Série 3 — Facteurs et comparaisons · Solides · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours « Le réflexe solide » et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Quand une dimension change, écrivez son facteur sous chaque lettre de la formule : $2$ sous un rayon donne $4$ , $2$ sous une hauteur donne $2$ , et le tiers d'un cône ne disparaît jamais. Devant une comparaison sans valeur, testez deux cas avant de conclure.

Exercices

Exercice 1

Un cylindre est placé dans un cube d'arête $a$ : ses deux bases reposent sur deux faces opposées du cube, et il touche les quatre autres faces. Quelle part du volume du cube le cylindre occupe-t-il ?

$\frac{\pi}{12}$
$1 - \frac{\pi}{4}$
$\frac{\pi}{16}$
$\frac{\pi}{4}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{\pi}{4}$

Corrigé :

\begin{aligned}r &= \frac{a}{2} \\ \quad h &= a\end{aligned}

le diamètre du cylindre est l'arête du cube

\pi \left(\frac{a}{2}\right)^{2} a = \frac{\pi a^{3}}{4}

le volume du cylindre

\frac{\pi a^{3}}{4} : a^{3} = \frac{\pi}{4}

La bonne réponse : « $\frac{\pi}{4}$ ». « $\frac{\pi}{16}$ » prend la moitié de l'arête pour le diamètre, donc $\frac{a}{4}$ pour le rayon. « $1 - \frac{\pi}{4}$ » est la part du cube que le cylindre laisse vide. « $\frac{\pi}{12}$ » ajoute le tiers du cône à un cylindre.

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Exercice 2

Un cube d'arête $5$ est peint sur toutes ses faces, puis découpé en $125$ petits cubes d'arête $1$ . Combien de petits cubes ont exactement deux faces peintes ?

$8$
$60$
$36$
$54$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $36$

Corrigé :

125 = 5^{3}

le découpage

5 - 2 = 3

deux faces peintes : sur une arête, sans les deux coins

12 \cdot 3 = 36

douze arêtes

La bonne réponse : « $36$ ». « $54$ » compte les petits cubes qui ont une seule face peinte, $6 \cdot 3^{2}$ . « $8$ » compte les coins, qui ont trois faces peintes. « $60$ » compte cinq petits cubes par arête, coins compris.

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Exercice 3

Un cube d'arête $a$ est coupé par un plan qui passe par deux arêtes opposées du cube, c'est-à-dire deux arêtes parallèles qui ne sont pas sur une même face. Quelle est l'aire de la section ?

$2a^{2}$
$\frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$
$a^{2}$
$a^{2}\sqrt{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $a^{2}\sqrt{2}$

Corrigé :

a

deux côtés de la section sont les deux arêtes

a\sqrt{2}

les deux autres côtés sont des diagonales de faces

a \cdot a\sqrt{2} = a^{2}\sqrt{2}

la section est un rectangle

La bonne réponse : « $a^{2}\sqrt{2}$ ». « $a^{2}$ » prend la section pour une face du cube. « $2a^{2}$ » croit la section carrée, de côté $a\sqrt{2}$ : deux de ses côtés sont des arêtes, de longueur $a$ . « $\frac{a^{2}\sqrt{2}}{2}$ » divise par deux comme pour un triangle : la section a quatre sommets.

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Exercice 4

Un cube a une arête de $6$ . Une pyramide a pour base une face de ce cube. Quelle doit être la hauteur de la pyramide pour que son volume soit égal à celui du cube ?

$2$
$12$
$6$
$18$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $18$

Corrigé :

6^{3} = 216

le volume du cube

\begin{aligned}\frac{36 \cdot h}{3} &= 216 \Rightarrow h \\ &= 18\end{aligned}

même base : la pyramide doit être trois fois plus haute

La bonne réponse : « $18$ ». « $2$ » divise par trois au lieu de multiplier. « $6$ » oublie le tiers : à même base et même hauteur, la pyramide n'a que le tiers du volume. « $12$ » prend la pyramide pour la moitié du pavé de même base et de même hauteur.

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Exercice 5

Quatre cubes d'arête $2$ sont collés face contre face pour former un carré de deux cubes sur deux, posé à plat. Quelle est l'aire totale du solide obtenu ?

$64$
$72$
$96$
$80$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $64$

Corrigé :

4 \cdot 6 \cdot 4 = 96

les quatre cubes séparés

96 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 64

quatre collages : chaque cube touche deux voisins, et chaque collage cache deux faces

2(16 + 8 + 8) = 64

vérification : un pavé $4 \times 4 \times 2$

La bonne réponse : « $64$ ». « $96$ » n'enlève rien. « $80$ » n'enlève qu'une face par collage. « $72$ » ne compte que trois collages, comme pour une rangée : le carré se referme et en a quatre.

