Le point A(x,\ y) vérifie x \cdot y 0. Dans quel quadrant peut-il se trouver ?

Dans le quadrant I ou le quadrant III

Le réflexe repère · Repère orthonormé · Psychométriques

Une question de repère se reconnaît d'un coup d'œil : deux axes, des points nommés, des coordonnées entre parenthèses.

L'examen en pose une presque à chaque session — trente questions relevées sur trente-quatre sessions.

Elle habille souvent un autre chapitre : l'aire d'un trapèze, un point d'un cercle, le sommet manquant d'un isocèle. Et sa figure n'est « pas forcément à l'échelle ».

Ce chapitre tient en huit gestes. Les deux premiers lisent le repère, les trois suivants en tirent des longueurs, les deux d'après des aires et des cercles, le dernier ce que l'examen appelle « nécessairement vrai ».

Geste 1 — Lire un point, et les points des axes

Un point s'écrit $(x,\ y)$ : l'abscisse d'abord, lue sur l'axe horizontal, l'ordonnée ensuite, lue sur l'axe vertical. L'origine $O$ est $(0,\ 0)$ .

Un point est sur l'axe des $x$ quand son ordonnée est nulle, sur l'axe des $y$ quand son abscisse est nulle.

C'est la lecture la plus utile du chapitre : « $A$ est sur l'axe des $y$ » se traduit par $A = (0,\ ?)$ . Une seule inconnue reste.

B = (0,\ y)

un point de l'axe des $y$ : abscisse nulle

C = (x,\ 0)

un point de l'axe des $x$ : ordonnée nulle

|x| = \text{distance à l'axe des } y

l'abscisse mesure l'écart horizontal à l'axe vertical

|y| = \text{distance à l'axe des } x

l'ordonnée mesure l'écart vertical à l'axe horizontal

Le point $P(-4,\ 7)$ : à quelle distance est-il de l'axe des $y$ ? De l'axe des $x$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$4$ de l'axe des $y$ , $7$ de l'axe des $x$ . La distance à l'axe vertical est la valeur absolue de l'abscisse ; le signe dit seulement de quel côté. Beaucoup répondent $7$ à la première question parce que « $y$ » est écrit dans la phrase : lire la question deux fois.

Geste 2 — Les quatre quadrants et les signes

Les axes découpent le plan en quatre quadrants, numérotés I, II, III, IV en tournant depuis le coin en haut à droite, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Dans le I, $x > 0$ et $y > 0$ ; dans le II, $x < 0$ et $y > 0$ ; dans le III, les deux sont négatifs ; dans le IV, $x > 0$ et $y < 0$ .

L'examen ne demande jamais le numéro d'un quadrant pour lui-même. Il demande où peut être un point dont on ne connaît que le signe d'un produit ou d'une somme.

x \cdot y > 0

même signe : quadrant I ou III

x \cdot y < 0

signes contraires : quadrant II ou IV

x + y = 0

$y = -x$ : la diagonale qui traverse II et IV

x = y

la diagonale qui traverse I et III, et sur laquelle l'échange $(x,\ y) \to (y,\ x)$ ne bouge rien

Un point sur un axe n'est dans aucun quadrant. Si l'énoncé dit $x \cdot y > 0$ , aucune coordonnée n'est nulle : le point n'est sur aucun axe.

Avec $x \cdot y \geq 0$ seulement, il peut être sur un axe, et une option « sur un axe » devient possible. Les quadrants II et IV restent exclus dans les deux cas : lisez le signe de l'inégalité.

Le point $A(x,\ y)$ vérifie $x \cdot y < 0$ et $x > y$ . Dans quel quadrant est-il ?

Voir la réponse et le corrigé

Le IV. Le produit négatif impose des signes contraires ; $x > y$ impose que le positif soit $x$ . Donc $x > 0$ , $y < 0$ : en bas à droite.

