Série 3 — Transformations et cercles · Repère orthonormé · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du repère avant de continuer.

Pour un cercle, revenez toujours à la même phrase : un point est sur le cercle quand sa distance au centre vaut le rayon, et le rayon se calcule, il ne se lit pas sur une coordonnée. Quand une question dit « nécessairement », cherchez un contre-exemple à chaque option.

Exercices

Exercice 1

Pour tout point $P(x,\ y)$ , on note $P^{*}$ le point $(y,\ x)$ . Le segment $AB$ va de $A(-1,\ 3)$ à $B(4,\ 6)$ . Quel est le milieu du segment $A^{*}B^{*}$ ?

$\left(\frac{3}{2},\ \frac{9}{2}\right)$
$\left(\frac{9}{2},\ -\frac{3}{2}\right)$
$\left(\frac{9}{2},\ \frac{3}{2}\right)$
$\left(-\frac{3}{2},\ \frac{9}{2}\right)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\left(\frac{9}{2},\ \frac{3}{2}\right)$

Corrigé :

\begin{aligned}A^{*} &= (3,\ -1) \\ \quad B^{*} &= (6,\ 4)\end{aligned}

on échange les coordonnées de chaque extrémité

\left(\frac{3 + 6}{2},\ \frac{-1 + 4}{2}\right) = \left(\frac{9}{2},\ \frac{3}{2}\right)

La bonne réponse : « $\left(\frac{9}{2},\ \frac{3}{2}\right)$ ». « $\left(\frac{3}{2},\ \frac{9}{2}\right)$ » est le milieu de $AB$ : l'échange des coordonnées a été oublié. « $\left(-\frac{3}{2},\ \frac{9}{2}\right)$ » applique au milieu de $AB$ la symétrie par rapport à l'axe des $y$ . « $\left(\frac{9}{2},\ -\frac{3}{2}\right)$ » applique une rotation d'un quart de tour, $(x,\ y) \to (y,\ -x)$ , au lieu de l'échange.

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Exercice 2

Le triangle de la figure a pour sommets $A(1,\ 1)$ , $B(7,\ 3)$ et $C(3,\ 6)$ . Quelle est son aire ?

$13$
$17$
$15$
$19$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $13$

Corrigé :

6 \times 5 = 30

le rectangle qui encadre le triangle

\begin{aligned}\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{4 \cdot 3}{2} + \frac{2 \cdot 5}{2} &= 6 + 6 + 5 \\ &= 17\end{aligned}

les trois triangles des coins, sous $AB$ , $BC$ et $CA$

30 - 17 = 13

La bonne réponse : « $13$ ». « $15$ » prend la moitié du rectangle qui l'encadre, comme si le triangle en occupait la moitié. « $19$ » ne retire que deux des trois triangles des coins : celui du côté $BC$ manque. « $17$ » donne l'aire des trois triangles retirés au lieu de ce qui reste.

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Exercice 3

Pour deux points $A$ et $B$ , on définit $A \diamond B = |x_B - x_A| + |y_B - y_A|$ . Combien vaut $A \diamond B$ pour $A(-3,\ 5)$ et $B(4,\ -1)$ ?

$7$
$13$
$1$
$\sqrt{85}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $13$

Corrigé :

|4 - (-3)| = 7

l'écart des abscisses

|-1 - 5| = 6

l'écart des ordonnées

7 + 6 = 13

La bonne réponse : « $13$ ». « $\sqrt{85}$ » calcule la distance usuelle par Pythagore : l'opération définie additionne les écarts sans les élever au carré. « $7$ » oublie le signe de $-3$ : $|4 - 3| + |-1 - 5| = 1 + 6$ . « $1$ » additionne les écarts avec leur signe, $7 + (-6)$ , avant de prendre la valeur absolue.

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Exercice 4

$ABCD$ est un parallélogramme, ses sommets nommés dans cet ordre, avec $A(1,\ 1)$ , $B(6,\ 2)$ et $C(8,\ 6)$ . Quelles sont les coordonnées de $D$ ?

