Série 5 — Le niveau de l'examen

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours « Le réflexe solide » et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

À ce niveau, chaque question en combine deux : un patron puis Pythagore, une figure plane cachée dans le solide, une contrainte d'entiers sur des dimensions, une hypothèse à vérifier après le calcul. Avant de calculer, nommez les deux étapes ; après, vérifiez que le résultat respecte l'énoncé.

Exercices

Exercice 1

Un cube d'arête aa est placé dans un cylindre de même hauteur aa, et ses quatre arêtes verticales touchent la paroi du cylindre. Quel est le volume du cylindre ?

  1. 2πa32\pi a^{3}
  2. πa34\frac{\pi a^{3}}{4}
  3. πa3\pi a^{3}
  4. πa32\frac{\pi a^{3}}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D πa32\frac{\pi a^{3}}{2}

Corrigé :

a2a\sqrt{2}

une base du cube est un carré inscrit dans le disque : sa diagonale est un diamètre

r2=(a22)2=a22\begin{aligned}r^{2} &= \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^{2} \\ &= \frac{a^{2}}{2}\end{aligned}

Pythagore, puis le carré du rayon

π⋅a22⋅a=πa32\pi \cdot \frac{a^{2}}{2} \cdot a = \frac{\pi a^{3}}{2}

La bonne réponse : « πa32\frac{\pi a^{3}}{2} ». « πa34\frac{\pi a^{3}}{4} » prend a2\frac{a}{2} pour le rayon : c'est le cylindre placé dans le cube. « πa3\pi a^{3} » prend l'arête pour le rayon. « 2πa32\pi a^{3} » prend la diagonale a2a\sqrt{2} pour le rayon au lieu du diamètre.

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Exercice 2

Les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle mesurent 33 et 44. En tournant autour du côté de 44, le triangle engendre un cône ; en tournant autour du côté de 33, il en engendre un autre. Quelle est la différence entre les volumes de ces deux cônes ?

  1. 4π4\pi
  2. 28π28\pi
  3. 12π12\pi
  4. 00
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 4π4\pi

Corrigé :

r=3 h=4:π⋅9⋅43=12π\begin{aligned}r &= 3 \\ \ h &= 4 : \frac{\pi \cdot 9 \cdot 4}{3} \\ &= 12\pi\end{aligned}

autour du côté de 44 : l'autre côté devient le rayon

r=4 h=3:π⋅16⋅33=16π\begin{aligned}r &= 4 \\ \ h &= 3 : \frac{\pi \cdot 16 \cdot 3}{3} \\ &= 16\pi\end{aligned}

autour du côté de 33

16π−12π=4π16\pi - 12\pi = 4\pi

La bonne réponse : « 4π4\pi ». « 12π12\pi » oublie le tiers des deux cônes : 48π−36π48\pi - 36\pi. « 00 » croit qu'un même triangle engendre toujours le même volume : le côté qui devient le rayon compte au carré. « 28π28\pi » additionne les deux volumes au lieu de les soustraire.

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Exercice 3

Un prisme droit a pour base un hexagone régulier de côté 22, et sa hauteur est 55. Quel est son volume ?

  1. 15315\sqrt{3}
  2. 30330\sqrt{3}
  3. 10310\sqrt{3}
  4. 6060
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 30330\sqrt{3}

Corrigé :

34⋅22=3\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^{2} = \sqrt{3}

l'hexagone régulier se découpe en six triangles équilatéraux de côté 22

63⋅5=3036\sqrt{3} \cdot 5 = 30\sqrt{3}

l'aire de la base fois la hauteur

La bonne réponse : « 30330\sqrt{3} ». « 6060 » multiplie le périmètre de la base, 1212, par la hauteur : c'est l'aire latérale. « 10310\sqrt{3} » prend le tiers, comme pour une pyramide. « 15315\sqrt{3} » ne découpe l'hexagone qu'en trois triangles équilatéraux.

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Exercice 4

Dans un cube d'arête aa, on coupe le coin d'un sommet par le plan qui passe par les trois sommets voisins de ce sommet. Quel est le volume du solide qui reste ?

