On résout ensemble · Repère orthonormé · Psychométriques

Cinq questions, une par famille du chapitre : le rectangle à côtés parallèles aux axes, le trapèze posé sur l'axe, deux points à égale distance de l'origine, le cercle tangent à un axe, et le losange « nécessairement vrai ».

Chacune est d'abord résolue avec vous, un choix à chaque pas, puis rejouée sur d'autres nombres. Sa jumelle vous attend ensuite, à faire seul.

À chaque pas, choisissez ce que vous feriez avant de lire les explications. Un mauvais choix ne coûte rien ici ; à l'examen, il coûte la question.

Le réflexe à installer : avant de chercher l'inconnue, traduisez chaque phrase en coordonnées. « Sur l'axe des $y$ » devient $x = 0$ ; « parallèle à l'axe des $x$ » devient « même ordonnée » ; « tangent à l'axe » devient « le rayon vaut une coordonnée du centre ». Une fois traduite, la question est presque toujours une soustraction ou un Pythagore.

1 — Le rectangle à côtés parallèles aux axes

Activité interactive

Question 1 — Un sommet à trouver

Dans la figure, $ABCD$ est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. $A(2,\ 1)$ , $B(6,\ 1)$ et $AD = 2 \cdot AB$ . Quelles sont les coordonnées de $C$ ?

$(6,\ 9)$

$(6,\ 5)$

$(10,\ 1)$

$(2,\ 9)$

Par quoi commence-t-on ?

On calcule $AB$ : les deux points ont la même ordonnée, donc $AB = 6 - 2 = 4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Un côté parallèle à l'axe des $x$ se mesure par un écart d'abscisses. C'est la seule longueur que l'énoncé donne, tout le reste en découle.

On cherche $C$ directement, par symétrie avec $A$ .

Voir la réponse et le corrigé

Un rectangle n'a pas de centre de symétrie connu ici : on ne sait rien de $C$ tant qu'on ne connaît pas $AD$ .

On applique Pythagore à $AB$ .

Voir la réponse et le corrigé

Inutile : $A$ et $B$ sont à la même hauteur, le segment est horizontal, sa longueur est un simple écart.

\begin{aligned}AB &= 6 - 2 \\ &= 4\end{aligned}

La base du rectangle mesure $4$ .

Comment placer $D$ ?

$AD$ est vertical et vaut $2 \cdot 4 = 8$ : $D$ a l'abscisse de $A$ et l'ordonnée $1 + 8 = 9$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Un côté parallèle à l'axe des $y$ garde l'abscisse ; la figure place $D$ au-dessus de $A$ , donc on ajoute.

$D$ a la même ordonnée que $A$ , et l'abscisse $2 + 8 = 10$ .

Voir la réponse et le corrigé

Ce serait un point sur la droite $AB$ , pas un sommet d'un rectangle dont $AB$ est un côté.

$AD = 2 \cdot AB$ donne $D(4,\ 2)$ , en doublant les coordonnées de $A$ .

Voir la réponse et le corrigé

Doubler une longueur ne double pas des coordonnées : $AD$ est une distance, pas un point.

\begin{aligned}D &= (2,\ 1 + 8) \\ &= (2,\ 9)\end{aligned}

Même abscisse que $A$ , ordonnée augmentée de $8$ .

Et $C$ ?

$C$ prend l'abscisse de $B$ et l'ordonnée de $D$ : $(6,\ 9)$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Dans un rectangle à côtés parallèles aux axes, chaque sommet partage une coordonnée avec chacun de ses deux voisins.

$C$ est le milieu de $BD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Le milieu de $BD$ est le centre du rectangle, pas un sommet.

$C = B + D = (8,\ 10)$ .

Voir la réponse et le corrigé

Additionner deux points n'a pas de sens géométrique ici — ce serait le double du centre.

C = (6,\ 9)

L'abscisse de $B$ , l'ordonnée de $D$ .