$(-1,\ -3)$
$(3,\ 5)$
$\left(\frac{9}{2},\ \frac{7}{2}\right)$
$(13,\ 7)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(3,\ 5)$

Corrigé :

C - B = (2,\ 4)

de $B$ à $C$ : $2$ vers la droite, $4$ vers le haut

\begin{aligned}D &= A + (2,\ 4) \\ &= (3,\ 5)\end{aligned}

le côté $AD$ fait le même déplacement que $BC$

La bonne réponse : « $(3,\ 5)$ ». « $(13,\ 7)$ » calcule $B + C - A$ : c'est le quatrième sommet du parallélogramme $ABDC$ , où $A$ est opposé à $D$ . « $(-1,\ -3)$ » calcule $A + B - C$ : c'est le sommet opposé à $C$ . « $\left(\frac{9}{2},\ \frac{7}{2}\right)$ » donne le centre, milieu de $AC$ , et s'arrête là.

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Exercice 5

Le triangle $ABC$ est isocèle, avec $AB = AC$ , $A(3,\ 7)$ et $B(-2,\ 1)$ . Le côté $BC$ est parallèle à l'axe des $x$ . Quelles sont les coordonnées de $C$ ?

$(3,\ 1)$
$(2,\ 1)$
$(8,\ 7)$
$(8,\ 1)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $(8,\ 1)$

Corrigé :

y_C = 1

$BC$ est horizontal : $C$ a l'ordonnée de $B$

\begin{aligned}x_C &= 2 \cdot 3 - (-2) \\ &= 8\end{aligned}

la hauteur issue de $A$ est l'axe de symétrie, la droite $x = 3$ : $B$ est à $5$ à gauche, $C$ à $5$ à droite

La bonne réponse : « $(8,\ 1)$ ». « $(3,\ 1)$ » donne le pied de la hauteur issue de $A$ , milieu de $BC$ , et non $C$ . « $(2,\ 1)$ » prend le symétrique de $B$ par rapport à l'axe des $y$ : l'axe de symétrie du triangle est la droite $x = 3$ . « $(8,\ 7)$ » trouve la bonne abscisse, mais prend l'ordonnée de $A$ au lieu de celle de $B$ .

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Exercice 6

On va de $O(0,\ 0)$ à $T(6,\ 4)$ le long des lignes du quadrillage (des segments horizontaux et verticaux entre points à coordonnées entières), par un chemin le plus court possible. Par lequel des couples de points un même chemin le plus court peut-il passer ?

$(0,\ 3)$ et $(4,\ 5)$
$(3,\ 1)$ et $(7,\ 2)$
$(1,\ 2)$ et $(5,\ 3)$
$(2,\ 3)$ et $(4,\ 1)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(1,\ 2)$ et $(5,\ 3)$

Corrigé :

6 + 4 = 10

un chemin le plus court mesure $10$ : il ne va jamais vers la gauche ni vers le bas

(0,\ 0) \to (1,\ 2) \to (5,\ 3) \to (6,\ 4)

les deux coordonnées ne font que croître d'un point au suivant : le couple convient

La bonne réponse : « $(1,\ 2)$ et $(5,\ 3)$ ». « $(2,\ 3)$ et $(4,\ 1)$ » vérifie chaque point séparément : chacun est entre $O$ et $T$ , mais aller de $(2,\ 3)$ à $(4,\ 1)$ oblige à redescendre, et le chemin s'allonge. « $(3,\ 1)$ et $(7,\ 2)$ » oublie que $(7,\ 2)$ dépasse l'abscisse de $T$ : il faudrait revenir vers la gauche. « $(0,\ 3)$ et $(4,\ 5)$ » oublie que $(4,\ 5)$ est au-dessus de $T$ : il faudrait redescendre.

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Exercice 7

Un cercle de centre $M(5,\ -12)$ passe par l'origine. Il coupe la droite $y = -12$ en deux points. Quelle est la distance entre ces deux points ?

