Le réflexe rendement

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Les problèmes de rendement reviennent à chaque session. On les reconnaît à une phrase : « chacun à son rythme constant ».

Deux personnes, deux machines ou deux robinets font la même tâche, à des vitesses différentes. On vous demande le temps, la quantité, ou le rythme d'un troisième.

Bonne nouvelle : c'est la famille la plus mécanique de la section quantitative. Une seule idée la règle en entier.

La formule qu'on vous donne

La page de formules de l'épreuve porte, au numéro 5, la seule chose à savoir :

rendement=quantiteˊ de travailtemps\text{rendement} = \frac{\text{quantité de travail}}{\text{temps}}

C'est la formule de la vitesse : distance sur temps. Le rendement est une vitesse, celle à laquelle le travail avance.

Le geste fondateur : le travail vaut 1

Presque toujours, l'énoncé ne dit pas de combien de briques ou de pages se compose le travail. Il dit seulement combien de temps chacun met.

On pose alors que le travail entier vaut 1 : une maison, un chantier, un jardin, peu importe.

en x heures  ⟹  1x du travail par heure\text{en } x \text{ heures} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x} \text{ du travail par heure}

Le temps est en bas, le rendement est son inverse. C'est toute la matière du chapitre.

Une équipe repeint un hangar en 8 heures. Quelle part du hangar repeint-elle en 3 heures ?

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38\frac{3}{8}. Elle en fait 18\frac{1}{8} par heure, donc 3×183 \times \frac{1}{8} en trois heures. Le rendement multiplie le temps : c'est la formule lue à l'endroit.

Ensemble : les rendements s'additionnent

Voici le cœur. Si l'un met xx heures et l'autre yy heures, alors en une heure de travail commun ils font :

1x+1y\frac{1}{x} + \frac{1}{y}

Ce sont les rendements qui s'additionnent, jamais les temps.

Deux heures : à deux, ils vont plus vite que le plus rapide seul (3 heures). C'est toujours vrai, et c'est le meilleur contrôle du chapitre.

Le temps commun est l'inverse du rendement commun :

t=1  1x+1y  =xyx+y\begin{aligned}t &= \frac{1}{\;\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\;} \\ &= \frac{xy}{x + y}\end{aligned}

La forme xyx+y\frac{xy}{x+y}, produit sur somme, fait gagner du temps quand les nombres sont laids.

Avec des nombres simples, additionner les deux fractions puis retourner le résultat va aussi vite.

L'encadrement qui élimine deux réponses

Avant même de calculer, le temps à deux est toujours pris entre deux bornes :

plus rapide2  ≤  t  ≤  plus rapide\frac{\text{plus rapide}}{2} \;\le\; t \;\le\; \text{plus rapide}

Sur quatre propositions, l'encadrement en supprime souvent deux ou trois. Parfois, il ne reste plus rien à calculer.

La borne basse vient du cas où les deux seraient aussi rapides (on divise par deux) ; la borne haute du fait qu'une aide, même lente, ne ralentit jamais. Si votre résultat sort de cet intervalle, vous avez additionné les temps.

L'erreur que l'examen attend de vous, et qui figure toujours parmi les quatre propositions.

3+6=9 heures3 + 6 = 9 \text{ heures}
13+16=12  ⇒  2 heures\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; 2 \text{ heures}

Additionner les temps est absurde : à deux, on est plus rapide, pas trois fois plus lent. Le distracteur « somme » est présent presque à chaque fois.

3+62=4,5 heures\frac{3 + 6}{2} = 4{,}5 \text{ heures}
xyx+y=189=2 heures\begin{aligned}\frac{xy}{x+y} &= \frac{18}{9} \\ &= 2 \text{ heures}\end{aligned}

La moyenne des temps n'a aucun sens non plus, et elle tombe toujours au-dessus du plus rapide — donc hors de l'encadrement.

Deux artisans mettent respectivement 4 h et 12 h. En combien d'heures ensemble ?