Geste 3 — Parallèle à un axe : une coordonnée commune, une longueur par soustraction

Un segment parallèle à l'axe des $x$ a ses deux extrémités à la même ordonnée ; parallèle à l'axe des $y$ , à la même abscisse.

Sa longueur est l'écart entre les deux coordonnées qui changent : $|x_B - x_A|$ ou $|y_B - y_A|$ .

Un rectangle « à côtés parallèles aux axes » ne demande donc que deux sommets opposés : les deux autres empruntent une coordonnée à chacun.

AB \parallel Ox\ \Rightarrow\ y_A = y_B

et $AB = |x_B - x_A|$

AB \parallel Oy\ \Rightarrow\ x_A = x_B

et $AB = |y_B - y_A|$

\begin{aligned}B &= (x_C,\ y_A) \\ \quad D &= (x_A,\ y_C)\end{aligned}

les deux sommets manquants d'un rectangle $ABCD$ à côtés parallèles aux axes

Un rectangle, un sommet, un rapport

Le rectangle $ABCD$ a ses côtés parallèles aux axes, $A(2,\ 1)$ , $B(6,\ 1)$ , et $AD = 2 \cdot AB$ . Où est $C$ ?

\begin{aligned}AB &= 6 - 2 \\ &= 4\end{aligned}

$A$ et $B$ ont la même ordonnée : la longueur est un écart d'abscisses

\begin{aligned}AD &= 2 \cdot 4 \\ &= 8\end{aligned}

le rapport de l'énoncé

\begin{aligned}D &= (2,\ 1 + 8) \\ &= (2,\ 9)\end{aligned}

$AD$ est vertical : même abscisse que $A$ , ordonnée augmentée de $8$ (on prend $D$ au-dessus ; en dessous, on trouverait $C(6,\ -7)$ )

C = (6,\ 9)

l'abscisse de $B$ , l'ordonnée de $D$

Une figure « pas à l'échelle » ne dit pas de quel côté.

D = (2,\ 9) \text{ toujours}

D = (2,\ 1 \pm 8)

sans figure, $D$ peut être au-dessus ou au-dessous de $A$ ; c'est la figure — ou une option unique — qui tranche

AB = 6 + 2

AB = |6 - 2|

une longueur est un écart, jamais une somme de coordonnées

$A(-2,\ 3)$ et $B(5,\ 3)$ . Le segment $AB$ est-il parallèle à un axe ? Combien mesure-t-il ?

Voir la réponse et le corrigé

Parallèle à l'axe des $x$ , et long de $7$ . Les deux points ont la même ordonnée $3$ : le segment est horizontal, et $5 - (-2) = 7$ . Écrire $5 - 2 = 3$ oublie que $-2$ est à gauche de l'origine.

Geste 4 — Milieu et symétrie

Le milieu d'un segment : la moyenne des coordonnées des extrémités, une coordonnée à la fois.

Une symétrie par rapport à un axe ne change qu'un signe. Posez chaque point : la formule s'écrit ensuite.

M = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2},\ \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)

le milieu : une moyenne par coordonnée

B = (2x_M - x_A,\ 2y_M - y_A)

l'extrémité manquante quand on connaît le milieu

(x,\ y) \to (-x,\ y)

symétrie par rapport à l'axe des $y$

(x,\ y) \to (x,\ -y)

symétrie par rapport à l'axe des $x$

Un triangle isocèle $AB = AC$ : la hauteur issue de $A$ est un axe de symétrie, $C$ est le symétrique de $B$ par rapport à la droite $x = 2$ .

$E(0,\ 3)$ est le milieu du segment $BD$ , avec $B(-2,\ 5)$ . Où est $D$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$D(2,\ 1)$ . Chaque coordonnée de $D$ vaut deux fois celle de $E$ moins celle de $B$ : $2 \cdot 0 - (-2) = 2$ et $2 \cdot 3 - 5 = 1$ . On vérifie que $E$ est bien au milieu : $\frac{-2 + 2}{2} = 0$ et $\frac{5 + 1}{2} = 3$ .