  1. 2a33\frac{2a^{3}}{3}
  2. a36\frac{a^{3}}{6}
  3. 5a36\frac{5a^{3}}{6}
  4. a32\frac{a^{3}}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 5a36\frac{5a^{3}}{6}

Corrigé :

a22\frac{a^{2}}{2}

le coin est une pyramide : sa base est la moitié d'une face

13⋅a22⋅a=a36\frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2}}{2} \cdot a = \frac{a^{3}}{6}

sa hauteur est l'arête qui lui reste

a3−a36=5a36a^{3} - \frac{a^{3}}{6} = \frac{5a^{3}}{6}

La bonne réponse : « 5a36\frac{5a^{3}}{6} ». « a36\frac{a^{3}}{6} » est le volume du coin coupé, pas celui qui reste. « 2a33\frac{2a^{3}}{3} » prend une face entière pour base du coin : a33\frac{a^{3}}{3} retiré. « a32\frac{a^{3}}{2} » oublie le tiers : il retire un demi-cube, un prisme.

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Exercice 5

On enroule un secteur de disque de rayon 1010 et d'angle 216∘216^{\circ} pour former la surface latérale d'un cône : le rayon du secteur devient la génératrice du cône. Quelle est la hauteur du cône ?

  1. 2342\sqrt{34}
  2. 88
  3. 44
  4. 66
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 88

Corrigé :

216360⋅2π⋅10=12π\frac{216}{360} \cdot 2\pi \cdot 10 = 12\pi

l'arc du secteur devient le tour de la base

2πr=12π⇒r=6\begin{aligned}2\pi r &= 12\pi \Rightarrow r \\ &= 6\end{aligned}

le rayon de la base

h=102−62=8\begin{aligned}h &= \sqrt{10^{2} - 6^{2}} \\ &= 8\end{aligned}

Pythagore : la génératrice est l'hypoténuse

La bonne réponse : « 88 ». « 66 » s'arrête au rayon de la base. « 2342\sqrt{34} » ajoute les carrés, comme si la génératrice était un côté de l'angle droit. « 44 » soustrait les longueurs, 10−610 - 6, au lieu de leurs carrés.

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Exercice 6

Une fourmi marche sur la surface d'un cube d'arête 44, d'un sommet jusqu'au sommet opposé, l'autre extrémité de la diagonale du cube qui part du premier. Quelle est la longueur du plus court chemin possible ?

  1. 1212
  2. 4+424 + 4\sqrt{2}
  3. 454\sqrt{5}
  4. 434\sqrt{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 454\sqrt{5}

Corrigé :

8×48 \times 4

on déplie deux faces voisines : elles forment un rectangle, et le départ et l'arrivée en sont deux coins opposés

82+42=80=45\begin{aligned}\sqrt{8^{2} + 4^{2}} &= \sqrt{80} \\ &= 4\sqrt{5}\end{aligned}

la diagonale de ce rectangle

La bonne réponse : « 454\sqrt{5} ». « 434\sqrt{3} » traverse l'intérieur du cube : la fourmi reste sur la surface. « 1212 » longe trois arêtes. « 4+424 + 4\sqrt{2} » suit une diagonale de face puis une arête : ce chemin brisé est plus long que la ligne droite du patron.

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Exercice 7

Les arêtes d'un pavé droit mesurent des nombres entiers, et la somme des longueurs de ses 1212 arêtes vaut 3636. Quel est le plus grand volume possible de ce pavé ?

  1. 2727
  2. 216216
  3. 17281728
  4. 2424
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Réponse : A 2727

Corrigé :

4(x+y+z)=36⇒x+y+z=9\begin{aligned}4(x + y + z) &= 36 \Rightarrow x + y + z \\ &= 9\end{aligned}

chaque dimension porte quatre arêtes

3⋅3⋅3=273 \cdot 3 \cdot 3 = 27

à somme fixée, le produit est le plus grand quand les trois nombres sont égaux

2⋅3⋅4=241⋅4⋅4=16\begin{aligned}2 \cdot 3 \cdot 4 &= 24 \\ \quad 1 \cdot 4 \cdot 4 &= 16\end{aligned}

deux autres essais, plus petits

La bonne réponse : « 2727 ». « 17281728 » prend 3636 pour la somme des trois dimensions : 12312^{3}. « 216216 » divise par deux au lieu de quatre : 636^{3}. « 2424 » exige trois dimensions différentes, ce que l'énoncé ne demande pas.