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Exercice 6

On peint chacune des six faces d'un cube en rouge ou en bleu, de sorte que deux faces qui ont une arête commune soient toujours de couleurs différentes. De combien de façons peut-on le faire ?

$8$
$2$
$64$
$0$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $0$

Corrigé :

\text{3 faces en un sommet}

les trois faces qui se rencontrent en un sommet se touchent deux à deux par une arête

3 > 2

elles demanderaient trois couleurs différentes : avec deux couleurs, aucun coloriage ne convient

La bonne réponse : « $0$ ». « $2$ » recopie le raisonnement des sommets du cube, qui se colorient en damier : deux faces voisines, elles, ne le permettent pas. « $64$ » compte $2^{6}$ choix libres, sans la contrainte. « $8$ » colorie librement chaque paire de faces opposées, $2^{3}$ : deux faces voisines peuvent alors avoir la même couleur.

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Exercice 7

Deux pavés droits sont semblables : le volume du grand est $27$ fois celui du petit. L'aire totale du petit vaut $S$ . Quelle est l'aire totale du grand ?

$3S$
$9S$
$54S$
$27S$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $9S$

Corrigé :

\begin{aligned}k^{3} &= 27 \Rightarrow k \\ &= 3\end{aligned}

le rapport des longueurs

k^{2} = 9

le rapport des aires

La bonne réponse : « $9S$ ». « $27S$ » garde le rapport des volumes pour les aires. « $3S$ » prend le rapport des longueurs. « $54S$ » multiplie le facteur d'une face, $9$ , par les six faces : le facteur s'applique déjà à l'aire totale.

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Exercice 8

Un cylindre a un rayon $r$ , une hauteur $h$ et un volume $V$ . Un cône a la même hauteur $h$ et un rayon $\frac{r}{2}$ . Quel est le volume total des deux solides, en fonction de $V$ ?

$\frac{5V}{4}$
$\frac{7V}{6}$
$\frac{4V}{3}$
$\frac{13V}{12}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{13V}{12}$

Corrigé :

\frac{V}{3}

le cône de même base et de même hauteur

\frac{V}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{V}{12}

rayon divisé par $2$ : volume divisé par $4$

V + \frac{V}{12} = \frac{13V}{12}

La bonne réponse : « $\frac{13V}{12}$ ». « $\frac{5V}{4}$ » oublie le tiers du cône : $V + \frac{V}{4}$ . « $\frac{4V}{3}$ » oublie que le rayon est divisé par deux. « $\frac{7V}{6}$ » divise par $2$ au lieu de $4$ : il oublie le carré du rayon.

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Exercice 9

L'arête d'un cube, en centimètres, est plus grande que $4$ . On note $V$ le nombre de cm³ de son volume et $S$ le nombre de cm² de son aire totale. Comparez $V$ et $S$ .

$V > S$
$V < S$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$V = S$

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Réponse : C On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{V}{S} &= \frac{a^{3}}{6a^{2}} \\ &= \frac{a}{6}\end{aligned}

tout dépend de l'arête comparée à $6$

\begin{aligned}a &= 5 : V \\ &= 125 < S \\ &= 150\end{aligned}

un cas permis

\begin{aligned}a &= 7 : V \\ &= 343 > S \\ &= 294\end{aligned}

un autre cas permis, verdict opposé

La bonne réponse : « On ne peut pas le savoir avec ces seules données ». « $V > S$ » croit que le volume l'emporte dès que le cube est « grand » : il faut une arête supérieure à $6$ . « $V < S$ » généralise le cas $a = 5$ . « $V = S$ » n'est vrai que pour $a = 6$ , un cas parmi d'autres.

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Exercice 10

Un cylindre a une hauteur de $16$ , et le périmètre de sa base vaut $12$ . Une fourmi part d'un point du bord inférieur et monte, sur la surface latérale, jusqu'au point du bord supérieur situé juste au-dessus, en faisant exactement un tour. Quelle est la longueur du plus court chemin possible ?

$16$
$4\sqrt{7}$
$28$
$20$

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Réponse : D $20$

Corrigé :

12 \times 16

la surface latérale déroulée : un rectangle

\begin{aligned}\sqrt{12^{2} + 16^{2}} &= \sqrt{400} \\ &= 20\end{aligned}

le chemin le plus court en est la diagonale

La bonne réponse : « $20$ ». « $28$ » ajoute la hauteur et le périmètre, comme si la fourmi faisait le tour puis montait. « $4\sqrt{7}$ » soustrait les carrés au lieu de les ajouter. « $16$ » monte tout droit, sans faire le tour demandé.

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Exercices

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