Geste 5 — La distance : Pythagore sur les écarts

La distance entre deux points est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont les écarts de coordonnées.

L'examen n'écrit pas cette formule dans son formulaire : il compte sur le triangle. Tracez-le — un côté horizontal, un côté vertical — et Pythagore fait le reste.

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

La distance à l'origine se lit directement : $OA^2 = x_A^2 + y_A^2$ .

Deux points à la même distance de l'origine

$A(0,\ 2a)$ est sur l'axe des $y$ , $B(a,\ 3)$ dans le plan, avec $a > 0$ , et $OA = OB$ . Que vaut $a$ ?

OA = 2a

un point de l'axe : la distance à l'origine est la coordonnée non nulle

\begin{aligned}OB^2 &= a^2 + 3^2 \\ &= a^2 + 9\end{aligned}

Pythagore sur les écarts $a$ et $3$

\begin{aligned}4a^2 &= a^2 + 9\ \Rightarrow\ 3a^2 \\ &= 9\ \Rightarrow\ a^2 \\ &= 3\end{aligned}

on élève l'égalité $OA = OB$ au carré, ce qui évite la racine

a = \sqrt{3}

$a > 0$ : une seule racine

Les deux réflexes qui trahissent.

AB = |x_B - x_A| + |y_B - y_A|

AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2

additionner les écarts donne le chemin « en escalier », jamais la longueur du segment — sauf si l'un des écarts est nul

AB \approx 17\ \text{(à vue)}

\begin{aligned}AB^2 &= 296 < 400 \\ &= 20^2\end{aligned}

pour comparer une longueur à un nombre, comparez les carrés : pas de racine à extraire

Trois segments : $a$ de $(-4,\ 3)$ à $(0,\ 0)$ , $b$ de $(2,\ 1)$ à $(5,\ 5)$ , $c$ de $(2,\ -1)$ à $(6,\ -3)$ . Lesquels ont la même longueur ?

Voir la réponse et le corrigé

$a = b \neq c$ . Les écarts de $a$ sont $4$ et $3$ , ceux de $b$ sont $3$ et $4$ : deux fois $5$ . Ceux de $c$ sont $4$ et $2$ , soit $\sqrt{20}$ , qui n'est pas $5$ . Une figure « pas à l'échelle » ne permet jamais de comparer à l'œil.

Geste 6 — Les aires posées dans le repère

Une figure posée dans le repère livre ses longueurs par soustraction : une base sur l'axe des $x$ se mesure entre deux abscisses, une hauteur se lit sur une ordonnée.

Pour un trapèze aux bases horizontales, les deux bases sont des écarts d'abscisses, et la hauteur un écart d'ordonnées.

S = \dfrac{\text{base} \cdot \text{hauteur}}{2}

triangle : la base est un écart de coordonnées, la hauteur l'autre

S = \dfrac{(B + b) \cdot h}{2}

trapèze aux bases parallèles à un axe

S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}

carré ou losange dont les sommets sont sur les axes : les diagonales sont sur les axes

S = S_{\text{rectangle}} - \sum S_{\text{coins}}

polygone quelconque : le rectangle qui l'encadre, moins les triangles retirés

Pour un polygone quelconque, encadrez-le dans un rectangle et retirez les triangles des coins.

Un carré a ses quatre sommets sur les axes, dont $(0,\ 6)$ . Quelle est son aire ?

Voir la réponse et le corrigé

$72$ . Les sommets sont $(\pm 6,\ 0)$ et $(0,\ \pm 6)$ : les diagonales mesurent $12$ chacune et se coupent en $O$ , donc $S = \frac{12 \cdot 12}{2} = 72$ . Le côté vaut $6\sqrt{2}$ , et $(6\sqrt{2})^2 = 72$ aussi — mais passer par les diagonales évite la racine.

