Série 4 — Dérouler, plonger, comparer · Solides · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours « Le réflexe solide » et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Une figure de l'espace se ramène presque toujours au plan : une feuille qui s'enroule, des bords qu'on replie, la face d'une pyramide dont on cherche la hauteur par Pythagore. Dessinez la figure plane avant de calculer.

Exercices

Exercice 1

Une pyramide a $10$ arêtes. Combien de faces a-t-elle ?

$6$
$5$
$11$
$7$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $6$

Corrigé :

\begin{aligned}2n &= 10 \Rightarrow n \\ &= 5\end{aligned}

une base à $n$ côtés donne $n$ arêtes de base et $n$ arêtes latérales

n + 1 = 6

les $5$ faces latérales et la base

La bonne réponse : « $6$ ». « $11$ » prend $10$ pour le nombre de côtés de la base. « $5$ » oublie la base. « $7$ » compte comme pour un prisme, $n + 2$ faces.

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Exercice 2

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $3$ et $4$ . Sa hauteur est $10$ . Quel est son volume ?

$20$
$60$
$120$
$40$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $60$

Corrigé :

\frac{3 \cdot 4}{2} = 6

l'aire de la base : la moitié du rectangle

6 \cdot 10 = 60

base fois hauteur, sans tiers : c'est un prisme

La bonne réponse : « $60$ ». « $120$ » oublie la moitié : c'est le pavé $3 \times 4 \times 10$ . « $20$ » prend le tiers, comme pour une pyramide. « $40$ » commet les deux erreurs : $\frac{3 \cdot 4 \cdot 10}{3}$ .

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Exercice 3

Un cube d'arête $4$ est formé de $64$ petits cubes d'arête $1$ . On retire un petit cube situé à un coin. Quelle est l'aire totale du solide obtenu ?

$96$
$99$
$90$
$93$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $96$

Corrigé :

4^{3} = 64

le découpage

6 \cdot 16 = 96

l'aire du grand cube

96 - 3 + 3 = 96

le coin retiré emporte trois carrés et en découvre trois

La bonne réponse : « $96$ ». « $93$ » enlève les trois carrés extérieurs du petit cube sans voir les trois qui apparaissent. « $99$ » ajoute les trois nouveaux carrés sans retirer les anciens. « $90$ » retire les six faces du petit cube.

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Exercice 4

Une feuille rectangulaire mesure $20$ sur $12$ . On découpe à chaque coin un carré de côté $3$ , puis on replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Quel est le volume de la boîte ?

$84$
$720$
$252$
$459$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $252$

Corrigé :

\begin{aligned}20 - 2 \cdot 3 &= 14 \\ \quad 12 - 2 \cdot 3 &= 6\end{aligned}

chaque longueur perd un carré à chaque bout

14 \cdot 6 \cdot 3 = 252

le fond, puis la hauteur : le côté des carrés découpés

La bonne réponse : « $252$ ». « $720$ » garde la feuille entière pour le fond : $20 \cdot 12 \cdot 3$ . « $459$ » ne retire qu'un carré par longueur : $17 \cdot 9 \cdot 3$ . « $84$ » s'arrête à l'aire du fond, $14 \cdot 6$ .

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Exercice 5

Trois faces d'un pavé droit qui ont un sommet commun ont pour aires $12$ , $15$ et $20$ . Quel est le volume du pavé ?

$47$
$60$
$94$
$3600$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $60$

Corrigé :

\begin{aligned}xy &= 12 \\ \quad yz &= 15 \\ \quad xz &= 20\end{aligned}

chaque face porte deux des trois dimensions

\begin{aligned}(xyz)^{2} &= 12 \cdot 15 \cdot 20 \\ &= 3600\end{aligned}

le produit des trois aires contient chaque dimension deux fois

xyz = 60

vérification : les dimensions $3$ , $4$ et $5$

La bonne réponse : « $60$ ». « $3600$ » oublie la racine : c'est le carré du volume. « $47$ » additionne les trois aires. « $94$ » est l'aire totale, $2(12 + 15 + 20)$ .

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Exercice 6

Un aquarium en forme de pavé a un fond de $10$ sur $8$ , et l'eau y monte jusqu'à $6$ . On y plonge un cube d'arête $4$ , qui repose au fond et se trouve entièrement sous l'eau ; l'aquarium est assez haut pour que rien ne déborde. Quel est alors le niveau de l'eau, mesuré depuis le fond ?

