ \text{ou} \ d \\ &= 0\end{aligned}

Un produit est nul si l'un des facteurs l'est.

La bonne réponse : « $c = 0$ ou $d = 0$ ». « $c = d$ » — faux : avec $c = d = 1$ , la gauche vaut $4$ et la droite $2$ . « $c = -d$ » — faux aussi : avec $c = 1$ et $d = -1$ , la gauche vaut $0$ et la droite $2$ . « tous deux nuls » — trop fort : un seul suffit. Cette forme revient très souvent, et le geste est toujours le même : développer, puis lire ce qui reste.

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Exercice 7

$t$ est un nombre réel et $t^{4} = t^{2}$ . Combien de valeurs de $t$ conviennent ?

Deux
Quatre
Trois
Une

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Réponse : C Trois

Corrigé :

\begin{aligned}t^{4} - t^{2} &= 0 \Rightarrow t^{2}\big(t^{2} - 1\big) \\ &= 0\end{aligned}

On factorise plutôt que de simplifier par $t^{2}$ .

\begin{aligned}t &= 0 \\ \ t &= 1 \\ \ t &= -1\end{aligned}

Trois solutions.

La bonne réponse : « Trois ». « Deux » — la solution $t = 0$ perdue, ce qui arrive exactement quand on divise les deux membres par $t^{2}$ : diviser par une expression qui peut être nulle fait disparaître des solutions. « Une » — seule $t = 1$ retenue, la négative oubliée en plus. « Quatre » — le degré $4$ pris pour le nombre de solutions réelles.

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Exercice 8

On donne $a > 1$ . Laquelle de ces affirmations est fausse ?

$\sqrt{a} < a$
$a^{-1} > 1$
$a^{3} > a^{2}$
$a^{2} > a$

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Réponse : B $a^{-1} > 1$

Corrigé :

\begin{aligned}a &= 4 : \ a^{-1} \\ &= 0{,}25\end{aligned}

L'inverse d'un nombre plus grand que $1$ tombe sous $1$ .

La bonne réponse : « $a^{-1} > 1$ », qui est bien la fausse. Les trois autres sont vraies dès que $a$ dépasse $1$ : élever à une puissance plus grande fait monter, prendre la racine fait descendre. Le passage à l'inverse, lui, change de côté de $1$ — c'est le seul geste de cette liste qui traverse la frontière.

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Exercice 9

$g$ et $h$ sont des entiers et $g^{2} = 4h$ . Que peut-on affirmer ?

$h$ est impair
$g$ est impair
$h$ est pair
$g$ est pair

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Réponse : D $g$ est pair

Corrigé :

g^{2} = 4h

Le carré de $g$ est un multiple de $4$ , donc il est pair.

g \ \text{impair} \Rightarrow g^{2} \ \text{impair}

Le carré d'un impair est impair : $g$ ne peut donc pas être impair.

La bonne réponse : « $g$ est pair ». « $h$ est pair » — faux : $g = 2$ et $h = 1$ conviennent. « $g$ est impair » — impossible, on vient de le montrer. « $h$ est impair » — faux aussi : $g = 4$ et $h = 4$ conviennent. La règle qui rend cette famille facile : un carré a la même parité que son nombre.

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Exercice 10

$x$ et $y$ sont deux nombres réels et $x^{2} + y^{2} = 0$ . Que peut-on affirmer ?

$x$ et $y$ sont opposés et non nuls
On ne peut rien affirmer
$x = 0$ et $y = 0$
$x$ et $y$ sont égaux, sans être nécessairement nuls

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Réponse : C $x = 0$ et $y = 0$

Corrigé :

x^{2} \ge 0 \ \text{et} \ y^{2} \ge 0

Deux quantités positives ou nulles.

\text{leur somme est nulle} \Rightarrow \text{chacune est nulle}

Aucune ne peut compenser l'autre.

La bonne réponse : « $x = 0$ et $y = 0$ ». « opposés et non nuls » — ce serait vrai si l'énoncé disait $x + y = 0$ ; ici les carrés effacent les signes, donc l'opposition ne suffit pas : $x = 1$ et $y = -1$ donnent $2$ , pas $0$ . « égaux, sans être nécessairement nuls » — même contre-exemple avec $x = y = 1$ , qui donne $2$ . « On ne peut rien affirmer » — au contraire, la conclusion est la plus forte possible. Une somme de carrés nulle force chaque terme à être nul : c'est un raisonnement que l'examen réutilise sous plusieurs habillages.

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Exercice 11

Combien de nombres réels $x$ vérifient à la fois $x^{2} = 49$ et $\sqrt{x^{2}} = x$ ?

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Réponse : 1

Corrigé :

\begin{aligned}x^{2} &= 49 \Rightarrow x \\ &= 7 \text{ ou } x \\ &= -7\end{aligned}

Deux candidats.

\sqrt{x^{2}} = x \iff x \ge 0

Seul $7$ reste.

1. Le piège : répondre $2$ en oubliant que $\sqrt{x^{2}} = |x|$ élimine le négatif.

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Exercice 12

Pour tout réel $x$ , $\sqrt{x^{2}} = x$ .

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Réponse : Faux

Corrigé :

\begin{aligned}x &= -3: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \ne -3\end{aligned}

Un seul contre-exemple suffit.

Faux. $\sqrt{x^{2}} = |x|$ : l'égalité tombe dès que $x$ est négatif.

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Exercice 13

On donne $a^{2} = b^{2}$ avec $a = 3$ , et $b$ négatif.

Alors b = ____ : a² = b², mais a ≠ b.

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Réponse : Alors b = -3 : a² = b², mais a ≠ b.

Corrigé :

\begin{aligned}b^{2} &= 9 \Rightarrow b \\ &= 3 \text{ ou } b \\ &= -3\end{aligned}

Deux candidats.

b < 0 \Rightarrow b = -3

−3. $a^{2} = b^{2}$ n'entraîne pas $a = b$ : seulement $|a| = |b|$ .

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Exercices

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