Série 1 — Lire le repère · Repère orthonormé · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du repère avant de continuer.

Avant tout calcul, traduisez chaque mot en coordonnées : « sur l'axe des $y$ », c'est une abscisse nulle ; « parallèle à l'axe des $x$ », une même ordonnée ; « milieu », une moyenne. Et l'abscisse s'écrit toujours la première : la moitié des pièges de cette série inversent les deux.

Exercices

Exercice 1

Lequel des points suivants est le plus éloigné de l'axe des $y$ ?

$(6,\ 0)$
$(-8,\ 1)$
$(-2,\ -9)$
$(5,\ 7)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(-8,\ 1)$

Corrigé :

d(P,\ Oy) = |x_P|

la distance à l'axe des $y$ est la valeur absolue de l'abscisse

\begin{aligned}|-8| &= 8 \\ \quad |-2| &= 2 \\ \quad |6| &= 6 \\ \quad |5| &= 5\end{aligned}

La bonne réponse : « $(-8,\ 1)$ ». L'ordonnée ne compte pas : seul l'écart horizontal à l'axe vertical mesure la distance. « $(-2,\ -9)$ » mesure la distance à l'axe des $x$ , ou à l'origine : ce point est le plus loin de l'origine, à $\sqrt{85}$ , mais il n'est qu'à $2$ de l'axe des $y$ . « $(6,\ 0)$ » prend la plus grande abscisse et oublie que la distance à l'axe est sa valeur absolue : $|-8| = 8 > 6$ . « $(5,\ 7)$ » regarde la somme des coordonnées, $12$ , qui ne mesure aucune distance.

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Exercice 2

Un cercle a pour centre $M(2,\ 3)$ et pour rayon $2$ . Lequel des points suivants est sur le cercle ?

$(3,\ 4)$
$(0,\ 3)$
$(6,\ 3)$
$(4,\ 5)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(0,\ 3)$

Corrigé :

\begin{aligned}(0 - 2)^2 + (3 - 3)^2 &= 4 \\ &= 2^2\end{aligned}

un écart horizontal de $2$ , un écart vertical nul : le point est exactement à un rayon du centre

La bonne réponse : « $(0,\ 3)$ ». « $(4,\ 5)$ » se décale de $2$ sur chaque axe : ce point est à $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ du centre, plus loin que le rayon. « $(3,\ 4)$ » partage le rayon en $1 + 1$ sur les deux axes : ce point n'est qu'à $\sqrt{2}$ du centre. « $(6,\ 3)$ » s'écarte du centre d'un diamètre, $4$ , au lieu d'un rayon.

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Exercice 3

Quel est le milieu du segment d'extrémités $A(-3,\ 9)$ et $B(7,\ 1)$ ?

$(4,\ 10)$
$(5,\ -4)$
$(2,\ 5)$
$(5,\ 2)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(2,\ 5)$

Corrigé :

\begin{aligned}x_M &= \frac{-3 + 7}{2} \\ &= 2\end{aligned}

la moyenne des abscisses

\begin{aligned}y_M &= \frac{9 + 1}{2} \\ &= 5\end{aligned}

la moyenne des ordonnées

La bonne réponse : « $(2,\ 5)$ ». « $(5,\ -4)$ » prend la moitié des écarts, $\frac{7 - (-3)}{2}$ et $\frac{1 - 9}{2}$ : c'est le trajet de $A$ au milieu, pas la position du milieu. « $(4,\ 10)$ » additionne les coordonnées sans diviser par $2$ . « $(5,\ 2)$ » trouve les bonnes valeurs, mais inverse abscisse et ordonnée.

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Exercice 4

Une feuille posée sur le repère est pliée le long de l'axe des $y$ . On perce, à travers les deux épaisseurs, un trou au point $(3,\ -2)$ , puis on déplie la feuille. En quel point est le second trou ?

