Série 5 — Le niveau de l'examen · Repère orthonormé · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du repère avant de continuer.

À ce niveau, la figure suggère et l'énoncé décide. Pour chaque option, demandez-vous si une autre figure conforme aux données la contredit, et ramenez tout aux quatre outils du repère : écarts, milieu, pente, Pythagore.

Exercices

Exercice 1

On va de $S(-2,\ -1)$ à $T(4,\ 3)$ le long des lignes du quadrillage, par un chemin le plus court qui passe par le point $(1,\ 2)$ . Lequel des points suivants ne peut pas être sur ce chemin ?

$(1,\ -1)$
$(3,\ 2)$
$(0,\ 3)$
$(-1,\ 0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(0,\ 3)$

Corrigé :

x \le 1,\ y \le 2 \quad \text{ou} \quad x \ge 1,\ y \ge 2

un chemin le plus court ne va jamais vers la gauche ni vers le bas : un point est avant $(1,\ 2)$ , ou après

0 < 1 \quad \text{mais} \quad 3 > 2

$(0,\ 3)$ n'est ni avant ni après : de lui à $(1,\ 2)$ , il faudrait redescendre

La bonne réponse : « $(0,\ 3)$ ». « $(-1,\ 0)$ » est possible : avant $(1,\ 2)$ , ses deux coordonnées sont plus petites, et on l'atteint en montant et en avançant. « $(3,\ 2)$ » est possible : après $(1,\ 2)$ , on avance de $2$ sans monter ; l'exclure, c'est exiger un chemin qui monte à chaque pas. « $(1,\ -1)$ » est possible : on passe par ce point, puis on monte tout droit jusqu'à $(1,\ 2)$ .

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Exercice 2

Pour tout point $P(x,\ y)$ , on définit $\sigma(P) = (-x,\ y)$ et $\epsilon(P) = (y,\ x)$ . Lequel des points suivants vérifie $\epsilon(\sigma(P)) = \sigma(\epsilon(P))$ ?

Tous les points du plan
$(0,\ 0)$
$(3,\ -3)$
$(3,\ 3)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(0,\ 0)$

Corrigé :

\begin{aligned}\epsilon(\sigma(x,\ y)) &= \epsilon(-x,\ y) \\ &= (y,\ -x)\end{aligned}

on applique d'abord l'opération intérieure

\begin{aligned}\sigma(\epsilon(x,\ y)) &= \sigma(y,\ x) \\ &= (-y,\ x)\end{aligned}

\begin{aligned}(y,\ -x) &= (-y,\ x) \Rightarrow y \\ &= 0 \\ \ x &= 0\end{aligned}

chaque coordonnée doit être égale à son opposée

La bonne réponse : « $(0,\ 0)$ ». « $(3,\ 3)$ » croit qu'un point de la droite $y = x$ , que $\epsilon$ ne déplace pas, rend l'ordre indifférent : $\epsilon(\sigma(3,\ 3)) = (3,\ -3)$ mais $\sigma(\epsilon(3,\ 3)) = (-3,\ 3)$ . « $(3,\ -3)$ » essaie la droite $y = -x$ : $\epsilon(\sigma(3,\ -3)) = (-3,\ -3)$ mais $\sigma(\epsilon(3,\ -3)) = (3,\ 3)$ . « Tous les points du plan » croit que les deux opérations commutent, comme deux symétries par rapport aux deux axes ; ici, l'une est une symétrie par rapport à une diagonale.

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Exercice 3

Le quadrilatère $ABCD$ de la figure a pour sommets $A(-3,\ 1)$ , $B(2,\ -2)$ , $C(5,\ 3)$ et $D(0,\ 5)$ . Quelle est son aire ?

$30$
$28$
$36$
$26$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $30$

Corrigé :

8 \times 7 = 56

le rectangle qui encadre le quadrilatère, de $-3$ à $5$ et de $-2$ à $5$

\frac{5 \cdot 3}{2} + \frac{3 \cdot 5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 4}{2} = 26

les triangles des coins, sous $AB$ , $BC$ , $CD$ et $DA$

56 - 26 = 30

La bonne réponse : « $30$ ». « $28$ » prend la moitié du rectangle qui l'encadre, comme pour un losange : ses diagonales ne sont pas perpendiculaires. « $26$ » donne l'aire des quatre triangles retirés au lieu de ce qui reste. « $36$ » oublie un des quatre triangles des coins, celui du côté $DA$ .

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Exercice 4

Un cercle dont le centre est dans le quadrant I est tangent à l'axe des $x$ et à l'axe des $y$ , et il passe par le point $(9,\ 2)$ . Quelles sont les valeurs possibles de son rayon ?

$17$ seulement
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$5$ seulement
$5$ ou $17$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $5$ ou $17$

Corrigé :

M = (r,\ r)

tangent aux deux axes, centre dans le quadrant I

(9 - r)^2 + (2 - r)^2 = r^2

le point est à un rayon du centre

r^2 - 22r + 85 = 0

(r - 5)(r - 17) = 0

La bonne réponse : « $5$ ou $17$ ». « $5$ seulement » dessine le petit cercle et s'arrête : l'équation a deux racines positives, et chacune donne un cercle. « $17$ seulement » garde le grand cercle et oublie le petit, tout aussi conforme. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit que ces conditions ne fixent pas le cercle : elles le fixent à deux cercles près, et les deux se calculent.

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Exercice 5

Le point $P(x,\ y)$ est à la même distance de $A(-1,\ 4)$ et de $B(5,\ -2)$ . Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$x = 2$
$x - y = 1$
$P = (2,\ 1)$
$x + y = 3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $x - y = 1$

Corrigé :

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-1 + 5}{2},\ \frac{4 - 2}{2}\right) \\ &= (2,\ 1)\end{aligned}

le milieu de $AB$

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-2 - 4}{5 - (-1)} \\ &= -1\end{aligned}

la médiatrice est perpendiculaire à $AB$ : sa pente est $1$

\begin{aligned}y - 1 &= x - 2 \Rightarrow x - y \\ &= 1\end{aligned}

La bonne réponse : « $x - y = 1$ ». « $x + y = 3$ » est l'équation de la droite $AB$ elle-même, pas celle des points équidistants. « $P = (2,\ 1)$ » le milieu est équidistant, mais il n'est pas le seul : tout point de la médiatrice l'est. « $x = 2$ » trace une médiatrice verticale, comme si $AB$ était horizontal.

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Exercice 6

La droite $d$ passe par le point $(4,\ 9)$ et elle est parallèle à la droite qui passe par $(2,\ 6)$ et $(6,\ 4)$ . Quelle est l'aire du triangle que $d$ forme avec les deux axes ?

$\frac{289}{4}$
$49$
$242$
$121$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $121$

Corrigé :

\begin{aligned}m &= \frac{4 - 6}{6 - 2} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

deux droites parallèles ont la même pente

\begin{aligned}9 &= -\frac{1}{2} \cdot 4 + n \Rightarrow n \\ &= 11\end{aligned}

$d$ coupe l'axe des $y$ en $11$

\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow x \\ &= 22\end{aligned}

et l'axe des $x$ en $22$

\begin{aligned}S &= \frac{22 \cdot 11}{2} \\ &= 121\end{aligned}

La bonne réponse : « $121$ ». « $242$ » oublie de diviser par $2$ . « $\frac{289}{4}$ » inverse la pente, $-2$ au lieu de $-\frac{1}{2}$ : la droite devient $y = -2x + 17$ . « $49$ » calcule le triangle de la première droite, $y = -\frac{1}{2}x + 7$ , au lieu de celui de $d$ .

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Exercice 7

Combien de points dont les deux coordonnées sont entières se trouvent sur le cercle de centre $O(0,\ 0)$ et de rayon $5$ ?