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3 heures. 14+112=312+112=412=13\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}. Et le contrôle passe : 3 est bien entre 2 et 4.

Quand la quantité est donnée

Parfois l'énoncé donne directement des rythmes en unités : « 75 champignons par heure », « 24 pages par minute ».

On ne pose plus 1 : le rendement est déjà écrit. Il s'additionne de la même façon.

Temps = quantité divisée par rendement : 75125=35\frac{75}{125} = \frac{3}{5} h. La réponse se demande souvent en minutes : il reste à convertir.

La conversion rate plus souvent que le calcul.

0,6 h=6 min0{,}6 \text{ h} = 6 \text{ min}
0,6×60=36 min0{,}6 \times 60 = 36 \text{ min}

Une fraction d'heure se multiplie par 60. 0,250{,}25 h =15= 15 min, 0,50{,}5 h =30= 30 min, 23\frac{2}{3} h =40= 40 min — à reconnaître d'un coup d'œil.

Ce qui se retranche : la fuite

Un robinet remplit, une fuite vide : la fuite est un rendement négatif. On soustrait, et rien d'autre ne change.

La fuite a doublé le temps : 12 heures au lieu de 6.

Si le résultat de la soustraction est négatif, le bassin ne se remplit jamais : il se vide. C'est une réponse que l'examen propose parfois, et elle est alors correcte.

Plus de bras : le produit reste constant

Quand nn personnes de même rendement travaillent, le travail se mesure en « personnes-heures ». Ce produit ne bouge pas :

n1⋅t1=n2⋅t2n_1 \cdot t_1 = n_2 \cdot t_2

C'est de la proportionnalité inverse : deux fois plus de bras, deux fois moins de temps.

Huit ouvriers montent une charpente en 15 jours. Combien en faudrait-il pour la monter en 10 jours ?

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12. 8×15=1208 \times 15 = 120 ouvriers-jours ; 12010=12\frac{120}{10} = 12. Le produit se conserve.

Les rendements relatifs

La question la plus difficile de la famille ne donne aucun nombre absolu : elle compare.

« Son temps de travail vaut la moitié », « son rendement horaire vaut les trois quarts ». On multiplie alors les deux facteurs.

production par jour=heures par jour×rendement horaire\text{production par jour} = \text{heures par jour} \times \text{rendement horaire}

Le réflexe : produire moins par jour veut dire mettre plus de jours. Si votre résultat est inférieur à 9, vous avez multiplié là où il fallait diviser.

La méthode, en quatre gestes

Et avant de cocher, l'encadrement : le temps à deux tombe entre la moitié du plus rapide et le plus rapide. Cinq secondes, et il attrape presque toutes les erreurs de cette famille.

Exercices

Exercice 1

Un robot assemble un meuble en 5 heures, à rythme constant. En une heure, il assemble :

  1. 55 meubles
  2. 51\frac{5}{1} du meuble
  3. 15\frac{1}{5} du meuble
  4. 12\frac{1}{2} du meuble
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Réponse : C 15\frac{1}{5} du meuble

Corrigé :

x heures⇒1x par heurex \text{ heures} \Rightarrow \frac{1}{x} \text{ par heure}

Le rendement est l'inverse du temps.

15\frac{1}{5} du meuble. C'est la ligne dont dépend tout le chapitre.

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Exercice 2

Une pompe remplit 16\frac{1}{6} d'un bassin par heure. En combien d'heures remplit-elle le bassin entier ?

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Réponse : 6

Corrigé :

t=116=6\begin{aligned}t &= \frac{1}{\frac{1}{6}} \\ &= 6\end{aligned}

Le temps est l'inverse du rendement — la formule lue dans l'autre sens.

6 heures.

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Exercice 3

Deux techniciennes installent chacune le même réseau en 4 heures. Travaillant ensemble, en combien d'heures l'installent-elles ?

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Réponse : 2

Corrigé :

14+14=12\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Deux rendements égaux font le double.

t=2t = 2

Le double de rendement, la moitié du temps.