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $(6,\ 9)$ ». « $(6,\ 5)$ » a pris $AD = AB$ au lieu de $2 \cdot AB$ . « $(10,\ 1)$ » a posé $D$ sur la droite $AB$ . « $(2,\ 9)$ » est $D$ , pas $C$ .

Faire l'activité sur elev

Votre question jumelle suit : à faire seul, sans revenir en arrière.

2 — L'aire du trapèze posé sur l'axe

Activité interactive

Question 2 — Deux bases, une hauteur

Dans la figure, $ABCD$ est un trapèze dont la base $AB$ est sur l'axe des $x$ : $A(-3,\ 0)$ , $B(5,\ 0)$ , $C(3,\ 4)$ , $D(-1,\ 4)$ . Quelle est l'aire du trapèze ?

$24$

$32$

$48$

$16$

Que lit-on d'abord ?

La hauteur : $C$ et $D$ ont la même ordonnée $4$ , donc $DC \parallel AB$ et la hauteur vaut $4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Deux bases parallèles à l'axe des $x$ sont à deux ordonnées différentes ; l'écart entre elles est la hauteur, sans rien tracer.

La longueur des jambes $AD$ et $BC$ , par Pythagore.

Voir la réponse et le corrigé

Les jambes ne servent pas à l'aire d'un trapèze. Les calculer coûte du temps et ne donne rien.

La hauteur, par Pythagore dans le triangle $ADC$ .

Voir la réponse et le corrigé

La hauteur est déjà écrite : c'est l'ordonnée de $D$ et de $C$ , puisque $AB$ est sur l'axe.

h = 4

L'ordonnée commune de $C$ et $D$ , la base étant sur l'axe des $x$ .

Puis les deux bases :

$AB = 5 - (-3) = 8$ et $DC = 3 - (-1) = 4$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Chaque base est un écart d'abscisses — attention au signe moins qui devient un plus.

$AB = 5 - 3 = 2$ et $DC = 3 - 1 = 2$ .

Voir la réponse et le corrigé

Les abscisses négatives ont perdu leur signe : $-3$ est à trois unités à gauche de l'origine, pas à droite.

$AB = 8$ et $DC = 8$ , puisque le trapèze est symétrique.

Voir la réponse et le corrigé

Il est peut-être symétrique, mais ses bases n'ont pas la même longueur — sinon ce serait un parallélogramme.

\begin{aligned}AB &= 8 \\ \quad DC &= 4\end{aligned}

Les deux écarts d'abscisses.

Et l'aire :

$S = \dfrac{(8 + 4) \cdot 4}{2} = 24$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui : la formule du trapèze, avec les deux bases et la hauteur.

$S = 8 \cdot 4 = 32$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est l'aire du rectangle de base $AB$ et de hauteur $4$ ; le trapèze en occupe moins.

$S = (8 + 4) \cdot 4 = 48$ .

Voir la réponse et le corrigé

Le $2$ a disparu du dénominateur.

\begin{aligned}S &= \dfrac{(8 + 4) \cdot 4}{2} \\ &= 24\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $24$ ». « $32$ » est le rectangle englobant, « $48$ » oublie la division par $2$ , « $16$ » ne compte qu'une base.

Faire l'activité sur elev

Votre question jumelle suit : à faire seul, sans revenir en arrière.

3 — Deux points à égale distance de l'origine

Activité interactive

Question 3 — Une inconnue dans les coordonnées

Dans la figure, $A(0,\ 2a)$ est sur l'axe des $y$ et $B(a,\ 3)$ dans le plan, avec $a > 0$ . On sait que $OA = OB$ . Que vaut $a$ ?

$\sqrt{3}$

$3$

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt{6}$

Quel est le moyen le plus rapide d'écrire $OA$ ?

$OA = 2a$ : un point de l'axe des $y$ est à distance $|y|$ de l'origine.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Pas de Pythagore pour un point d'un axe — la distance est la coordonnée non nulle, ici positive puisque $a > 0$ .

$OA = \sqrt{0^2 + (2a)^2} = 2a$ … après avoir posé Pythagore.