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Exercice 8

Un cube d'arête nn, où nn est un entier plus grand que 22, est peint sur toutes ses faces, puis découpé en n3n^{3} petits cubes d'arête 11. Il y a autant de petits cubes qui ont exactement une face peinte que de petits cubes qui n'en ont aucune. Combien vaut nn ?

  1. 77
  2. 66
  3. 88
  4. 33
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Réponse : C 88

Corrigé :

6(n−2)26(n-2)^{2}

une seule face peinte : le carré intérieur de chacune des six faces

(n−2)3(n-2)^{3}

aucune face peinte : le cube intérieur

6(n−2)2=(n−2)3⇒n−2=6⇒n=8\begin{aligned}6(n-2)^{2} &= (n-2)^{3} \Rightarrow n - 2 \\ &= 6 \Rightarrow n \\ &= 8\end{aligned}

on divise par (n−2)2(n-2)^{2}, non nul

La bonne réponse : « 88 ». « 66 » oublie de retirer les bords : 6n2=n36n^{2} = n^{3}. « 33 » ne compte qu'une face du cube : (n−2)2=(n−2)3(n-2)^{2} = (n-2)^{3}. « 77 » n'ôte qu'une couche : 6(n−1)2=(n−1)36(n-1)^{2} = (n-1)^{3}.

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Exercice 9

Un aquarium en forme de pavé a un fond de 1212 sur 99, et l'eau y monte jusqu'à 33. On pose au fond un cube d'arête 66. Quel est alors le niveau de l'eau, mesuré depuis le fond ? L'aquarium est assez haut pour que rien ne déborde.

  1. 44
  2. 4,54{,}5
  3. 99
  4. 55
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Réponse : B 4,54{,}5

Corrigé :

12⋅9⋅3=32412 \cdot 9 \cdot 3 = 324

le volume d'eau, qui ne change pas

12⋅9−6⋅6=7212 \cdot 9 - 6 \cdot 6 = 72

si le cube dépasse de l'eau, l'eau n'occupe que le fond autour de lui

32472=4,5<6\frac{324}{72} = 4{,}5 < 6

le cube dépasse bien : l'hypothèse tient

La bonne réponse : « 4,54{,}5 ». « 55 » ajoute tout le volume du cube, 216108=2\frac{216}{108} = 2, comme s'il était sous l'eau : or 5<65 < 6, le cube dépasse. « 99 » ajoute l'arête du cube à la hauteur de l'eau. « 44 » ne compte que la partie du cube sous l'ancien niveau, 6⋅6⋅3108=1\frac{6 \cdot 6 \cdot 3}{108} = 1 : l'eau qui monte en recouvre davantage.

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Exercice 10

Combien de pavés droits différents ont des arêtes de longueurs entières et un volume de 2424 ? Deux pavés qui ne diffèrent que par l'ordre de leurs trois dimensions comptent pour un seul.

  1. 3030
  2. 66
  3. 44
  4. 88
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Réponse : B 66

Corrigé :

24=1⋅1⋅24=1⋅2⋅12=1⋅3⋅8=1⋅4⋅6\begin{aligned}24 &= 1 \cdot 1 \cdot 24 \\ &= 1 \cdot 2 \cdot 12 \\ &= 1 \cdot 3 \cdot 8 \\ &= 1 \cdot 4 \cdot 6\end{aligned}

une dimension vaut 11

24=2⋅2⋅6=2⋅3⋅4\begin{aligned}24 &= 2 \cdot 2 \cdot 6 \\ &= 2 \cdot 3 \cdot 4\end{aligned}

la plus petite dimension vaut 22 ; elle ne peut pas valoir 33, car 33>243^{3} > 24

4+2=64 + 2 = 6

La bonne réponse : « 66 ». « 88 » compte les diviseurs de 2424, pas les pavés. « 44 » n'admet que trois dimensions différentes et oublie 1×1×241 \times 1 \times 24 et 2×2×62 \times 2 \times 6. « 3030 » compte chaque ordre des dimensions comme un pavé différent.

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