2 heures. C'est la borne basse de l'encadrement : à rendements égaux, le temps est exactement divisé par deux.

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Exercice 4

Alex tond la pelouse en 6 heures, Boris en 3 heures. En combien d'heures la tondent-ils ensemble ?

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Réponse : 2

Corrigé :

16+13=16+26=36=12\begin{aligned}\frac{1}{6} + \frac{1}{3} &= \frac{1}{6} + \frac{2}{6} \\ &= \frac{3}{6} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

On additionne les rendements, pas les temps.

t=2t = 2

2 heures. Contrôle : 2 est bien entre 32\frac{3}{2} et 33 — l'encadrement passe.

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Exercice 5

Une artisane met 5 heures pour un travail, une seconde en met 8. Sans rien calculer, le temps qu'elles mettront ensemble est :

  1. 13 h
  2. 6,5 h
  3. entre 5 h et 8 h
  4. entre 2,5 h et 5 h
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Réponse : D entre 2,5 h et 5 h

Corrigé :

52≤t≤5\frac{5}{2} \le t \le 5

Entre la moitié du plus rapide et le plus rapide.

⇒\Rightarrow

La borne haute vient du fait qu'une aide ne ralentit jamais ; la borne basse, du cas où les deux seraient aussi rapides.

Entre 2,5 h et 5 h. Les propositions 13 h (la somme) et 6,5 h (la moyenne) sont les deux distracteurs classiques : toutes deux dépassent le plus rapide, donc toutes deux sont impossibles.

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Exercice 6

Un travail dure 0,4 heure. Combien cela fait-il de minutes ?

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Réponse : 24

Corrigé :

0,4×60=240{,}4 \times 60 = 24

Une fraction d'heure se multiplie par 60.

24 minutes. Le réflexe manquant coûte une question entière : la moitié des énoncés de rendement demandent la réponse en minutes.

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Exercice 7

Une carreleuse pose un carrelage en 6 heures. En 4 heures, elle en pose les 23\frac{2}{3}.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

16×4=46=23\begin{aligned}\frac{1}{6} \times 4 &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

Un sixième par heure, quatre heures.

Vrai. Le rendement multiplie le temps. Le piège serait 46\frac{4}{6} non simplifié, qui vaut la même chose.

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Exercice 8

Associez chaque paire de temps au temps qu'ils mettent ensemble.

  • 33 h et 66 h
  • 44 h et 1212 h
  • 1010 h et 1515 h
  • 22 h et 22 h
  • 11 h
  • 22 h
  • 33 h
  • 66 h
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Réponse : 33 h et 66 h — 22 h · 44 h et 1212 h — 33 h · 1010 h et 1515 h — 66 h · 22 h et 22 h — 11 h

Corrigé :

3×69=24×1216=3\begin{aligned}\frac{3 \times 6}{9} &= 2 \qquad \frac{4 \times 12}{16} \\ &= 3\end{aligned}

produit sur somme

10×1525=62×24=1\begin{aligned}\frac{10 \times 15}{25} &= 6 \qquad \frac{2 \times 2}{4} \\ &= 1\end{aligned}

deux temps égaux : on divise par deux

Chaque temps commun est plus court que le plus rapide des deux : c'est le contrôle.

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Exercice 9

L'un met 6 h, l'autre 10 h. Pour le temps à deux, chaque proposition est-elle possible ?

  • Possible
  • Impossible
  • 1616 h
  • 2,52{,}5 h
  • 3,753{,}75 h
  • 55 h
  • 6,56{,}5 h
  • 88 h
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Réponse : 3,753{,}75 h — Possible · 1616 h — Impossible · 88 h — Impossible · 2,52{,}5 h — Impossible · 55 h — Possible · 6,56{,}5 h — Impossible

Corrigé :

62=3  ≤  t  ≤  6\frac{6}{2} = 3 \;\le\; t \;\le\; 6

entre la moitié du plus rapide et le plus rapide

t=6×1016=3,75\begin{aligned}t &= \frac{6 \times 10}{16} \\ &= 3{,}75\end{aligned}

le vrai temps tombe bien dans la bande

1616 h est la somme, 88 h la moyenne : tous deux dépassent 6 h. 2,52{,}5 h est sous la moitié du plus rapide.