Voir la réponse et le corrigé

Le résultat est juste, mais poser Pythagore pour un point situé SUR un axe est une perte de temps à l'examen.

$OA = 2a^2$ .

Voir la réponse et le corrigé

Le carré n'est pas là : l'ordonnée de $A$ est $2a$ , pas $2a^2$ .

OA = 2a

La coordonnée non nulle d'un point de l'axe.

Et $OB$ ?

$OB^2 = a^2 + 3^2 = a^2 + 9$ , par Pythagore sur les écarts $a$ et $3$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Et on reste au carré : la racine ne servirait qu'à compliquer l'équation.

$OB = a + 3$ .

Voir la réponse et le corrigé

Additionner les écarts donne le chemin en escalier, jamais la longueur du segment.

$OB = 3$ , la hauteur de $B$ .

Voir la réponse et le corrigé

$3$ est la distance de $B$ à l'axe des $x$ , pas à l'origine.

OB^2 = a^2 + 9

Pythagore, gardé au carré.

On écrit $OA = OB$ . Quelle est la voie la plus directe ?

Au carré : $4a^2 = a^2 + 9$ , donc $3a^2 = 9$ et $a^2 = 3$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Élever au carré évite la racine et donne une équation en $a^2$ que l'on résout en deux lignes.

$2a = a + 3$ , donc $a = 3$ .

Voir la réponse et le corrigé

C'est l'égalité des chemins en escalier, pas des distances : $OB$ n'est pas $a + 3$ .

$2a = \sqrt{a^2 + 9}$ , puis on isole… la racine.

Voir la réponse et le corrigé

C'est juste, mais on va élever au carré de toute façon : autant le faire tout de suite.

\begin{aligned}4a^2 &= a^2 + 9\ \Rightarrow\ a^2 \\ &= 3\ \Rightarrow\ a \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

Une seule racine, puisque $a > 0$ .

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $\sqrt{3}$ ». « $3$ » vient de l'égalité des chemins en escalier $2a = a + 3$ . « $\frac{3}{2}$ » et « $\sqrt{6}$ » sont des erreurs de calcul sur $3a^2 = 9$ .

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Votre question jumelle suit : à faire seul, sans revenir en arrière.

4 — Le cercle tangent à un axe

Activité interactive

Question 4 — Tangentes et rayons

Dans la figure, le cercle de centre $C(3,\ 2)$ est tangent à l'axe des $y$ en $D$ . Du point $A(0,\ 8)$ part une seconde tangente, qui touche le cercle en $B$ . Quelle est l'aire du quadrilatère $ABCD$ ?

$18$

$9$

$12$

$24$

Que donne « tangent à l'axe des $y$ » ?

Le rayon vaut l'abscisse du centre, $r = 3$ , et $D(0,\ 2)$ est à la hauteur de $C$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le rayon $CD$ est perpendiculaire à la tangente, donc horizontal : il mesure l'écart entre le centre et l'axe.

Le rayon vaut l'ordonnée du centre, $r = 2$ .

Voir la réponse et le corrigé

L'ordonnée mesure l'écart à l'axe des $x$ ; le cercle est tangent à l'axe des $y$ .

Rien de plus : il faut le rayon dans l'énoncé.

Voir la réponse et le corrigé

L'énoncé le donne, autrement : « tangent à l'axe des $y$ » est une information sur le rayon.

\begin{aligned}r &= 3 \\ \quad D(0,\ 2)\end{aligned}

Le rayon est horizontal, sa longueur est l'abscisse du centre.

Quel est le moyen le plus rapide de calculer l'aire de $ACD$ ?

Triangle rectangle en $D$ : $AD = 8 - 2 = 6$ , $CD = 3$ , aire $\frac{6 \cdot 3}{2} = 9$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. $AD$ est vertical (deux points sur l'axe des $y$ ), $CD$ horizontal : l'angle en $D$ est droit.

On calcule $AC$ par Pythagore, puis Héron.

Voir la réponse et le corrigé

Possible mais long ; l'angle droit en $D$ donne l'aire en une ligne.

