Série 2 — Distances et sommets · Repère orthonormé · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du repère avant de continuer.

Une longueur oblique se calcule par Pythagore sur les écarts, jamais en les additionnant. Et quand un sommet manque, cherchez ce qui le porte : une droite, une symétrie, un rapport. La figure n'est pas forcément symétrique, même quand elle en a l'air.

Exercices

Exercice 1

Quelle est la distance entre les points $A(-2,\ 1)$ et $B(4,\ 9)$ ?

$100$
$10$
$14$
$2\sqrt{17}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $10$

Corrigé :

\begin{aligned}\Delta x &= 4 - (-2) \\ &= 6 \\ \quad \Delta y &= 9 - 1 \\ &= 8\end{aligned}

les deux côtés du triangle rectangle

\begin{aligned}AB &= \sqrt{36 + 64} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

La bonne réponse : « $10$ ». « $14$ » additionne les écarts, $6 + 8$ : c'est la longueur d'un chemin en escalier, pas celle du segment. « $2\sqrt{17}$ » calcule l'écart d'abscisses $4 - 2 = 2$ en oubliant le signe de $-2$ : $\sqrt{2^2 + 8^2}$ . « $100$ » oublie la racine carrée.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Une feuille posée sur le repère est pliée le long de la droite $y = 1$ . On perce, à travers les deux épaisseurs, un trou au point $(-2,\ 4)$ , puis on déplie la feuille. En quel point est le second trou ?

$(4,\ 4)$
$(-2,\ -4)$
$(2,\ -2)$
$(-2,\ -2)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $(-2,\ -2)$

Corrigé :

4 - 1 = 3

le trou est à $3$ au-dessus du pli

1 - 3 = -2

son symétrique est à $3$ au-dessous ; l'abscisse ne change pas

La bonne réponse : « $(-2,\ -2)$ ». « $(-2,\ -4)$ » plie le long de l'axe des $x$ au lieu de la droite $y = 1$ . « $(4,\ 4)$ » prend un pli vertical, le long de la droite $x = 1$ . « $(2,\ -2)$ » fait la symétrie par rapport au point $(0,\ 1)$ : les deux coordonnées changent, alors qu'un pli horizontal ne touche pas l'abscisse.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Le rectangle $ABCD$ a ses côtés parallèles aux axes. $A(2,\ -1)$ et $B(-4,\ -1)$ sont deux sommets voisins, et le côté $BC$ mesure le tiers de $AB$ . Lequel des points suivants peut être $C$ ?

$(-4,\ 1)$
$(-6,\ -1)$
$(2,\ 1)$
$(-4,\ 17)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $(-4,\ 1)$

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 2 - (-4) \\ &= 6\end{aligned}

$A$ et $B$ ont la même ordonnée : $AB$ est horizontal

\begin{aligned}BC &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

$BC$ est vertical : $C$ garde l'abscisse de $B$

C = (-4,\ -1 \pm 2)

donc $(-4,\ 1)$ ou $(-4,\ -3)$

La bonne réponse : « $(-4,\ 1)$ ». « $(2,\ 1)$ » est un sommet possible du rectangle, mais voisin de $A$ : c'est $D$ , qui garde l'abscisse de $A$ et non celle de $B$ . « $(-4,\ 17)$ » inverse le rapport : $BC = 3 \cdot AB = 18$ . « $(-6,\ -1)$ » prolonge $AB$ à l'horizontale, alors que $BC$ est perpendiculaire à $AB$ , donc vertical.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Le point $M(1,\ -2)$ est le milieu du segment $AB$ , et $A(-5,\ 3)$ . Quelles sont les coordonnées de $B$ ?

$(6,\ -5)$
$(-11,\ 8)$
$(7,\ -7)$
$\left(-2,\ \frac{1}{2}\right)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(7,\ -7)$

Corrigé :

\begin{aligned}x_B &= 2 \cdot 1 - (-5) \\ &= 7\end{aligned}

$B$ est aussi loin de $M$ que $A$ , de l'autre côté

\begin{aligned}y_B &= 2 \cdot (-2) - 3 \\ &= -7\end{aligned}

La bonne réponse : « $(7,\ -7)$ ». « $\left(-2,\ \frac{1}{2}\right)$ » calcule le milieu de $A$ et de $M$ : $M$ est le milieu, pas une extrémité. « $(6,\ -5)$ » donne le déplacement de $A$ à $M$ , $M - A$ , sans repartir de $M$ . « $(-11,\ 8)$ » inverse les rôles, $2A - M$ : c'est le point dont $A$ serait le milieu.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Les diagonales du carré $ABCD$ sont parallèles aux axes, et deux sommets opposés sont $A(-1,\ 3)$ et $C(7,\ 3)$ . Quelle est l'aire du carré ?

$64$
$8$
$16$
$32$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $32$

Corrigé :

\begin{aligned}AC &= 7 - (-1) \\ &= 8\end{aligned}

une diagonale horizontale : un écart d'abscisses

\begin{aligned}S &= \frac{8 \cdot 8}{2} \\ &= 32\end{aligned}

les diagonales d'un carré sont égales

La bonne réponse : « $32$ ». « $16$ » prend la demi-diagonale, $4$ , pour le côté. « $64$ » prend la diagonale, $8$ , pour le côté. « $8$ » applique la bonne formule aux demi-diagonales : $\frac{4 \cdot 4}{2}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Le point $A(a,\ b)$ est dans le quadrant II. $B$ est le symétrique de $A$ par rapport à l'axe des $x$ , et $C$ le symétrique de $B$ par rapport à l'axe des $y$ . Dans quel quadrant est $C$ ?