$4$
$12$
$8$
$16$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $12$

Corrigé :

x^2 + y^2 = 25

un point du cercle

(\pm 5,\ 0),\ (0,\ \pm 5)

$4$ points sur les axes

(\pm 3,\ \pm 4),\ (\pm 4,\ \pm 3)

$8$ points hors des axes, car $9 + 16 = 25$

4 + 8 = 12

La bonne réponse : « $12$ ». « $4$ » ne compte que les points des axes. « $8$ » oublie les quatre points des axes. « $16$ » compte quatre points par quadrant, axes compris, et compte ainsi deux fois chaque point d'un axe.

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Exercice 8

Les points $A(-3,\ 1)$ , $B(1,\ 3)$ et $C(k,\ 9)$ forment un triangle rectangle en $B$ . Que vaut $k$ ?

$4$
$-2$
$13$
$-7$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $-2$

Corrigé :

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{3 - 1}{1 - (-3)} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

m_{BC} = -2

deux droites perpendiculaires ont des pentes de produit $-1$

\begin{aligned}\frac{9 - 3}{k - 1} &= -2 \Rightarrow k - 1 \\ &= -3\end{aligned}

k = -2

La bonne réponse : « $-2$ ». « $13$ » donne à $BC$ la pente de $AB$ : les deux côtés deviennent parallèles, et même alignés. « $4$ » inverse la pente sans changer son signe : $2$ au lieu de $-2$ . « $-7$ » place l'angle droit en $A$ au lieu de $B$ .

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Exercice 9

Le rectangle $ABCD$ de la figure a deux sommets opposés en $A(0,\ 0)$ et $C(6,\ 4)$ . La figure n'est pas à l'échelle. Quelle est l'aire du rectangle ?

$12$
$26$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$24$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= \sqrt{36 + 16} \\ &= \sqrt{52}\end{aligned}

seule la diagonale est connue

\begin{aligned}B(6,\ 0) \\ \ D(0,\ 4) \Rightarrow S &= 6 \cdot 4 \\ &= 24\end{aligned}

un premier rectangle conforme

\begin{aligned}B(5,\ -1) \\ \ D(1,\ 5) \Rightarrow S &= \sqrt{26} \cdot \sqrt{26} \\ &= 26\end{aligned}

un second, d'une autre aire

La bonne réponse : « On ne peut pas le savoir avec ces seules données ». « $24$ » suppose les côtés parallèles aux axes : rien ne l'impose. « $26$ » prend l'aire du carré de diagonale $AC$ , $\frac{AC^2}{2}$ : c'est la plus grande aire possible, celle d'un seul rectangle. « $12$ » prend l'aire du triangle $ABC$ d'un rectangle aux côtés parallèles aux axes, $\frac{6 \cdot 4}{2}$ .

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Exercice 10

Le quart de cercle de centre $O(0,\ 0)$ et de rayon $r$ relie $A(r,\ 0)$ à $B(0,\ r)$ . Un chemin en escalier relie aussi $A$ à $B$ : il est fait de segments horizontaux et verticaux, ne va que vers la gauche ou vers le haut, et ses marches ne sont pas forcément égales. Quel est le rapport entre la longueur du chemin en escalier et celle du quart de cercle ?

$\frac{4}{\pi}$
$\frac{\pi}{4}$
$\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{4}{\pi}$

Corrigé :

r + r = 2r

les déplacements horizontaux s'additionnent jusqu'à $r$ , les verticaux aussi, quelles que soient les marches

\frac{2\pi r}{4} = \frac{\pi r}{2}

le quart de cercle est le quart du périmètre

\frac{2r}{\frac{\pi r}{2}} = \frac{4}{\pi}

La bonne réponse : « $\frac{4}{\pi}$ ». « $\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$ » remplace l'escalier par la corde $AB$ , de longueur $r\sqrt{2}$ . « $\frac{\pi}{4}$ » inverse le rapport : c'est l'arc divisé par l'escalier. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit que la place des marches change la longueur : les segments horizontaux totalisent toujours $r$ , les verticaux aussi.

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Exercices

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