$AD = 8$ , puisque $A$ est à la hauteur $8$ .

Voir la réponse et le corrigé

$8$ est la distance de $A$ à l'axe des $x$ ; $D$ est à la hauteur $2$ , l'écart vaut $6$ .

\begin{aligned}S_{ACD} &= \dfrac{6 \cdot 3}{2} \\ &= 9\end{aligned}

Un triangle rectangle dont on lit les deux côtés.

Et le triangle $ABC$ ?

Il est superposable à $ACD$ : $AB = AD$ (deux tangentes issues de $A$ ), $CB = CD$ (rayons), $AC$ commun.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Le quadrilatère est fait de deux triangles rectangles identiques, accolés le long de $AC$ .

Il faut les coordonnées de $B$ pour le calculer.

Voir la réponse et le corrigé

On peut les calculer, mais les deux tangentes issues de $A$ ont la même longueur : $ABC$ est le miroir de $ACD$ .

Son aire est la moitié de celle de $ACD$ .

Voir la réponse et le corrigé

Rien ne le dit ; les deux triangles ont les mêmes trois côtés.

\begin{aligned}S_{ABCD} &= 2 \cdot 9 \\ &= 18\end{aligned}

Deux triangles rectangles identiques.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $18$ ». « $9$ » n'a compté qu'un triangle. « $12$ » a pris $AD = 8$ avec $r = 3$ puis divisé par $2$ . « $24$ » a pris $AD = 8$ et deux triangles.

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Votre question jumelle suit : à faire seul, sans revenir en arrière.

5 — Ce qui est nécessairement vrai

Activité interactive

Question 5 — Un losange sur les axes

Dans la figure, $PQRS$ est un losange dont les quatre sommets sont sur les axes : $P(p,\ 0)$ , $Q(0,\ q)$ , $R(r,\ 0)$ et $S(0,\ s)$ . Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$r = -p$

$p = q$

$p \cdot r > 0$

$|q| = |p|$

Quelle propriété du losange utilise-t-on ?

Ses diagonales se coupent en leur milieu — et ici, les diagonales sont $PR$ et $QS$ , portées par les axes.

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Deux sommets opposés sont sur le même axe : chaque diagonale EST un axe, et elles se croisent en $O$ .

Ses quatre côtés sont égaux, donc $OP = OQ$ .

Voir la réponse et le corrigé

Les côtés sont égaux, pas les demi-diagonales : $OP$ et $OQ$ sont des demi-diagonales, en général différentes.

Ses diagonales sont égales.

Voir la réponse et le corrigé

C'est le rectangle qui a des diagonales égales ; un losange en a de perpendiculaires, et de longueurs quelconques.

\begin{aligned}O &= \text{milieu de } PR \\ &= \text{milieu de } QS\end{aligned}

Les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu, et ce milieu est l'origine.

Qu'en déduit-on pour $p$ et $r$ ?

$O$ est le milieu de $PR$ : $\frac{p + r}{2} = 0$ , donc $r = -p$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Même chose pour $q$ et $s$ : $s = -q$ . Ce sont les seules égalités que les données imposent.

$p = r$ , puisque $P$ et $R$ sont symétriques.

Voir la réponse et le corrigé

Symétriques par rapport à $O$ : l'un est à droite, l'autre à gauche, leurs abscisses sont opposées.

$p \cdot r > 0$ .

Voir la réponse et le corrigé

Deux nombres opposés ont un produit négatif, jamais positif.

\begin{aligned}r &= -p \\ \quad s &= -q\end{aligned}

Les deux extrémités d'une diagonale sont opposées.

Et $|p| = |q|$ ?

Pas nécessairement : un losange de diagonales $8$ et $4$ a $p = 4$ et $q = 2$ .

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Un seul contre-exemple suffit : l'affirmation n'est pas imposée par les données.

Oui, puisque les quatre côtés sont égaux.