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Exercice 10

La machine A emballe 40 colis par heure, la machine B 20. Complétez.

Ensemble : ____ colis par heure. Pour 120 colis, il leur faut ____ heures.

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Réponse : Ensemble : 60 colis par heure. Pour 120 colis, il leur faut 2 heures.

Corrigé :

40+20=6040 + 20 = 60

les rendements en unités s'additionnent

12060=2\frac{120}{60} = 2

temps = quantité sur rendement

Quand le rendement est déjà en unités, on ne pose pas le travail à 1.

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Exercice 11

Rangez ces durées de la plus courte à la plus longue.

  • 14\frac{1}{4} h
  • 0,30{,}3 h
  • 0,40{,}4 h
  • 2020 min
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Réponse : 14\frac{1}{4} h · 0,30{,}3 h · 2020 min · 0,40{,}4 h

Corrigé :

14×60=150,3×60=18\begin{aligned}\frac{1}{4} \times 60 &= 15 \qquad 0{,}3 \times 60 \\ &= 18\end{aligned}

fois 60, pas fois 100

200,4×60=2420 \qquad 0{,}4 \times 60 = 24

tout en minutes, puis on range

15<18<20<2415 < 18 < 20 < 24. Lire « 0,30{,}3 h » comme 30 minutes le placerait trop loin.

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Exercice 12

Un robinet remplit une citerne en 4 heures ; une fuite la viderait en 12 heures. Robinet ouvert et fuite active, en combien d'heures la citerne est-elle pleine ?

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Réponse : 6

Corrigé :

14−112=312−112=212=16\begin{aligned}\frac{1}{4} - \frac{1}{12} &= \frac{3}{12} - \frac{1}{12} \\ &= \frac{2}{12} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

ce qui entre moins ce qui sort

t=6t = 6

on retourne le rendement net

6 heures. Ajouter la fuite au lieu de la soustraire donnerait 3 heures : plus vite qu'avec le robinet seul, absurde.

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Exercice 13

Six peintres repeignent une école en 10 jours. En combien de jours quinze peintres de même rendement la repeignent-ils ?

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Réponse : 4

Corrigé :

6×10=606 \times 10 = 60

peintres-jours : le produit se conserve

6015=4\frac{60}{15} = 4

4 jours. Plus de peintres, moins de jours : la proportion directe (2525 jours) va dans le mauvais sens.

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Exercice 14

Chaque jour, Noa travaille deux fois plus d'heures que Tal, mais elle produit en une heure le tiers de ce que Tal produit. Tal finit un chantier en 12 jours. Combien de jours faut-il à Noa ?

  1. 3636
  2. 1818
  3. 88
  4. 66
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Réponse : B 1818

Corrigé :

2×13=232 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

par jour, Noa produit les deux tiers de Tal

12÷23=12×32=18\begin{aligned}12 \div \frac{2}{3} &= 12 \times \frac{3}{2} \\ &= 18\end{aligned}

moins par jour, donc plus de jours

18 jours. 8=12×238 = 12 \times \frac{2}{3} multiplie au lieu de diviser ; 66 ne garde que les heures, 3636 que le rendement.

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Exercice 15

Deux robinets remplissent un bassin en 3 h et en 6 h ; une fuite le viderait en 2 h. Tout ouvert, le bassin ne se remplit jamais.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

13+16−12=26+16−36=0\begin{aligned}\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2} &= \frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{3}{6} \\ &= 0\end{aligned}

ce qui aide moins ce qui défait

Vrai. Le rendement net est nul : le niveau ne bouge pas. Un net négatif voudrait dire que le bassin se vide.

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