Geste 7 — Le cercle dans le repère

Un cercle de centre $M(a,\ b)$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points à distance $r$ de $M$ . Un point est sur le cercle si Pythagore sur ses écarts au centre donne $r^2$ : c'est le geste 5.

Trois lectures reviennent sans cesse. Tangent à l'axe des $y$ : $|a| = r$ . Tangent à l'axe des $x$ : $|b| = r$ . Passe par l'origine : $r^2 = a^2 + b^2$ .

Et si le centre est l'origine, les deux bouts d'un diamètre sont opposés : $(a,\ b)$ et $(-a,\ -b)$ .

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

le point $(x,\ y)$ est sur le cercle de centre $(a,\ b)$ et de rayon $r$

\text{tangent à } Oy\ \Leftrightarrow\ |a| = r

le rayon qui va au point de contact est horizontal

\text{passe par } O\ \Leftrightarrow\ a^2 + b^2 = r^2

la distance du centre à l'origine est un rayon

\text{centre } O,\ E(a,\ b)\ \Rightarrow\ F(-a,\ -b)

l'autre bout du diamètre $EF$

Tangentes et rayons : un quadrilatère à découper

Le cercle de centre $C(3,\ 2)$ est tangent à l'axe des $y$ en $D$ . Du point $A(0,\ 8)$ part une seconde tangente, qui touche le cercle en $B$ . Quelle est l'aire du quadrilatère $ABCD$ ?

\begin{aligned}r &= CD \\ &= 3 \\ \quad D(0,\ 2)\end{aligned}

tangent à l'axe des $y$ : le rayon vaut l'abscisse du centre, et $D$ est à la hauteur du centre

\begin{aligned}AD &= 8 - 2 \\ &= 6\end{aligned}

$A$ et $D$ sont sur l'axe des $y$

\begin{aligned}S_{ACD} &= \dfrac{6 \cdot 3}{2} \\ &= 9\end{aligned}

le rayon $CD$ est perpendiculaire à la tangente : triangle rectangle en $D$

\begin{aligned}AB &= AD \\ \ CB &= CD\ \Rightarrow\ S_{ABC} \\ &= S_{ACD} \\ &= 9\end{aligned}

deux tangentes issues d'un même point ont la même longueur : les deux triangles sont superposables

S_{ABCD} = 18

la somme des deux moitiés

Le point $(5,\ 1)$ est-il sur le cercle de centre $(2,\ -3)$ et de rayon $5$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Oui. Les écarts valent $3$ et $4$ , et $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$ . Le test est le même pour chaque option d'une question « lequel de ces points est sur le cercle » : quatre Pythagore, un seul donne $r^2$ .

Geste 8 — Ce qui est « nécessairement vrai »

La dernière famille ne demande aucun calcul : seulement séparer ce que les données imposent de ce que la figure suggère.

Un losange dont les sommets sont sur les axes a pour diagonales les axes. Elles se coupent en leur milieu, $O$ : deux sommets d'un même axe sont opposés, $(p,\ 0)$ et $(-p,\ 0)$ . Rien n'impose que les deux diagonales soient égales.

Activité interactive

Forcé, ou seulement possible ?

$PQRS$ est un losange aux sommets sur les axes : $P(p,\ 0)$ , $Q(0,\ q)$ , $R(r,\ 0)$ , $S(0,\ s)$ .

r = -p

Voir la réponse et le corrigé

Forcé : $O$ est le milieu de la diagonale $PR$ .

|p| = |q|

Voir la réponse et le corrigé

Pas forcé : un losange de diagonales $8$ et $4$ donne $p = 4$ et $q = 2$ .

s = -q

Voir la réponse et le corrigé

Forcé : $O$ est aussi le milieu de la diagonale $QS$ .

p \cdot q > 0

Voir la réponse et le corrigé

Pas forcé : $P$ peut être à gauche, en $(-4,\ 0)$ , et $Q$ en haut.

PQ = QR

Voir la réponse et le corrigé

Forcé : les quatre côtés d'un losange sont égaux.