Voir la réponse et le corrigé

Les côtés valent tous $\sqrt{p^2 + q^2}$ , quelles que soient $p$ et $q$ : cela n'impose rien entre elles.

Oui, la figure le montre.

Voir la réponse et le corrigé

La figure n'est pas à l'échelle. Ce que l'on voit ne prouve rien ; seules les données comptent.

\begin{aligned}p &= 4 \\ \ q &= 2 \text{ convient}\end{aligned}

Un contre-exemple élimine l'option.

Voir la réponse et le corrigé

La bonne réponse : « $r = -p$ ». « $p = q$ » et « $|q| = |p|$ » décrivent un carré, cas particulier que rien n'impose. « $p \cdot r > 0$ » est faux pour deux nombres opposés.

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Activité interactive

Rejouez la question 5

Le point $P(x,\ y)$ est à la même distance de $A(0,\ 4)$ et de $B(0,\ -4)$ . Forcé, ou seulement possible ?

y = 0

Voir la réponse et le corrigé

Forcé : $P$ est sur la médiatrice de $AB$ , qui est l'axe des $x$ .

x = 0

Voir la réponse et le corrigé

Pas forcé : $P(3,\ 0)$ est à $5$ de $A$ et de $B$ .

PA = 4

Voir la réponse et le corrigé

Pas forcé : seulement quand $P$ est l'origine.

PA \geq 4

Voir la réponse et le corrigé

Forcé : $PA^2 = x^2 + 16 \geq 16$ .

P \text{ dans le quadrant I}

Voir la réponse et le corrigé

Pas forcé, et même impossible : $P$ est sur l'axe des $x$ , dans aucun quadrant.

Faire l'activité sur elev

Votre question jumelle suit : à faire seul, sans revenir en arrière.

Cinq traductions, cinq questions. Même ordonnée pour un côté horizontal ; hauteur lue sur une ordonnée ; distance à l'origine gardée au carré ; rayon égal à une coordonnée du centre ; diagonales d'un losange coupées en leur milieu. À l'examen, la traduction prend cinq secondes et la question devient un calcul de deux lignes.

Exercices

Exercice 1

Dans la figure, $ABCD$ est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes. $A(-1,\ 2)$ , $B(2,\ 2)$ et $AD = 2 \cdot AB$ . Quelles sont les coordonnées de $C$ ?

$(2,\ 8)$
$(2,\ 5)$
$(5,\ 2)$
$(-1,\ 8)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $(2,\ 8)$

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 2 - (-1) \\ &= 3\end{aligned}

un côté horizontal : écart d'abscisses

AD = 6\ \Rightarrow\ D(-1,\ 8)

vertical, vers le haut comme sur la figure

C = (2,\ 8)

l'abscisse de $B$ , l'ordonnée de $D$

La bonne réponse : « $(2,\ 8)$ ». « $(2,\ 5)$ » a pris $AD = AB$ . « $(5,\ 2)$ » a posé $D$ sur la droite $AB$ . « $(-1,\ 8)$ » est $D$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Dans la figure, $ABCD$ est un trapèze dont la base $AB$ est sur l'axe des $x$ : $A(-4,\ 0)$ , $B(6,\ 0)$ , $C(4,\ 3)$ , $D(0,\ 3)$ . Quelle est l'aire du trapèze ?

$30$
$21$
$15$
$42$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $21$

Corrigé :

h = 3

l'ordonnée commune de $C$ et $D$

\begin{aligned}AB &= 6 - (-4) \\ &= 10 \\ \quad DC &= 4 - 0 \\ &= 4\end{aligned}

les deux bases, écarts d'abscisses

\begin{aligned}S &= \dfrac{(10 + 4) \cdot 3}{2} \\ &= 21\end{aligned}

La bonne réponse : « $21$ ». « $30$ » est le rectangle de base $AB$ . « $42$ » oublie la division par $2$ . « $15$ » ne compte que la grande base.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

$A(0,\ 3a)$ est sur l'axe des $y$ et $B(2a,\ 5)$ dans le plan, avec $a > 0$ . On sait que $OA = OB$ . Que vaut $a$ ?

