Série 4 — Données cachées · Repère orthonormé · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du repère avant de continuer.

Avant de cocher « on ne peut pas le savoir », essayez deux exemples conformes à l'énoncé : s'ils donnent deux réponses différentes, l'option est la bonne ; s'ils donnent la même, cherchez la raison et calculez. Un paramètre, lui, se trouve toujours par une équation écrite en clair.

Exercices

Exercice 1

Le rectangle $KLMN$ a ses côtés parallèles aux axes. $K(-2,\ 3)$ et $L(4,\ 3)$ sont deux sommets voisins, et le côté $KL$ est le double du côté $LM$ . Lequel des points suivants peut être $M$ ?

$(4,\ 9)$
$(4,\ 15)$
$(4,\ 0)$
$(-2,\ 0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(4,\ 0)$

Corrigé :

\begin{aligned}KL &= 4 - (-2) \\ &= 6\end{aligned}

$KL$ est horizontal

\begin{aligned}LM &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

$LM$ est vertical : $M$ garde l'abscisse de $L$

M = (4,\ 3 \pm 3)

donc $(4,\ 6)$ ou $(4,\ 0)$

La bonne réponse : « $(4,\ 0)$ ». « $(4,\ 15)$ » inverse le rapport : $LM = 2 \cdot KL = 12$ . « $(-2,\ 0)$ » prend l'abscisse de $K$ : c'est $N$ , le sommet voisin de $K$ . « $(4,\ 9)$ » prend $LM = KL = 6$ , comme pour un carré.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Le point $P(12,\ -8)$ se projette en $H$ sur l'axe des $x$ et en $K$ sur l'axe des $y$ . $M$ est le milieu de $HK$ , et $N$ le milieu de $HM$ . Quelles sont les coordonnées de $N$ ?

$(6,\ -4)$
$(-2,\ 9)$
$(9,\ -2)$
$(-6,\ 3)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(9,\ -2)$

Corrigé :

\begin{aligned}H &= (12,\ 0) \\ \quad K &= (0,\ -8)\end{aligned}

la projection sur l'axe des $x$ garde l'abscisse

M = (6,\ -4)

le milieu de $HK$

\begin{aligned}N &= \left(\frac{12 + 6}{2},\ \frac{0 - 4}{2}\right) \\ &= (9,\ -2)\end{aligned}

le milieu de $HM$

La bonne réponse : « $(9,\ -2)$ ». « $(-2,\ 9)$ » trouve les bonnes valeurs, mais inverse abscisse et ordonnée. « $(6,\ -4)$ » s'arrête au premier milieu : c'est $M$ . « $(-6,\ 3)$ » inverse les projections, $H(-8,\ 0)$ et $K(0,\ 12)$ : tout le reste du calcul en hérite.

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Exercice 3

Quelle est l'aire du triangle de sommets $A(-3,\ 0)$ , $B(5,\ 0)$ et $C(2,\ -6)$ ?

$8$
$6$
$48$
$24$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $24$

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 5 - (-3) \\ &= 8\end{aligned}

la base est sur l'axe des $x$

\begin{aligned}h &= |-6| \\ &= 6\end{aligned}

la hauteur est la distance de $C$ à l'axe des $x$ : la valeur absolue de son ordonnée

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 6}{2} \\ &= 24\end{aligned}

La bonne réponse : « $24$ ». « $48$ » oublie de diviser par $2$ . « $6$ » oublie le signe de $-3$ : une base de $5 - 3 = 2$ . « $8$ » prend l'abscisse de $C$ pour hauteur : $\frac{8 \cdot 2}{2}$ .

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Exercice 4

Le trapèze $ABCD$ a ses bases $AB$ et $DC$ parallèles à l'axe des $x$ , avec $A(-4,\ 0)$ , $B(8,\ 0)$ et $D(-2,\ 4)$ . Le sommet $C$ est sur la droite qui passe par $B$ et par le point $(0,\ 8)$ . La figure n'est pas à l'échelle. Quelle est l'aire du trapèze ?

$36$
$72$
$40$
$32$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $36$

Corrigé :

y = -x + 8

la droite a pour pente $\frac{8 - 0}{0 - 8} = -1$ et coupe l'axe des $y$ en $8$

4 = -x + 8 \Rightarrow C(4,\ 4)

$C$ est à la hauteur de $D$

\begin{aligned}DC &= 4 - (-2) \\ &= 6 \\ \quad AB &= 8 - (-4) \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{(12 + 6) \cdot 4}{2} \\ &= 36\end{aligned}

La bonne réponse : « $36$ ». « $40$ » suppose le trapèze symétrique et place $C$ en $(6,\ 4)$ : la base $DC$ devient $8$ au lieu de $6$ . « $72$ » oublie de diviser par $2$ . « $32$ » prend l'abscisse de $C$ , $4$ , pour la base $DC$ , en oubliant que $D$ est à $-2$ .

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Exercice 5

Les points $A(a,\ -3)$ , $B(3,\ 5)$ et $C(7,\ 13)$ sont alignés. Que vaut $a$ ?

$-1$
$-13$
$2$
$-\frac{3}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $-1$

Corrigé :

\begin{aligned}m &= \frac{13 - 5}{7 - 3} \\ &= 2\end{aligned}

la pente de $BC$

\begin{aligned}\frac{5 - (-3)}{3 - a} &= 2 \Rightarrow 3 - a \\ &= 4\end{aligned}

$AB$ a la même pente

a = -1

La bonne réponse : « $-1$ ». « $-13$ » inverse la pente : $\frac{1}{2}$ au lieu de $2$ . « $-\frac{3}{2}$ » prend la droite $y = 2x$ : la bonne pente, mais sans l'ordonnée à l'origine. « $2$ » oublie le signe de $-3$ : un écart d'ordonnées de $5 - 3 = 2$ au lieu de $8$ .