Faire l'activité sur elev

Deux autres lectures. Un point équidistant de $(0,\ a)$ et de $(0,\ -a)$ est sur l'axe des $x$ : $y = 0$ , et rien de plus.

L'échange $(x,\ y) \to (y,\ x)$ est la symétrie par rapport à la diagonale $y = x$ : une figure entièrement au-dessus de cette diagonale passe entièrement au-dessous.

\begin{aligned}\text{losange sur les axes}\ \Rightarrow\ r &= -p \\ \ s &= -q\end{aligned}

les diagonales d'un losange se coupent en leur milieu, et ce milieu est $O$

\text{rectangle sur les axes}\ \Rightarrow\ \text{carré}

ses diagonales sont les axes, égales et perpendiculaires : c'est un carré

\begin{aligned}PA &= PB \\ \ A(0,\ a) \\ \ B(0,\ -a)\ \Rightarrow\ y_P &= 0\end{aligned}

les points équidistants de deux points sont sur la médiatrice, ici l'axe des $x$

(x,\ y) \to (y,\ x)

la symétrie par rapport à la droite $y = x$ ; seuls les points de cette droite restent en place

Testez chaque option contre un contre-exemple. « $|p| = |q|$ nécessairement » : un losange de diagonales $8$ et $4$ posé sur les axes a $p = 4$ , $q = 2$ — l'option tombe. Une affirmation est « nécessairement vraie » quand aucun dessin conforme aux données ne la contredit ; il suffit d'un dessin pour éliminer les autres.

Trois points $A(0,\ 4)$ , $B(0,\ -4)$ et $C(6,\ 0)$ . Un point $P(x,\ y)$ est à la même distance des trois. Que peut-on affirmer ?

Voir la réponse et le corrigé

$y = 0$ , et rien d'autre sans calcul. $PA = PB$ place $P$ sur la médiatrice de $AB$ , qui est l'axe des $x$ . L'abscisse, elle, se calcule : $x^2 + 16 = (x - 6)^2$ donne $x = \frac{5}{3}$ — ni $0$ , ni $3$ , ni $6$ . Les options qui proposent une valeur « ronde » de $x$ parient sur un dessin, pas sur les données.

Chaque geste a ses exercices, à la fin de son étape. L'unité suivante déroule cinq questions de l'examen pas à pas, puis cinq séries couvrent toutes les formes relevées.

Exercices

Exercice 1

Le point $A$ est sur l'axe des $x$ et le point $B$ sur l'axe des $y$ . Les coordonnées de chacun vérifient $4x + 3y = 12$ . Quelles sont les coordonnées de $A$ et de $B$ ?

$A(4,\ 0)$ et $B(0,\ 3)$
$A(12,\ 0)$ et $B(0,\ 12)$
$A(3,\ 0)$ et $B(0,\ 4)$
$A(0,\ 3)$ et $B(4,\ 0)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $A(3,\ 0)$ et $B(0,\ 4)$

Corrigé :

\begin{aligned}A &= (x,\ 0)\ \Rightarrow\ 4x \\ &= 12\ \Rightarrow\ x \\ &= 3\end{aligned}

sur l'axe des $x$ , l'ordonnée est nulle

\begin{aligned}B &= (0,\ y)\ \Rightarrow\ 3y \\ &= 12\ \Rightarrow\ y \\ &= 4\end{aligned}

sur l'axe des $y$ , l'abscisse est nulle

La bonne réponse : « $A(3,\ 0)$ et $B(0,\ 4)$ ». « $A(0,\ 3)$ et $B(4,\ 0)$ » inverse les rôles des axes, « $A(4,\ 0)$ et $B(0,\ 3)$ » inverse les coefficients, et « $A(12,\ 0)$ et $B(0,\ 12)$ » oublie de diviser.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Le point $A(x,\ y)$ vérifie $x \cdot y < 0$ et $x + y > 0$ . Dans quel quadrant peut-il se trouver ?