$(3,\ 2)$
$(2,\ 3)$
$(-3,\ 2)$
$(-3,\ -2)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $(-3,\ -2)$

Corrigé :

(x,\ y) \to (-x,\ y)

le pli le long de l'axe des $y$ est la symétrie par rapport à cet axe : seule l'abscisse change de signe

(3,\ -2) \to (-3,\ -2)

La bonne réponse : « $(-3,\ -2)$ ». « $(3,\ 2)$ » fait la symétrie par rapport à l'axe des $x$ : le signe change sur la mauvaise coordonnée. « $(-3,\ 2)$ » fait la symétrie par rapport à l'origine : les deux signes changent, alors qu'un pli ne retourne la feuille que d'un côté de l'axe. « $(2,\ 3)$ » fait tourner le point d'un quart de tour autour de l'origine : un pliage n'est pas une rotation.

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Exercice 5

Pour tout point $P(x,\ y)$ , on note $P^{*}$ le point $(y,\ x)$ . Le triangle $ABC$ a pour sommets $A(1,\ 5)$ , $B(4,\ 5)$ et $C(1,\ 8)$ . Quels sont les sommets du triangle $A^{*}B^{*}C^{*}$ ?

$(1,\ -5)$ , $(4,\ -5)$ et $(1,\ -8)$
$(-5,\ 1)$ , $(-5,\ 4)$ et $(-8,\ 1)$
$(5,\ 1)$ , $(5,\ 4)$ et $(8,\ 1)$
$(-1,\ 5)$ , $(-4,\ 5)$ et $(-1,\ 8)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(5,\ 1)$ , $(5,\ 4)$ et $(8,\ 1)$

Corrigé :

\begin{aligned}A^{*} &= (5,\ 1) \\ \quad B^{*} &= (5,\ 4) \\ \quad C^{*} &= (8,\ 1)\end{aligned}

on échange les deux coordonnées de chaque sommet

(x,\ y) \to (y,\ x)

c'est la symétrie par rapport à la droite $y = x$ : le triangle, au-dessus de cette droite, passe au-dessous

La bonne réponse : « $(5,\ 1)$ , $(5,\ 4)$ et $(8,\ 1)$ ». « $(-1,\ 5)$ , $(-4,\ 5)$ et $(-1,\ 8)$ » fait la symétrie par rapport à l'axe des $y$ . « $(1,\ -5)$ , $(4,\ -5)$ et $(1,\ -8)$ » fait la symétrie par rapport à l'axe des $x$ . « $(-5,\ 1)$ , $(-5,\ 4)$ et $(-8,\ 1)$ » échange les coordonnées mais change aussi un signe : c'est une rotation d'un quart de tour, pas l'opération définie.

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Exercice 6

Le point $P(8,\ -4)$ se projette en $H$ sur l'axe des $x$ et en $K$ sur l'axe des $y$ . $M$ est le milieu de $HK$ , et $N$ le milieu de $PM$ . Quelles sont les coordonnées de $N$ ?

$(4,\ -2)$
$(3,\ 0)$
$(6,\ -3)$
$(-3,\ 6)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(6,\ -3)$

Corrigé :

\begin{aligned}H &= (8,\ 0) \\ \quad K &= (0,\ -4)\end{aligned}

la projection sur l'axe des $x$ garde l'abscisse, celle sur l'axe des $y$ garde l'ordonnée

\begin{aligned}M &= \left(\frac{8 + 0}{2},\ \frac{0 - 4}{2}\right) \\ &= (4,\ -2)\end{aligned}

\begin{aligned}N &= \left(\frac{8 + 4}{2},\ \frac{-4 - 2}{2}\right) \\ &= (6,\ -3)\end{aligned}

La bonne réponse : « $(6,\ -3)$ ». « $(-3,\ 6)$ » trouve les bonnes valeurs, mais inverse abscisse et ordonnée. « $(4,\ -2)$ » s'arrête au premier milieu : c'est $M$ , pas $N$ . « $(3,\ 0)$ » inverse les projections, $H(-4,\ 0)$ et $K(0,\ 8)$ : $M$ devient $(-2,\ 4)$ , et $N$ est faux.

