Série 1 — Les gestes de base

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions au format de l'examen. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, soit une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours « Le réflexe solide » et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Dans cette série, chaque question tient en une formule, et chaque formule a ses deux pièges : le carré du rayon et le tiers du cône et de la pyramide. Avant de calculer, écrivez la formule entière, puis entourez ce qui est au carré et ce qui est divisé par trois.

Exercices

Exercice 1

Un prisme droit a pour bases deux octogones. Combien a-t-il d'arêtes ?

  1. 2424
  2. 1010
  3. 1616
  4. 88
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2424

Corrigé :

8+8=168 + 8 = 16

les arêtes des deux bases

16+8=2416 + 8 = 24

plus une arête latérale par sommet de la base

La bonne réponse : « 2424 ». « 1616 » oublie les arêtes latérales qui relient les deux bases. « 1010 » est le nombre de faces : deux bases et huit faces latérales. « 88 » ne compte que les arêtes latérales.

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Exercice 2

Une pyramide a pour base un carré de côté 66 et pour hauteur 1010. Quel est son volume ?

  1. 120120
  2. 2020
  3. 360360
  4. 8080
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 120120

Corrigé :

S=62=36\begin{aligned}S &= 6^{2} \\ &= 36\end{aligned}

l'aire de la base, pas son côté

V=36⋅103=120\begin{aligned}V &= \frac{36 \cdot 10}{3} \\ &= 120\end{aligned}

le tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur

La bonne réponse : « 120120 ». « 360360 » oublie le tiers : c'est le volume du pavé de même base et de même hauteur. « 8080 » met le périmètre de la base, 2424, à la place de son aire. « 2020 » met le côté, 66, à la place de l'aire.

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Exercice 3

Deux cubes d'arête 55 sont collés face contre face. Quelle est l'aire totale du solide obtenu ?

  1. 275275
  2. 300300
  3. 200200
  4. 250250
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 250250

Corrigé :

2⋅6⋅25=3002 \cdot 6 \cdot 25 = 300

les deux cubes séparés : six faces de 2525 chacun

300−2⋅25=250300 - 2 \cdot 25 = 250

le collage cache une face de chaque cube

2(25+50+50)=2502(25 + 50 + 50) = 250

vérification : le solide est un pavé 5×5×105 \times 5 \times 10

La bonne réponse : « 250250 ». « 300300 » n'enlève rien : les deux faces collées ne sont plus à l'extérieur. « 275275 » n'enlève qu'une face, alors que le collage en cache deux, une de chaque cube. « 200200 » enlève deux faces par cube, quatre en tout.

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Exercice 4

L'aire totale d'un cube vaut 150150. Un disque a pour rayon l'arête de ce cube. Quelle est l'aire de ce disque ?

  1. 752π\frac{75}{2}\pi
  2. 25π25\pi
  3. 10π10\pi
  4. 5π5\pi
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 25π25\pi

Corrigé :

a2=1506=25\begin{aligned}a^{2} &= \frac{150}{6} \\ &= 25\end{aligned}

une face sur six

πa2=25π\pi a^{2} = 25\pi

a2a^{2} est déjà le carré du rayon : inutile de calculer l'arête

La bonne réponse : « 25π25\pi ». « 752π\frac{75}{2}\pi » partage l'aire entre quatre faces au lieu de six. « 5π5\pi » extrait la racine, a=5a = 5, puis oublie de l'élever au carré dans πr2\pi r^{2}. « 10π10\pi » est le périmètre du disque, 2π⋅52\pi \cdot 5, pas son aire.

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Exercice 5

Un pavé droit a pour dimensions 33, 44 et 1212. Quelle est la longueur de sa diagonale, le segment qui joint deux sommets opposés en traversant le pavé ?

  1. 19\sqrt{19}
  2. 4104\sqrt{10}
  3. 1313
  4. 1919
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 1313

Corrigé :

32+42=5\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5

premier Pythagore : la diagonale de la face 3×43 \times 4

52+122=169=13\begin{aligned}\sqrt{5^{2} + 12^{2}} &= \sqrt{169} \\ &= 13\end{aligned}

second Pythagore : cette diagonale et la troisième dimension

La bonne réponse : « 1313 ». « 1919 » additionne les trois dimensions, 3+4+123 + 4 + 12 : une diagonale n'est pas un chemin le long des arêtes. « 4104\sqrt{10} » s'arrête après un seul Pythagore : c'est la diagonale de la face 4×124 \times 12. « 19\sqrt{19} » prend la racine de la somme des dimensions, sans les élever au carré.

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Exercice 6

Une boîte en forme de pavé mesure 44 sur 44 sur 1212. On y place deux cubes d'arête 44, puis on remplit exactement le reste avec des petits cubes d'arête 22. Combien de petits cubes faut-il ?