Dans le quadrant I ou le quadrant III
Dans le quadrant IV seulement
Dans le quadrant II seulement
Dans le quadrant II ou le quadrant IV

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D Dans le quadrant II ou le quadrant IV

Corrigé :

x \cdot y < 0\ \Rightarrow\ \text{II ou IV}

signes contraires

x + y > 0

la coordonnée positive a la plus grande valeur absolue — mais ce peut être $x$ ou $y$

(5,\ -2) \in \text{IV},\quad (-2,\ 5) \in \text{II}

deux points conformes aux données, dans deux quadrants différents

La bonne réponse : « Dans le quadrant II ou le quadrant IV ». La somme positive ne dit pas laquelle des deux coordonnées est positive. « IV seulement » et « II seulement » supposent un ordre que l'énoncé ne donne pas ; « I ou III » contredit le produit négatif.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Le milieu du segment $AB$ est $M(3,\ 2)$ , et $A(-1,\ 0)$ . Quelles sont les coordonnées de $B$ ?

$(4,\ 2)$
$(7,\ 4)$
$(5,\ 4)$
$(1,\ 1)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(7,\ 4)$

Corrigé :

\begin{aligned}x_B &= 2 \cdot 3 - (-1) \\ &= 7\end{aligned}

deux fois le milieu moins l'extrémité connue

\begin{aligned}y_B &= 2 \cdot 2 - 0 \\ &= 4\end{aligned}

même geste sur l'ordonnée

\begin{aligned}\dfrac{-1 + 7}{2} &= 3 \\ \quad \dfrac{0 + 4}{2} &= 2\end{aligned}

vérification : $M$ est bien la moyenne

La bonne réponse : « $(7,\ 4)$ ». « $(1,\ 1)$ » est le milieu de $AM$ , pas $B$ . « $(4,\ 2)$ » est l'écart $M - A$ lui-même, pas le point $B$ . « $(5,\ 4)$ » calcule $2M + A$ au lieu de $2M - A$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Quelle est la distance entre $A(-2,\ 3)$ et $B(4,\ 11)$ ?

$10$
$14$
$8$
$\sqrt{68}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $10$

Corrigé :

\begin{aligned}x_B - x_A &= 4 - (-2) \\ &= 6 \\ \quad y_B - y_A &= 11 - 3 \\ &= 8\end{aligned}

les deux écarts, côtés du triangle rectangle

\begin{aligned}AB^2 &= 6^2 + 8^2 \\ &= 36 + 64 \\ &= 100\end{aligned}

Pythagore

AB = 10

La bonne réponse : « $10$ ». « $14$ » additionne les écarts : c'est le chemin en escalier. « $\sqrt{68}$ » a mal calculé un écart, et « $8$ » n'en garde qu'un.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Quelle est l'aire du triangle de sommets $A(-3,\ 0)$ , $B(5,\ 0)$ et $C(2,\ 6)$ ?

$48$
$24$
$12$
$30$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $24$

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 5 - (-3) \\ &= 8\end{aligned}

la base est sur l'axe des $x$ : un écart d'abscisses

h = 6

la hauteur est l'ordonnée de $C$

\begin{aligned}S &= \dfrac{8 \cdot 6}{2} \\ &= 24\end{aligned}

La bonne réponse : « $24$ ». « $48$ » oublie de diviser par $2$ . « $30$ » fait deux erreurs : il prend $5$ pour base au lieu de $8$ — l'écart se mesure depuis $-3$ — et ne divise pas par $2$ . « $12$ » divise deux fois.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Un cercle de centre $M(4,\ -3)$ passe par l'origine. Lequel des points suivants est sur ce cercle ?