Le quadrant IV
Le quadrant I
Le quadrant III
Le quadrant II

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Le quadrant IV

Corrigé :

a < 0,\quad b > 0

le quadrant II

B = (a,\ -b)

l'axe des $x$ change le signe de l'ordonnée

\begin{aligned}C &= (-a,\ -b) \\ \quad -a > 0 \\ \quad -b < 0\end{aligned}

abscisse positive, ordonnée négative

La bonne réponse : « Le quadrant IV ». « Le quadrant III » s'arrête à $B$ , après la première symétrie. « Le quadrant II » croit que deux symétries s'annulent : par rapport aux deux axes l'une après l'autre, elles font la symétrie par rapport à l'origine. « Le quadrant I » ne fait que la seconde symétrie, par rapport à l'axe des $y$ , en partant de $A$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Les points $A(2,\ 3)$ , $B(4,\ 7)$ et $C(k,\ 17)$ sont alignés. Que vaut $k$ ?

$14$
$30$
$9$
$\frac{17}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $9$

Corrigé :

\begin{aligned}m &= \frac{7 - 3}{4 - 2} \\ &= 2\end{aligned}

la pente de $AB$

\begin{aligned}17 - 7 &= 10 \Rightarrow k - 4 \\ &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

de $B$ à $C$ : l'abscisse avance de la moitié de la montée

k = 9

La bonne réponse : « $9$ ». « $\frac{17}{2}$ » prend la droite $y = 2x$ : la bonne pente, mais sans l'ordonnée à l'origine. « $30$ » inverse la pente : $\frac{1}{2}$ au lieu de $2$ . « $14$ » ajoute aux abscisses le même écart qu'aux ordonnées, comme si la pente valait $1$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

La droite $y = -2x + 8$ coupe l'axe des $x$ en $A$ et l'axe des $y$ en $B$ . $O$ est l'origine. Quelle est l'aire du triangle $OAB$ ?

$16$
$32$
$64$
$8$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $16$

Corrigé :

x = 0 \Rightarrow B(0,\ 8)

\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow -2x + 8 \\ &= 0 \Rightarrow A(4,\ 0)\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 8}{2} \\ &= 16\end{aligned}

un triangle rectangle en $O$ : ses deux côtés sur les axes sont base et hauteur

La bonne réponse : « $16$ ». « $32$ » oublie de diviser par $2$ . « $64$ » multiplie au lieu de diviser pour trouver $A$ : $x = 8 \cdot 2 = 16$ . « $8$ » prend la valeur absolue de la pente, $2$ , pour l'abscisse de $A$ : $\frac{2 \cdot 8}{2}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Un cercle de centre $M(-6,\ 8)$ passe par l'origine. Lequel des points suivants est aussi sur ce cercle ?

$(16,\ 8)$
$(2,\ 8)$
$(0,\ 8)$
$(4,\ 8)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $(4,\ 8)$

Corrigé :

\begin{aligned}r &= MO \\ &= \sqrt{(-6)^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

le cercle passe par l'origine : le rayon est la distance du centre à l'origine

4 - (-6) = 10

le point $(4,\ 8)$ a la même ordonnée que le centre : il en est à un rayon, à l'horizontale

La bonne réponse : « $(4,\ 8)$ ». « $(2,\ 8)$ » prend pour rayon l'ordonnée du centre, $8$ . « $(0,\ 8)$ » prend pour rayon la valeur absolue de l'abscisse du centre, $6$ . « $(16,\ 8)$ » trouve le bon rayon, $10$ , mais l'ajoute à $|-6| = 6$ au lieu de l'ajouter à $-6$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Le trapèze $ABCD$ a ses bases $AB$ et $DC$ parallèles à l'axe des $x$ , avec $A(0,\ 0)$ , $B(12,\ 0)$ et $D(2,\ 6)$ . Le côté $BC$ est porté par la droite qui passe par $B$ et par $F(8,\ 4)$ . La figure n'est pas à l'échelle. Quelle est l'aire du trapèze ?

$96$
$60$
$36$
$48$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $48$

Corrigé :

\begin{aligned}m_{BF} &= \frac{4 - 0}{8 - 12} \\ &= -1\end{aligned}

la pente de la droite $BF$

\begin{aligned}y &= -(x - 12) \\ &= 6 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

$C$ est sur cette droite, à la hauteur de $D$

\begin{aligned}C(6,\ 6) \\ \quad DC &= 6 - 2 \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{(12 + 4) \cdot 6}{2} \\ &= 48\end{aligned}

La bonne réponse : « $48$ ». « $60$ » suppose le trapèze symétrique et place $C$ en $(10,\ 6)$ : la base $DC$ devient $8$ au lieu de $4$ . « $96$ » oublie de diviser par $2$ . « $36$ » prend $F$ pour $C$ : une base $DF$ de $6$ et une hauteur de $4$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev