Série 2 — Lire le solide avant de calculer · Solides · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours « Le réflexe solide » et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Avant chaque calcul, demandez-vous quelle grandeur l'énoncé vous donne et laquelle il demande : une longueur, une aire ou un volume. Une aire latérale n'a pas de base, un volume n'a pas de racine, et un même volume sur une même hauteur donne une même aire de base.

Exercices

Exercice 1

Un cône a un rayon de $6$ et une hauteur de $5$ . Quel est son volume ?

$180\pi$
$240\pi$
$10\pi$
$60\pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $60\pi$

Corrigé :

\begin{aligned}V &= \frac{\pi \cdot 6^{2} \cdot 5}{3} \\ &= \frac{180\pi}{3} \\ &= 60\pi\end{aligned}

le rayon au carré, puis le tiers

La bonne réponse : « $60\pi$ ». « $180\pi$ » oublie le tiers : c'est le cylindre de même base et de même hauteur. « $10\pi$ » oublie le carré du rayon, $\frac{\pi \cdot 6 \cdot 5}{3}$ . « $240\pi$ » prend le diamètre, $12$ , pour le rayon.

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Exercice 2

Une feuille rectangulaire couvre exactement la surface latérale d'un cylindre de rayon $4$ et de hauteur $10$ . Quelle est l'aire de la feuille ?

$160\pi$
$112\pi$
$40\pi$
$80\pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $80\pi$

Corrigé :

2\pi \cdot 4 = 8\pi

un côté de la feuille fait le tour : c'est le périmètre de la base

8\pi \cdot 10 = 80\pi

l'autre côté est la hauteur

La bonne réponse : « $80\pi$ ». « $40\pi$ » prend $\pi r$ pour le périmètre de la base, en oubliant le facteur $2$ . « $160\pi$ » calcule le volume, $\pi r^{2} h$ . « $112\pi$ » ajoute les deux disques : c'est l'aire totale, pas la surface latérale.

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Exercice 3

Un cube d'arête $5$ est coupé en deux pavés identiques par un plan parallèle à une face. Quelle est la somme des aires totales des deux pavés ?

$175$
$150$
$200$
$75$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $200$

Corrigé :

6 \cdot 25 = 150

l'aire du cube

150 + 2 \cdot 25 = 200

la coupe crée deux faces neuves de $25$ , une sur chaque pavé

La bonne réponse : « $200$ ». « $150$ » croit qu'une coupe ne change pas l'aire. « $175$ » n'ajoute qu'une face neuve, alors que chaque pavé en reçoit une. « $75$ » partage l'aire du cube en deux : c'est l'aire d'un seul pavé, $100$ , moins sa face neuve.

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Exercice 4

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle dont les côtés mesurent $9$ , $12$ et $15$ . Sa hauteur est $5$ . Quelle est son aire latérale, c'est-à-dire l'aire de ses trois faces rectangulaires ?

$270$
$180$
$105$
$288$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $180$

Corrigé :

9 + 12 + 15 = 36

le périmètre de la base : chaque côté porte une face rectangulaire

36 \cdot 5 = 180

les trois rectangles mis bout à bout forment un seul rectangle

La bonne réponse : « $180$ ». « $105$ » oublie la face posée sur l'hypoténuse : $(9 + 12) \cdot 5$ . « $270$ » calcule le volume, $\frac{9 \cdot 12}{2} \cdot 5$ . « $288$ » ajoute les deux bases triangulaires : c'est l'aire totale.

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Exercice 5

Le patron d'un cube a la forme d'une croix : une rangée de quatre carrés, notés $A$ , $B$ , $C$ et $D$ de gauche à droite, plus un carré $E$ collé au-dessus de $B$ et un carré $F$ collé au-dessous de $B$ . Une fois le cube plié, quelle face est opposée à $A$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $C$

Corrigé :

A \to B \to C \to D

les quatre carrés de la rangée s'enroulent en anneau autour du cube

A \leftrightarrow C,\quad B \leftrightarrow D,\quad E \leftrightarrow F

dans un anneau de quatre faces, chaque face est opposée à celle qui se trouve deux places plus loin

La bonne réponse : « $C$ ». « $B$ » est collée à $A$ sur le patron : elles partagent une arête, donc elles sont voisines. « $D$ » croit que les deux bouts de la rangée se font face : en se refermant, l'anneau colle $D$ contre $A$ . « $E$ » est un des deux rabats : $E$ et $F$ ferment l'anneau, l'une en haut, l'autre en bas, et touchent chacune les quatre faces de la rangée.

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Exercice 6

Un pavé droit a une base carrée de côté $a$ , et sa diagonale, le segment qui joint deux sommets opposés en traversant le pavé, mesure $3a$ . Quelle est la hauteur du pavé ?