$(5,\ 3)$
$(6,\ -1)$
$(8,\ -6)$
$(2,\ 2)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(8,\ -6)$

Corrigé :

\begin{aligned}r^2 &= 4^2 + 3^2 \\ &= 25\end{aligned}

le rayon est la distance du centre à l'origine

\begin{aligned}(8 - 4)^2 + (-6 + 3)^2 &= 16 + 9 \\ &= 25\end{aligned}

le point $(8,\ -6)$ est à distance $5$ du centre : il est sur le cercle

\begin{aligned}(6 - 4)^2 + (-1 + 3)^2 &= 8 \\ \quad (2 - 4)^2 + (2 + 3)^2 &= 29 \\ \quad (5 - 4)^2 + (3 + 3)^2 &= 37\end{aligned}

aucun des trois autres ne donne $25$

La bonne réponse : « $(8,\ -6)$ ». Le point trouvé est d'ailleurs l'autre bout du diamètre qui part de l'origine. Les trois autres options sont à des distances $\sqrt{8}$ , $\sqrt{29}$ et $\sqrt{37}$ du centre.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Associez chaque point à sa place dans le repère.

$(0,\ -3)$
$(5,\ 0)$
$(-2,\ 4)$
$(3,\ -1)$

dans le quadrant II
dans le quadrant IV
sur l'axe des $x$
sur l'axe des $y$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $(0,\ -3)$ — sur l'axe des $y$ · $(5,\ 0)$ — sur l'axe des $x$ · $(-2,\ 4)$ — dans le quadrant II · $(3,\ -1)$ — dans le quadrant IV

Corrigé :

(0,\ -3)

abscisse nulle : sur l'axe des y

(5,\ 0)

ordonnée nulle : sur l'axe des x

(-2,\ 4)

x < 0, y > 0 : quadrant II

(3,\ -1)

x > 0, y < 0 : quadrant IV

Une coordonnée nulle place le point sur l'autre axe. Le piège : croire que $(0,\ -3)$ est sur l'axe des $x$ parce que son $x$ vaut $0$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Si le point $(x,\ y)$ vérifie $x \cdot y > 0$ et $x + y < 0$ , alors il est dans le quadrant III.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

x \cdot y > 0

même signe : quadrant I ou III

x + y < 0

deux positifs donneraient une somme positive : le I tombe

Vrai. Le produit garde I et III, la somme élimine le I. Le piège : s'arrêter au produit et répondre « I ou III ».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Le segment $AB$ est parallèle à l'axe des $y$ , avec $A(-2,\ -3)$ et $B(-2,\ 5)$ . Quelle est sa longueur ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

\begin{aligned}x_A &= x_B \\ &= -2\end{aligned}

même abscisse : le segment est vertical

\begin{aligned}AB &= 5 - (-3) \\ &= 8\end{aligned}

un écart d'ordonnées

Le piège : $5 - 3 = 2$ , qui oublie que $-3$ est sous l'axe des $x$ . L'écart traverse l'origine.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

$M(1,\ -1)$ est le milieu du segment $AB$ , et $A(-3,\ 2)$ . Complétez.

Le point B a pour abscisse ____ et pour ordonnée ____.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Le point B a pour abscisse 5 et pour ordonnée -4.

Corrigé :

\begin{aligned}x_B &= 2 \cdot 1 - (-3) \\ &= 5\end{aligned}

deux fois le milieu, moins l'extrémité connue

\begin{aligned}y_B &= 2 \cdot (-1) - 2 \\ &= -4\end{aligned}

même geste sur l'ordonnée

\begin{aligned}\dfrac{-3 + 5}{2} &= 1 \\ \quad \dfrac{2 + (-4)}{2} &= -1\end{aligned}

vérification : M est bien la moyenne

Le piège : $2M + A$ , ou la moyenne de $A$ et $M$ , qui donne le milieu de $AM$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Rangez ces segments du plus court au plus long.

