On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Trois questions, une par forme que l'examen ressort d'année en année : le temps commun, la quantité produite à deux, les rendements relatifs.

Pour chacune : cherchez d'abord seul, puis ouvrez le corrigé. Il déroule le raisonnement et nomme le piège que la question tend.

À chaque étape du corrigé, demandez-vous ce que vous auriez fait avant de lire la suite. C'est l'écart entre votre réflexe et la méthode qui vous apprend quelque chose.

Mémo — à vérifier avant de cocher

✓\checkmark

J'ai posé le travail entier à 1, et écrit chaque rendement en 1x\frac{1}{x}.

✓\checkmark

J'ai additionné des rendements, jamais des temps.

✓\checkmark

J'ai retourné le rendement commun pour revenir au temps.

✓\checkmark

Mon résultat tient dans l'encadrement : entre la moitié du plus rapide et le plus rapide.

✓\checkmark

J'ai lu l'unité demandée — heures ou minutes.

✓\checkmark

Ce qui vide a été soustrait, pas ajouté.

Huit questions de plus

Même méthode, autres habits : un départ décalé, trois robinets, des machines qu'on ajoute en route.

Exercices

Exercice 1

Sarah range l'entrepôt en 4 heures. David range le même entrepôt en 12 heures. S'ils travaillent ensemble à leur rythme habituel, en combien d'heures rangeront-ils l'entrepôt ?

  1. 88
  2. 66
  3. 1616
  4. 33
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 33

Corrigé :

⇒\Rightarrow

L'encadrement d'abord. Le plus rapide met 4 heures : la réponse est entre 2 et 4. Trois propositions sur quatre viennent de tomber, avant tout calcul.

14+112\frac{1}{4} + \frac{1}{12}

On écrit les deux rendements : Sarah range le quart de l'entrepôt par heure, David le douzième.

312+112=412=13\begin{aligned}\frac{3}{12} + \frac{1}{12} &= \frac{4}{12} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

À eux deux, un tiers de l'entrepôt par heure.

t=113=3\begin{aligned}t &= \frac{1}{\frac{1}{3}} \\ &= 3\end{aligned}

On retourne le rendement pour obtenir le temps.

3 heures. Les deux distracteurs sont fabriqués sur les erreurs classiques : 1616 est la somme des temps, 88 leur moyenne. Tous deux dépassent 4 heures — c'est-à-dire qu'à deux, on irait plus lentement que Sarah toute seule. Impossible, et l'encadrement le dit en cinq secondes.

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Exercice 2

Deux imprimantes travaillent chacune à rythme constant. L'imprimante A tire un lot de 1 000 affiches en 20 heures ; l'imprimante B tire le même lot en 5 heures. Les deux ont tourné ensemble pendant 8 heures. Combien d'affiches ont-elles tirées ?

  1. 1 6001\,600
  2. 1 2501\,250
  3. 2 0002\,000
  4. 2 5002\,500
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 2 0002\,000

Corrigé :

⇒\Rightarrow

Ici la question ne demande pas un temps mais une quantité. On garde la même formule, lue à l'endroit : quantité = rendement ×\times temps.

A:100020=50 affiches/hA : \frac{1000}{20} = 50 \text{ affiches/h}

Le rendement, c'est la quantité divisée par le temps.

B:10005=200 affiches/hB : \frac{1000}{5} = 200 \text{ affiches/h}

B est quatre fois plus rapide que A.

50+200=250 affiches/h50 + 200 = 250 \text{ affiches/h}

Les rendements s'additionnent — c'est toujours la même ligne.

250×8=2000250 \times 8 = 2000

Huit heures à ce rythme.

2 000 affiches, soit deux lots entiers. On pouvait aussi rester en lots : 120+15=14\frac{1}{20} + \frac{1}{5} = \frac{1}{4} de lot par heure, donc 8×14=28 \times \frac{1}{4} = 2 lots. Le distracteur 1 6001\,600 récompense celui qui additionne les temps quelque part ; 2 5002\,500, celui qui compte dix heures au lieu de huit.

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Exercice 3

Chaque jour, Yoni passe deux fois moins d'heures au travail que Dana, mais il produit en une heure une fois et demie ce que Dana produit. Dana achève un chantier en 9 jours. Combien de jours faudra-t-il à Yoni pour achever le même chantier ?

  1. 1212
  2. 1818
  3. 4,54{,}5
  4. 66
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 1212

Corrigé :

⇒\Rightarrow

Aucun nombre absolu : que des comparaisons. On ne cherche donc pas un rendement, mais le rapport entre ce que produit Yoni en une journée et ce que produit Dana.

par jour=heures par jour×rendement horaire\text{par jour} = \text{heures par jour} \times \text{rendement horaire}

Les deux facteurs se multiplient.

12×32=34\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

Yoni travaille moitié moins longtemps, mais une fois et demie plus vite : en une journée il produit les trois quarts de Dana.

9÷34=9×43=12\begin{aligned}9 \div \frac{3}{4} &= 9 \times \frac{4}{3} \\ &= 12\end{aligned}

Produire les trois quarts par jour, c'est mettre 43\frac{4}{3} fois plus de jours.

12 jours. Le contrôle qui sauve : Yoni produit moins par jour, donc il lui faut plus de jours que 9. Les propositions 66 et 4,54{,}5 tombent immédiatement — ce sont celles qu'on obtient en multipliant au lieu de diviser.