$10$
$24$
$13$
$26$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $26$

Corrigé :

\begin{aligned}r &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

le rayon est la distance du centre à l'origine

2r = 26

la droite $y = -12$ passe par le centre : elle porte un diamètre

La bonne réponse : « $26$ ». « $24$ » prend pour rayon la valeur absolue de l'ordonnée du centre, $12$ . « $10$ » prend pour rayon l'abscisse du centre, $5$ . « $13$ » s'arrête au rayon : la droite passe par le centre, et les deux points sont aux deux bouts d'un diamètre.

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Exercice 8

Un cercle de rayon $5$ est tangent à l'axe des $x$ et à l'axe des $y$ , et son centre est dans le quadrant IV. Lequel des points suivants est sur le cercle ?

$(0,\ 0)$
$(-2,\ 1)$
$(3,\ -4)$
$(8,\ -1)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $(8,\ -1)$

Corrigé :

M = (5,\ -5)

tangent aux deux axes : le centre est à $5$ de chacun ; dans le quadrant IV, son abscisse est positive et son ordonnée négative

\begin{aligned}(8 - 5)^2 + (-1 + 5)^2 &= 9 + 16 \\ &= 25 \\ &= 5^2\end{aligned}

La bonne réponse : « $(8,\ -1)$ ». « $(-2,\ 1)$ » place le centre dans le quadrant II, en $(-5,\ 5)$ : les deux signes sont inversés. « $(3,\ -4)$ » applique Pythagore autour de l'origine, $3^2 + 4^2 = 25$ , au lieu de l'appliquer autour du centre. « $(0,\ 0)$ » croit que le cercle passe par l'origine : elle est à $\sqrt{50}$ du centre, plus loin que le rayon.

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Exercice 9

Le point $P(x,\ y)$ est à la même distance des trois points $A(1,\ 2)$ , $B(7,\ 2)$ et $C(1,\ 8)$ . Que vaut $x + y$ ?

$6$
$9$
$7$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $9$

Corrigé :

\begin{aligned}PA &= PB \Rightarrow x \\ &= \frac{1 + 7}{2} \\ &= 4\end{aligned}

$P$ est sur la médiatrice de $AB$ , verticale

\begin{aligned}PA &= PC \Rightarrow y \\ &= \frac{2 + 8}{2} \\ &= 5\end{aligned}

et sur la médiatrice de $AC$ , horizontale

x + y = 9

La bonne réponse : « $9$ ». « $6$ » trouve $x = 4$ grâce à $PA = PB$ , puis garde l'ordonnée commune de $A$ et de $B$ . « $7$ » prend le centre de gravité $(3,\ 4)$ , la moyenne des trois sommets : il n'est pas à égale distance des trois. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » s'arrête à la première égalité : $PA = PB$ ne donne qu'une droite, mais $PA = PC$ en donne une seconde, et les deux se coupent en un point.

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Exercice 10

Le parallélogramme $PQRS$ a ses quatre sommets sur les axes : $P(p,\ 0)$ , $Q(0,\ q)$ , $R(r,\ 0)$ et $S(0,\ s)$ , avec $p > 0$ et $q > 0$ . Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$r = -q$
$p + r = q + s$
$p + q = r + s$
$p = q$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $p + r = q + s$

Corrigé :

\begin{aligned}r &= -p \\ \quad s &= -q\end{aligned}

les diagonales $PR$ et $QS$ se coupent en leur milieu, et ce milieu est l'origine

\begin{aligned}p + r &= 0 \\ &= q + s\end{aligned}

La bonne réponse : « $p + r = q + s$ ». « $p = q$ » est vrai pour un carré seulement : un losange de diagonales $6$ et $8$ posé sur les axes a $p = 3$ et $q = 4$ . « $r = -q$ » mélange les deux diagonales : $R$ est opposé à $P$ , pas à $Q$ . « $p + q = r + s$ » est toujours faux : le membre de gauche est positif, celui de droite négatif.

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Exercices

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