$a$ , de $(0,\ 0)$ à $(4,\ 0)$
$b$ , de $(1,\ 1)$ à $(4,\ 5)$
$c$ , de $(-1,\ 2)$ à $(5,\ 4)$
$d$ , de $(-3,\ -1)$ à $(3,\ -1)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $a$ , de $(0,\ 0)$ à $(4,\ 0)$ · $b$ , de $(1,\ 1)$ à $(4,\ 5)$ · $d$ , de $(-3,\ -1)$ à $(3,\ -1)$ · $c$ , de $(-1,\ 2)$ à $(5,\ 4)$

Corrigé :

\begin{aligned}a^2 &= 16 \\ \quad b^2 &= 3^2 + 4^2 \\ &= 25\end{aligned}

a est horizontal : un simple écart

\begin{aligned}d^2 &= 6^2 \\ &= 36 \\ \quad c^2 &= 6^2 + 2^2 \\ &= 40\end{aligned}

on compare les carrés, sans racine

Comparez les carrés des longueurs : $16 < 25 < 36 < 40$ . Le piège : additionner les écarts, $c$ ferait alors $8$ et passerait devant tout le monde pour une mauvaise raison.

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Exercice 12

Le triangle de sommets $A(-2,\ 0)$ , $B(4,\ 0)$ et $C(1,\ 5)$ : un élève calcule son aire. Une ligne est fausse : trouvez-la.

\begin{aligned}AB &= 4 - (-2) \\ &= 6\end{aligned}

h = 5

\begin{aligned}S &= 6 \cdot 5 \\ &= 30\end{aligned}

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $S = 6 \cdot 5 = 30$ → $S = \dfrac{6 \cdot 5}{2} = 15$

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= 4 - (-2) \\ &= 6\end{aligned}

la base, sur l'axe des x

h = 5

l'ordonnée de C

\begin{aligned}S &= \dfrac{6 \cdot 5}{2} \\ &= 15\end{aligned}

La troisième ligne oublie de diviser par $2$ : $30$ est l'aire du rectangle qui encadre le triangle.

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Exercice 13

Un cercle de centre $M(-3,\ 4)$ est tangent à l'axe des $y$ . Son disque a une aire de $k\pi$ . Que vaut $k$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

\begin{aligned}r &= |-3| \\ &= 3\end{aligned}

tangent à l'axe des y : le rayon est l'écart horizontal du centre à l'axe

\pi r^2 = 9\pi

Le piège : prendre l'ordonnée $4$ pour rayon, et trouver $16$ . L'ordonnée mesure l'écart à l'axe des $x$ .

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Exercice 14

Un carré $ABCD$ a ses côtés parallèles aux axes et son centre en $O$ . Chaque affirmation est-elle forcée ?

Forcé
Pas forcé

$|x_A| = |y_A|$
$x_A = y_A$
le sommet $A$ est dans le quadrant I
les diagonales sont portées par les droites $y = x$ et $y = -x$
les quatre sommets sont dans quatre quadrants différents

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : les quatre sommets sont dans quatre quadrants différents — Forcé · le sommet $A$ est dans le quadrant I — Pas forcé · les diagonales sont portées par les droites $y = x$ et $y = -x$ — Forcé · $x_A = y_A$ — Pas forcé · $|x_A| = |y_A|$ — Forcé

Corrigé :

(\pm s,\ \pm s)

centre en O, côtés parallèles aux axes : les sommets sont à la même distance des deux axes

A = (s,\ -s)\ \text{possible}

rien ne dit lequel des quatre est A

Ce que la figure impose porte sur les quatre sommets ensemble ; rien n'impose la place d'un sommet nommé. Le piège : lire la figure, où $A$ est peut-être en haut à droite.

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Geste 1 — Lire un point, et les points des axes

Geste 2 — Les quatre quadrants et les signes

Geste 3 — Parallèle à un axe : une coordonnée commune, une longueur par soustraction

Geste 4 — Milieu et symétrie

Geste 5 — La distance : Pythagore sur les écarts

Geste 6 — Les aires posées dans le repère

Geste 7 — Le cercle dans le repère

Geste 8 — Ce qui est « nécessairement vrai »

Exercices

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