$\sqrt{5}$
$\sqrt{10}$
$5$
$\dfrac{5}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\sqrt{5}$

Corrigé :

OA = 3a

un point de l'axe des $y$

\begin{aligned}OB^2 &= (2a)^2 + 5^2 \\ &= 4a^2 + 25\end{aligned}

Pythagore sur les écarts

\begin{aligned}9a^2 &= 4a^2 + 25\ \Rightarrow\ 5a^2 \\ &= 25\ \Rightarrow\ a \\ &= \sqrt{5}\end{aligned}

l'égalité au carré, une seule racine positive

La bonne réponse : « $\sqrt{5}$ ». « $5$ » vient de $3a = 2a + 5$ , l'égalité des chemins en escalier. « $\sqrt{10}$ » et « $\frac{5}{3}$ » sont des erreurs sur $5a^2 = 25$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Dans la figure, le cercle de centre $C(4,\ 3)$ est tangent à l'axe des $y$ en $D$ . Du point $A(0,\ 9)$ part une seconde tangente, qui touche le cercle en $B$ . Quelle est l'aire du quadrilatère $ABCD$ ?

$18$
$36$
$12$
$24$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $24$

Corrigé :

\begin{aligned}r &= 4 \\ \quad D(0,\ 3)\end{aligned}

tangent à l'axe des $y$ : le rayon vaut l'abscisse du centre

\begin{aligned}AD &= 9 - 3 \\ &= 6 \\ \quad S_{ACD} &= \dfrac{6 \cdot 4}{2} \\ &= 12\end{aligned}

triangle rectangle en $D$

\begin{aligned}S_{ABCD} &= 2 \cdot 12 \\ &= 24\end{aligned}

$ABC$ est superposable à $ACD$ : deux tangentes issues de $A$ , deux rayons, $AC$ commun

La bonne réponse : « $24$ ». « $12$ » n'a compté qu'un triangle. « $36$ » a pris $AD = 9$ . « $18$ » a pris $AD = 9$ avec un seul triangle.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Un rectangle a ses quatre sommets sur les axes : $P(p,\ 0)$ , $Q(0,\ q)$ , $R(r,\ 0)$ et $S(0,\ s)$ . Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

Son aire vaut $p \cdot q$
Ses côtés sont parallèles aux axes
$p = q$
C'est un carré

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D C'est un carré

Corrigé :

PR \perp QS

les diagonales sont portées par les axes, donc perpendiculaires

PR = QS

les diagonales d'un rectangle sont égales

\text{diagonales égales et perpendiculaires} \Rightarrow \text{carré}

un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires est un carré

La bonne réponse : « C'est un carré ». « Ses côtés sont parallèles aux axes » : ce sont ses diagonales qui le sont, ses côtés sont obliques. « $p = q$ » : $p = 3$ , $q = -3$ convient aussi — seules les valeurs absolues sont égales. « Son aire vaut $p \cdot q$ » : l'aire vaut $\frac{PR \cdot QS}{2} = 2|p| \cdot |q|$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

$ABCD$ est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes, avec $A(-3,\ 1)$ et $C(5,\ -2)$ opposés. Quelle est son aire ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 5 - (-3) \\ &= 8\end{aligned}

un écart d'abscisses

\begin{aligned}BC &= 1 - (-2) \\ &= 3\end{aligned}

un écart d'ordonnées

\begin{aligned}S &= 8 \cdot 3 \\ &= 24\end{aligned}

Deux sommets opposés suffisent : les côtés sont les écarts de leurs coordonnées. Le piège : $5 - 3 = 2$ , où l'abscisse $-3$ a perdu son signe.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Le trapèze de sommets $A(-2,\ 0)$ , $B(6,\ 0)$ , $C(4,\ 3)$ et $D(0,\ 3)$ a une aire de $18$ .