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Exercice 7

Un carré a ses quatre sommets sur les axes, et l'un d'eux est le point $(-7,\ 0)$ . Quelle est l'aire du carré ?

$\frac{49}{2}$
$49$
$196$
$98$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $98$

Corrigé :

(7,\ 0),\quad (0,\ 7),\quad (0,\ -7)

les diagonales d'un carré sont égales et se coupent en leur milieu, ici l'origine : voilà les trois autres sommets

\begin{aligned}d &= 7 - (-7) \\ &= 14\end{aligned}

chaque diagonale

\begin{aligned}S &= \frac{14 \cdot 14}{2} \\ &= 98\end{aligned}

l'aire d'un carré vaut la moitié du produit de ses diagonales

La bonne réponse : « $98$ ». « $49$ » prend la demi-diagonale, $7$ , pour le côté. « $196$ » prend la diagonale, $14$ , pour le côté. « $\frac{49}{2}$ » applique la bonne formule aux demi-diagonales : $\frac{7 \cdot 7}{2}$ .

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Exercice 8

L'octogone de la figure a pour sommets $(2,\ 0)$ , $(5,\ 0)$ , $(7,\ 2)$ , $(7,\ 5)$ , $(5,\ 7)$ , $(2,\ 7)$ , $(0,\ 5)$ et $(0,\ 2)$ . Quelle est son aire ?

$33$
$37$
$41$
$45$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $41$

Corrigé :

7 \times 7 = 49

le carré qui encadre l'octogone

\frac{2 \cdot 2}{2} = 2

chaque coin retiré est un triangle rectangle de côtés $2$ et $2$

49 - 4 \cdot 2 = 41

La bonne réponse : « $41$ ». « $45$ » compte comme entiers les carreaux que les côtés obliques coupent en deux : chaque coin ne retire plus qu'un carreau au lieu de deux. « $37$ » ne compte que les carreaux entiers et oublie les demi-carreaux le long des côtés obliques. « $33$ » retire à chaque coin un carré de $2 \times 2$ au lieu d'un triangle : il oublie de diviser par $2$ .

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Exercice 9

Le point $P(a - 4,\ 2a + 6)$ est sur l'axe des $y$ . Quelle est l'ordonnée de $P$ ?

$0$
$-7$
$14$
$4$

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Réponse : C $14$

Corrigé :

\begin{aligned}a - 4 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

un point de l'axe des $y$ a une abscisse nulle

2 \cdot 4 + 6 = 14

La bonne réponse : « $14$ ». « $4$ » s'arrête à $a = 4$ : c'est la valeur du paramètre, pas l'ordonnée. « $0$ » confond les axes : sur l'axe des $y$ , c'est l'abscisse qui est nulle, pas l'ordonnée. « $-7$ » annule l'ordonnée au lieu de l'abscisse ( $a = -3$ ), puis donne l'abscisse obtenue.

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Exercice 10

Le rectangle $ABCD$ a ses côtés parallèles aux axes, et ses sommets opposés $A$ et $C$ sont les points $A(-4,\ -2)$ et $C(3,\ 1)$ . Quel est son périmètre ?

$20$
$10$
$4$
$21$

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Réponse : A $20$

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 3 - (-4) \\ &= 7\end{aligned}

la largeur, un écart d'abscisses

\begin{aligned}BC &= 1 - (-2) \\ &= 3\end{aligned}

la hauteur, un écart d'ordonnées

2 \cdot (7 + 3) = 20

La bonne réponse : « $20$ ». « $10$ » additionne la largeur et la hauteur une seule fois : c'est le demi-périmètre. « $21$ » calcule l'aire, $7 \times 3$ . « $4$ » oublie les signes moins : largeur $|3 - 4| = 1$ et hauteur $|1 - 2| = 1$ .

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Exercices

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