$0{,}8$
$7$
$6{,}8$
$10$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $6{,}8$

Corrigé :

4^{3} = 64

le volume d'eau déplacé

\frac{64}{10 \cdot 8} = 0{,}8

la montée, sur tout le fond

6 + 0{,}8 = 6{,}8

et $6{,}8 > 4$ : le cube est bien sous l'eau

La bonne réponse : « $6{,}8$ ». « $0{,}8$ » est la montée de l'eau, pas sa hauteur. « $10$ » ajoute l'arête du cube à la hauteur de l'eau. « $7$ » divise par le fond moins la face du cube, $\frac{64}{80 - 16} = 1$ : or l'eau passe au-dessus du cube, et toute la surface du fond compte.

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Exercice 7

Une pyramide a pour base un carré de côté $10$ et pour hauteur $12$ ; son sommet se trouve à la verticale du centre de la base. Quelle est l'aire latérale de la pyramide ?

$360$
$520$
$240$
$260$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $260$

Corrigé :

\sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13

la hauteur d'une face : Pythagore, avec la hauteur de la pyramide et la distance du centre au milieu d'un côté, $5$

4 \cdot \frac{10 \cdot 13}{2} = 260

quatre triangles

La bonne réponse : « $260$ ». « $240$ » prend la hauteur de la pyramide, $12$ , pour celle des faces : elle est intérieure au solide. « $360$ » ajoute la base carrée, $100$ : c'est l'aire totale. « $520$ » oublie la moitié dans l'aire d'un triangle.

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Exercice 8

L'arête d'un cube, en centimètres, est un nombre entier. Le nombre de cm³ de son volume est plus petit que le nombre de cm² de son aire totale. Combien de valeurs l'arête peut-elle prendre ?

Une infinité
$0$
$6$
$5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $5$

Corrigé :

a^{3} < 6a^{2} \iff a < 6

on divise par $a^{2}$ , positif

a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}

les entiers permis

La bonne réponse : « $5$ ». « $6$ » garde $a = 6$ , où les deux nombres sont égaux. « $0$ » croit que le volume d'un cube l'emporte toujours sur son aire. « Une infinité » oublie que l'arête est un entier : il y a une infinité de réels entre $0$ et $6$ , mais cinq entiers.

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Exercice 9

Un cône est coupé par un plan parallèle à sa base, à mi-hauteur. Le petit cône du haut a un volume de $10$ . Quel est le volume de l'autre morceau, le tronc de cône ?

$30$
$80$
$10$
$70$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $70$

Corrigé :

k = 2

le grand cône et le petit cône sont semblables : hauteurs, puis rayons, dans le rapport $2$

2^{3} \cdot 10 = 80

le grand cône

80 - 10 = 70

on retire le petit cône

La bonne réponse : « $70$ ». « $30$ » applique le rapport des aires, $2^{2}$ : $40 - 10$ . « $80$ » oublie de retirer le petit cône. « $10$ » croit que le plan à mi-hauteur partage le volume en deux moitiés.

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Exercice 10

Une feuille rectangulaire mesure $10$ sur $6$ . On l'enroule pour former la surface latérale d'un cylindre, de deux façons : soit le côté de $10$ fait le tour, soit le côté de $6$ fait le tour. Quel est le rapport du plus grand des deux volumes au plus petit ?

$\frac{125}{27}$
$\frac{5}{3}$
$\frac{25}{9}$
$1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{5}{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}2\pi r &= 10 \Rightarrow r \\ &= \frac{5}{\pi} \\ \quad V &= \pi \cdot \frac{25}{\pi^{2}} \cdot 6 \\ &= \frac{150}{\pi}\end{aligned}

le côté de $10$ fait le tour

\begin{aligned}2\pi r &= 6 \Rightarrow r \\ &= \frac{3}{\pi} \\ \quad V &= \pi \cdot \frac{9}{\pi^{2}} \cdot 10 \\ &= \frac{90}{\pi}\end{aligned}

le côté de $6$ fait le tour

\frac{150}{90} = \frac{5}{3}

La bonne réponse : « $\frac{5}{3}$ ». « $1$ » croit qu'une même feuille donne un même volume : elle donne la même surface latérale seulement. « $\frac{25}{9}$ » compare les aires des bases et oublie que la hauteur change aussi. « $\frac{125}{27}$ » traite les deux cylindres comme des solides semblables : ils ne le sont pas.

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Exercices

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