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Exercice 4

L'équipe A creuse une tranchée en 10 jours, l'équipe B creuse la même en 15 jours. Ensemble, en combien de jours la creusent-elles ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

110+115=330+230=530=16\begin{aligned}\frac{1}{10} + \frac{1}{15} &= \frac{3}{30} + \frac{2}{30} \\ &= \frac{5}{30} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

les rendements s'additionnent

t=6t = 6

on retourne

6 jours. Contrôle : entre 5 et 10 jours. La somme (25) et la moyenne (12,5) sortent de la bande.

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Exercice 5

Ana fait un travail en 6 heures, Ben le même en 12 heures. Ana travaille d'abord seule pendant 2 heures, puis Ben la rejoint. Combien de temps durera le travail commun ?

  1. 22 h
  2. 22 h 4040 min
  3. 88 h
  4. 44 h
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 22 h 4040 min

Corrigé :

2×16=132 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}

ce qu'Ana a fait seule

1−13=231 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

ce qu'il reste à faire

16+112=312=14\begin{aligned}\frac{1}{6} + \frac{1}{12} &= \frac{3}{12} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

le rendement à deux

23÷14=83 h=2 h 40 min\begin{aligned}\frac{2}{3} \div \frac{1}{4} &= \frac{8}{3} \text{ h} \\ &= 2 \text{ h } 40 \text{ min}\end{aligned}

temps = reste sur rendement, puis 23\frac{2}{3} h =40= 40 min

2 h 40 min. 44 h oublie Ben (23÷16\frac{2}{3} \div \frac{1}{6}), 88 h oublie Ana. Le départ décalé se règle en retirant d'abord ce qui est fait.

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Exercice 6

Si A fait un travail en 5 heures et B en 20 heures, alors ensemble ils le font en 4 heures.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

15+120=420+120=520=14\begin{aligned}\frac{1}{5} + \frac{1}{20} &= \frac{4}{20} + \frac{1}{20} \\ &= \frac{5}{20} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

un quart du travail par heure

Vrai. Et 4 h tombe bien entre 2,5 h et 5 h.

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Exercice 7

Trois robinets remplissent un bassin en 2 h, 3 h et 6 h. Complétez.

Par heure, ensemble : 1/2 + 1/3 + 1/6 = ____ bassin. Le bassin est plein en ____ heure.

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Réponse : Par heure, ensemble : 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 bassin. Le bassin est plein en 1 heure.

Corrigé :

36+26+16=66=1\begin{aligned}\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} &= \frac{6}{6} \\ &= 1\end{aligned}

trois rendements s'additionnent comme deux

t=11=1\begin{aligned}t &= \frac{1}{1} \\ &= 1\end{aligned}

un bassin par heure

Trois robinets, même geste : additionner les rendements, puis retourner.

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Exercice 8

Une imprimante tire 30 pages par minute, une autre 45. Ensemble, en combien de minutes tirent-elles 600 pages ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

30+45=7530 + 45 = 75

pages par minute, à deux

60075=8\frac{600}{75} = 8

temps = quantité sur rendement

8 minutes. Les rendements sont déjà en unités : on ne pose pas le travail à 1.

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Exercice 9

Pour chaque phrase d'énoncé : faut-il poser le travail à 1, ou le rendement est-il déjà en unités ?

  • Travail = 1
  • Déjà en unités
  • Un maçon monte le mur en 8 heures.
  • Un peintre finit la façade en 3 jours.
  • Un robot trie 200 lettres par heure.
  • Une caissière sert 40 clients par heure.
  • Une fuite viderait la cuve en 12 heures.
  • Une pompe débite 30 litres par minute.
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Un maçon monte le mur en 8 heures. — Travail = 1 · Une pompe débite 30 litres par minute. — Déjà en unités · Un robot trie 200 lettres par heure. — Déjà en unités · Un peintre finit la façade en 3 jours. — Travail = 1 · Une fuite viderait la cuve en 12 heures. — Travail = 1 · Une caissière sert 40 clients par heure. — Déjà en unités

Corrigé :

x heures⇒1xx \text{ heures} \Rightarrow \frac{1}{x}

un temps pour tout le travail : on pose 1

uniteˊs par heure\text{unités par heure}

un rythme déjà donné : on l'additionne tel quel

Le mot qui trahit : « en xx heures » pose 1, « par heure » donne déjà le rendement.

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Exercice 10

Huit machines identiques produisent une commande en 6 jours. Au bout de 2 jours, on ajoute 8 machines identiques. Combien de jours dure la production en tout ?

  1. 55
  2. 33
  3. 66
  4. 44
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 44

Corrigé :

8×6=488 \times 6 = 48

machines-jours pour toute la commande

8×2=168 \times 2 = 16

fait pendant les deux premiers jours

48−1616=2\frac{48 - 16}{16} = 2

le reste, à seize machines

2+2=42 + 2 = 4

on n'oublie pas les deux premiers jours

4 jours. 33 jours divise tout par deux comme si les seize machines avaient tourné dès le début ; 22 jours oublierait le départ.

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Exercice 11

Rangez ces équipes de deux, de la plus rapide à la plus lente ensemble.

  • 22 h et 66 h
  • 33 h et 1212 h
  • 44 h et 44 h
  • 66 h et 66 h
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22 h et 66 h · 44 h et 44 h · 33 h et 1212 h · 66 h et 66 h

Corrigé :

2×68=1,54×48=2\begin{aligned}\frac{2 \times 6}{8} &= 1{,}5 \qquad \frac{4 \times 4}{8} \\ &= 2\end{aligned}

produit sur somme

3×1215=2,46×612=3\begin{aligned}\frac{3 \times 12}{15} &= 2{,}4 \qquad \frac{6 \times 6}{12} \\ &= 3\end{aligned}

1,5<2<2,4<31{,}5 < 2 < 2{,}4 < 3. L'équipe la plus rapide n'est pas celle qui a le plus petit temps moyen.

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