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 8 \\ \quad DC &= 4 \\ \quad h &= 3\end{aligned}

deux écarts d'abscisses, un écart d'ordonnées

\begin{aligned}S &= \dfrac{(8 + 4) \cdot 3}{2} \\ &= 18\end{aligned}

Vrai. Le piège : $AB = 6 - 2 = 4$ , qui donnerait $12$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

$A(0,\ 5)$ et $B(3,\ k)$ , avec $k > 0$ , sont à la même distance de l'origine. Complétez.

La distance OA vaut ____, et k vaut ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : La distance OA vaut 5, et k vaut 4.

Corrigé :

OA = 5

un point de l'axe des y

\begin{aligned}3^2 + k^2 &= 25 \ \Rightarrow\ k^2 \\ &= 16\end{aligned}

Pythagore sur les écarts, gardé au carré

k = 4

k > 0

Le piège : $3 + k = 5$ , le chemin en escalier, qui donnerait $k = 2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Rangez ces points du plus proche de l'origine au plus éloigné.

$(-4,\ 4)$
$(0,\ -6)$
$(1,\ -2)$
$(3,\ 3)$
$(5,\ 0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $(1,\ -2)$ · $(3,\ 3)$ · $(5,\ 0)$ · $(-4,\ 4)$ · $(0,\ -6)$

Corrigé :

\begin{aligned}1 + 4 &= 5 \\ \quad 9 + 9 &= 18 \\ \quad 25\end{aligned}

les carrés des distances

\begin{aligned}16 + 16 &= 32 \\ \quad 36\end{aligned}

On compare $x^2 + y^2$ , sans racine. Le piège : $(-4,\ 4)$ « à $4$ » de l'origine, ou $(3,\ 3)$ « à $6$ » en additionnant.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Associez chaque cercle à son rayon.

centre $(3,\ -6)$ , tangent à l'axe des $x$
centre $(-2,\ 6)$ , tangent à l'axe des $y$
centre $(-3,\ -4)$ , passe par l'origine
centre $(4,\ 4)$ , tangent aux deux axes

$r = 2$
$r = 4$
$r = 5$
$r = 6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : centre $(3,\ -6)$ , tangent à l'axe des $x$ — $r = 6$ · centre $(-2,\ 6)$ , tangent à l'axe des $y$ — $r = 2$ · centre $(-3,\ -4)$ , passe par l'origine — $r = 5$ · centre $(4,\ 4)$ , tangent aux deux axes — $r = 4$

Corrigé :

\text{tangent à } Ox : r = |b|

l'ordonnée du centre

\text{tangent à } Oy : r = |a|

l'abscisse du centre

\begin{aligned}\text{passe par } O : r^2 &= 9 + 16 \\ &= 25\end{aligned}

la distance du centre à l'origine

Tangent à un axe : la coordonnée qui mesure l'écart à cet axe. Le piège : prendre $6$ pour le cercle tangent à l'axe des $y$ de centre $(-2,\ 6)$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Le losange $PQRS$ a ses sommets sur les axes, avec $P(6,\ 0)$ et $Q(0,\ 2)$ . Un élève calcule son aire. Une ligne est fausse : trouvez-la.

R(-6,\ 0),\quad S(0,\ -2)

\begin{aligned}PR &= 12 \\ \quad QS &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}S &= 12 \cdot 4 \\ &= 48\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $S = 12 \cdot 4 = 48$ → $S = \dfrac{12 \cdot 4}{2} = 24$

Corrigé :

R(-6,\ 0),\quad S(0,\ -2)

O est le milieu des deux diagonales

\begin{aligned}S &= \dfrac{12 \cdot 4}{2} \\ &= 24\end{aligned}

l'aire d'un losange : le demi-produit des diagonales

La troisième ligne oublie la moitié : $48$ est l'aire du rectangle qui encadre le losange.

Vérifier la réponse sur elev

1 — Le rectangle à côtés parallèles aux axes

2 — L'aire du trapèze posé sur l'axe

3 — Deux points à égale distance de l'origine

4 — Le cercle tangent à un axe

5 — Ce qui est nécessairement vrai

Exercices

La suite se pratique sur elev