$a$
$2a\sqrt{2}$
$a\sqrt{7}$
$a\sqrt{11}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $a\sqrt{7}$

Corrigé :

d^{2} = a^{2} + a^{2} + h^{2}

les trois dimensions, chacune au carré

\begin{aligned}h^{2} &= 9a^{2} - 2a^{2} \\ &= 7a^{2} \Rightarrow h \\ &= a\sqrt{7}\end{aligned}

La bonne réponse : « $a\sqrt{7}$ ». « $a$ » soustrait les longueurs, $3a - a - a$ , au lieu de leurs carrés. « $2a\sqrt{2}$ » ne retire qu'un côté de la base : $\sqrt{9a^{2} - a^{2}}$ . « $a\sqrt{11}$ » ajoute les carrés au lieu de les soustraire.

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Exercice 7

Un cube a une arête de $4$ . On part d'un sommet $P$ . Le point $Q$ est l'autre extrémité d'une diagonale d'une face qui contient $P$ , et le point $R$ est l'autre extrémité de l'arête issue de $P$ qui n'appartient pas à cette face. Quelle est l'aire du triangle $PQR$ ?

$8\sqrt{3}$
$16\sqrt{2}$
$8\sqrt{2}$
$8$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $8\sqrt{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}PQ &= 4\sqrt{2} \\ \quad PR &= 4\end{aligned}

une diagonale de face, une arête

\widehat{QPR} = 90^{\circ}

l'arête $PR$ est perpendiculaire à la face, donc à $PQ$

\frac{4 \cdot 4\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}

la moitié du produit des deux côtés de l'angle droit

La bonne réponse : « $8\sqrt{2}$ ». « $8\sqrt{3}$ » croit voir un triangle équilatéral de côté $4\sqrt{2}$ : or $PR = 4$ et $QR = 4\sqrt{3}$ . « $16\sqrt{2}$ » oublie de diviser par deux. « $8$ » prend les deux côtés de l'angle droit égaux à l'arête.

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Exercice 8

Un cylindre de rayon $4$ et de hauteur $9$ est plein d'eau. On s'en sert pour remplir des cônes de rayon $2$ et de hauteur $6$ , posés pointe en bas. Combien de cônes remplit-on entièrement ?

$3$
$9$
$18$
$6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $18$

Corrigé :

\pi \cdot 4^{2} \cdot 9 = 144\pi

l'eau du cylindre

\frac{\pi \cdot 2^{2} \cdot 6}{3} = 8\pi

un cône

\frac{144\pi}{8\pi} = 18

La bonne réponse : « $18$ ». « $9$ » oublie le carré : le rapport des rayons, $2$ , compte pour $4$ dans les bases. « $6$ » oublie le tiers du cône. « $3$ » commet les deux oublis.

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Exercice 9

On peint chacun des $8$ sommets d'un cube en blanc ou en noir, de sorte que les deux extrémités de chaque arête soient toujours de couleurs différentes. Le cube est fixé : deux coloriages comptent pour deux dès qu'un sommet n'a pas la même couleur dans l'un et dans l'autre, même si une rotation du cube les échange. De combien de façons peut-on le faire ?

$0$
$16$
$256$
$2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $2$

Corrigé :

2

deux choix pour un premier sommet : il impose la couleur de ses trois voisins, puis celle de tous les autres

4 + 4

les sommets se partagent en deux groupes de quatre, chacun d'une seule couleur, comme un damier

La bonne réponse : « $2$ ». « $0$ » croit la contrainte impossible : le coloriage en damier la respecte. « $256$ » compte $2^{8}$ choix libres, sans la contrainte. « $16$ » choisit librement les quatre sommets du dessus et ne fait suivre que le dessous : sur la face du dessus aussi, deux voisins doivent différer.

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Exercice 10

Deux pavés droits ont le même volume et la même hauteur. La base du premier est un rectangle de $4$ sur $9$ . La base du second est un rectangle dont un côté mesure $3$ . Comparez les périmètres des deux bases.

Le périmètre de la base du second est plus grand
Le périmètre de la base du premier est plus grand
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
Les deux périmètres sont égaux

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Le périmètre de la base du second est plus grand

Corrigé :

4 \cdot 9 = 36

même volume et même hauteur : même aire de base

\frac{36}{3} = 12

l'autre côté de la seconde base

\begin{aligned}2(4 + 9) &= 26 < 2(3 + 12) \\ &= 30\end{aligned}

les deux périmètres

La bonne réponse : « Le périmètre de la base du second est plus grand ». « Le périmètre de la base du premier est plus grand » suppose la seconde base carrée, $6 \times 6$ , de périmètre $24$ . « Les deux périmètres sont égaux » croit qu'une même aire donne un même périmètre. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il manque le second côté : l'aire de la base le donne.

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Exercices

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