  1. 2020
  2. 2424
  3. 1616
  4. 88
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 88

Corrigé :

4⋅4⋅12=1924 \cdot 4 \cdot 12 = 192

le volume de la boîte

192−2⋅43=64192 - 2 \cdot 4^{3} = 64

le volume qui reste après les deux gros cubes

6423=8\frac{64}{2^{3}} = 8

un petit cube occupe 23=82^{3} = 8

La bonne réponse : « 88 ». « 2020 » retire, pour chaque gros cube, l'aire d'une face, 424^{2}, au lieu de son volume : 192−328\frac{192 - 32}{8}. « 1616 » le divise par 222^{2}, l'aire d'une face. « 2424 » oublie les deux gros cubes : 1928\frac{192}{8} remplit la boîte entière.

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Exercice 7

Un cylindre de rayon 66 et de hauteur 44 est plein d'eau. On verse toute l'eau dans un cylindre de rayon 33. Jusqu'à quelle hauteur l'eau monte-t-elle ?

  1. 1616
  2. 3232
  3. 11
  4. 88
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 1616

Corrigé :

V=π⋅62⋅4=144π\begin{aligned}V &= \pi \cdot 6^{2} \cdot 4 \\ &= 144\pi\end{aligned}

le volume, du côté où tout est donné

π⋅32⋅x=144π⇒x=16\begin{aligned}\pi \cdot 3^{2} \cdot x &= 144\pi \Rightarrow x \\ &= 16\end{aligned}

le même volume sur la nouvelle base

La bonne réponse : « 1616 ». « 88 » oublie le carré : le rayon est divisé par 22, donc l'aire de la base par 44, et la hauteur est multipliée par 44, pas par 22. « 11 » applique le rapport à l'envers, comme si l'eau passait dans un récipient plus large. « 3232 » met le rapport des rayons au cube, comme pour des solides semblables.

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Exercice 8

Un cylindre a un rayon rr et une hauteur hh. Un cône a un rayon 2r2r et la même hauteur hh. Par combien faut-il multiplier le volume du cylindre pour obtenir celui du cône ?

  1. 13\frac{1}{3}
  2. 44
  3. 23\frac{2}{3}
  4. 43\frac{4}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 43\frac{4}{3}

Corrigé :

V1=πr2hV_{1} = \pi r^{2} h

le cylindre

V2=π(2r)2h3=43πr2h\begin{aligned}V_{2} &= \frac{\pi (2r)^{2} h}{3} \\ &= \frac{4}{3} \pi r^{2} h\end{aligned}

le rayon double compte au carré, puis le tiers du cône

La bonne réponse : « 43\frac{4}{3} ». « 23\frac{2}{3} » oublie le carré du rayon : doubler le rayon multiplie l'aire de la base par 44. « 44 » oublie le tiers du cône. « 13\frac{1}{3} » oublie que le rayon a doublé : c'est le cône de même base.

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Exercice 9

Un cube d'arête aa et un cylindre de même hauteur aa ont le même volume. Quel est le rayon du cylindre ?

  1. aπ\frac{a}{\sqrt{\pi}}
  2. 2aπ\frac{2a}{\sqrt{\pi}}
  3. a2π\frac{a^{2}}{\pi}
  4. aπ\frac{a}{\pi}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A aπ\frac{a}{\sqrt{\pi}}

Corrigé :

πr2a=a3\pi r^{2} a = a^{3}

les deux volumes

r2=a2πr^{2} = \frac{a^{2}}{\pi}

on divise par πa\pi a

r=aπr = \frac{a}{\sqrt{\pi}}

la racine porte aussi sur π\pi

La bonne réponse : « aπ\frac{a}{\sqrt{\pi}} ». « aπ\frac{a}{\pi} » prend la racine de a2a^{2} mais oublie celle de π\pi. « a2π\frac{a^{2}}{\pi} » s'arrête à r2r^{2}. « 2aπ\frac{2a}{\sqrt{\pi}} » est le diamètre, pas le rayon.

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Exercice 10

Dans un cube, on part d'un sommet PP. On trace la diagonale d'une face qui contient PP, issue de PP, puis l'arête issue de PP qui n'appartient pas à cette face. Quel angle ces deux segments font-ils ?

  1. 60∘60^{\circ}
  2. 45∘45^{\circ}
  3. 90∘90^{\circ}
  4. On ne peut pas le savoir avec ces seules données
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 90∘90^{\circ}

Corrigé :

areˆte⊥face\text{arête} \perp \text{face}

l'arête qui sort de la face en PP est perpendiculaire à cette face

90∘90^{\circ}

donc à toute droite de la face qui passe par PP, la diagonale comprise

La bonne réponse : « 90∘90^{\circ} ». « 60∘60^{\circ} » lit l'angle sur le dessin en perspective et croit voir un triangle équilatéral : le triangle formé par les deux segments a des côtés aa, a2a\sqrt{2} et a3a\sqrt{3}. « 45∘45^{\circ} » est l'angle entre la diagonale et une arête de la même face. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit que l'angle dépend de la taille du cube : un angle ne change pas quand on agrandit la figure.

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