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Exercice 6

Les points $A(2a,\ 0)$ et $B(6,\ 8)$ sont à la même distance de l'origine, et $a < 0$ . Que vaut $a$ ?

$-10$
$-7$
$5$
$-5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $-5$

Corrigé :

\begin{aligned}OB &= \sqrt{36 + 64} \\ &= 10\end{aligned}

\begin{aligned}OA &= |2a| \\ &= 10\end{aligned}

un point de l'axe des $x$ : sa distance à l'origine est la valeur absolue de son abscisse

\begin{aligned}2a &= -10 \Rightarrow a \\ &= -5\end{aligned}

$a < 0$

La bonne réponse : « $-5$ ». « $5$ » oublie la condition $a < 0$ . « $-10$ » oublie le facteur $2$ : il résout comme si $A$ était $(a,\ 0)$ . « $-7$ » prend pour $OB$ la somme des coordonnées, $6 + 8 = 14$ , au lieu de Pythagore.

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Exercice 7

Le point $A(x,\ y)$ vérifie $x \cdot y < 0$ . Dans quel quadrant est nécessairement le point $B(x + y,\ x - y)$ ?

Dans le quadrant I
Sur l'un des deux axes
Dans le quadrant II ou dans le quadrant IV
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Corrigé :

\begin{aligned}x &= 2 \\ \ y &= -1 \Rightarrow B(1,\ 3)\end{aligned}

un premier exemple conforme : quadrant I

\begin{aligned}x &= 1 \\ \ y &= -2 \Rightarrow B(-1,\ 3)\end{aligned}

un second exemple conforme : quadrant II

\begin{aligned}x &= -1 \\ \ y &= 2 \Rightarrow B(1,\ -3)\end{aligned}

un troisième : quadrant IV. Le signe de $x + y$ n'est pas fixé

La bonne réponse : « On ne peut pas le savoir avec ces seules données ». « Dans le quadrant I » généralise un seul exemple, $x = 2$ et $y = -1$ , qui donne $B(1,\ 3)$ . « Dans le quadrant II ou dans le quadrant IV » recopie les quadrants possibles de $A$ sans calculer $B$ . « Sur l'un des deux axes » est seulement possible, quand $x + y = 0$ ; l'exemple $x = 2$ , $y = -1$ donne un point hors des axes.

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Exercice 8

Le triangle $OAB$ a pour sommets $O(0,\ 0)$ , $A(k,\ 0)$ et $B(k,\ 2k)$ , avec $k > 0$ . Son aire vaut $36$ . La figure n'est pas à l'échelle. Que vaut $k$ ?

$6$
$3\sqrt{2}$
$6\sqrt{2}$
$18$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $6$

Corrigé :

\begin{aligned}OA &= k \\ \quad AB &= 2k\end{aligned}

le côté $AB$ est vertical : il est la hauteur sur la base $OA$

\begin{aligned}\frac{k \cdot 2k}{2} &= k^2 \\ &= 36\end{aligned}

k = 6

$k > 0$

La bonne réponse : « $6$ ». « $3\sqrt{2}$ » oublie de diviser par $2$ : $2k^2 = 36$ . « $6\sqrt{2}$ » prend $k$ pour hauteur au lieu de $2k$ : $\frac{k^2}{2} = 36$ . « $18$ » divise $36$ par $2$ au lieu de prendre la racine carrée.

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Exercice 9

Le point $B$ parcourt le cercle de centre $O(0,\ 0)$ et de rayon $10$ , et $A$ est le point $(3,\ 4)$ . Quelle est la plus grande valeur possible de la distance $AB$ ?

$17$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$15$
$20$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $15$

Corrigé :

\begin{aligned}OA &= \sqrt{9 + 16} \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}AB \le AO + OB &= 5 + 10 \\ &= 15\end{aligned}

l'égalité a lieu quand $O$ est entre $A$ et $B$ sur une même droite

La bonne réponse : « $15$ ». « $20$ » prend le diamètre, comme si $A$ était sur le cercle : $A$ est à l'intérieur, à $5$ du centre. « $17$ » prend pour $OA$ la somme $3 + 4 = 7$ au lieu de Pythagore. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'une distance qui varie ne se calcule pas : son maximum est atteint quand $B$ est sur la droite $OA$ , de l'autre côté de $O$ .

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Exercice 10

Combien de points dont les deux coordonnées sont entières se trouvent sur le segment qui va de $A(-2,\ 1)$ à $B(10,\ 9)$ , extrémités comprises ?

$4$
$5$
$13$
$3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $5$

Corrigé :

\begin{aligned}\Delta x &= 10 - (-2) \\ &= 12 \\ \quad \Delta y &= 9 - 1 \\ &= 8\end{aligned}

\text{pgcd}(12,\ 8) = 4

le segment se découpe en $4$ pas égaux de $3$ à droite et $2$ vers le haut

(-2,\ 1),\ (1,\ 3),\ (4,\ 5),\ (7,\ 7),\ (10,\ 9)

La bonne réponse : « $5$ ». « $4$ » compte les intervalles entre ces points au lieu des points. « $3$ » oublie les deux extrémités. « $13$ » compte un point par abscisse entière, de $-2$ à $10$ : la plupart de ces points ont une ordonnée non entière.

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Exercices

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