On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Trois questions du chapitre « Solides », trois formes différentes, chacune déroulée une étape par clic. Cherchez avant de cliquer : l'animation ne sert à rien si vous lisez la solution d'un trait. Sous chaque scène, une question jumelle attend — même geste, autres nombres.

Le but n'est pas d'apprendre trois recettes, mais de nommer la forme en dix secondes. Avant chaque scène, demandez-vous : est-ce un volume qui change de récipient, une longueur à mesurer à plat, ou un mouvement à compter ?

1 — Le volume qui traverse

La forme la plus fréquente du chapitre, et la plus mécanique. Elle a l'air longue parce qu'elle décrit deux récipients ; en réalité elle tient dans une seule égalité, et les deux formules ne sont là que pour la remplir.

À vous. Même geste, autres dimensions — et cette fois le résultat n'est pas π\pi tout rond.

2 — La longueur qui se mesure à plat

Dès qu'un énoncé fait courir quelque chose sur un solide — un escargot, une ficelle, un ruban adhésif —, la question n'est pas dans l'espace. Dépliez la surface, et il reste un triangle rectangle.

À vous. Un rouleau plus étroit et plus haut, et un chemin qui tombe encore juste.

3 — Le mouvement qui se compte

Celle-ci ne se calcule pas du tout. Elle se joue — mais pas jusqu'au bout : au-delà de quelques pas, on compte les tours au lieu de les mimer.

À vous. Dix basculements : ne les dessinez pas tous.

Exercices

Exercice 1

Un verre cylindrique de rayon 44 et de hauteur 99 est rempli à ras bord, puis vidé dans une boîte dont le fond mesure 2424 par 1212. Jusqu'à quelle hauteur l'eau monte-t-elle dans la boîte ?

  1. π\pi
  2. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. π2\dfrac{\pi}{2}
  4. 2π2\pi
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C π2\dfrac{\pi}{2}

Corrigé :

V=π⋅42⋅9=144π\begin{aligned}V &= \pi \cdot 4^{2} \cdot 9 \\ &= 144\pi\end{aligned}

le volume, du côté où toutes les mesures sont données

24⋅12⋅h=144π24 \cdot 12 \cdot h = 144\pi

le même volume, écrit avec la formule de la boîte

h=144π288=π2\begin{aligned}h &= \frac{144\pi}{288} \\ &= \frac{\pi}{2}\end{aligned}

la base vaut le double du volume sans π\pi

La bonne réponse : « π2\dfrac{\pi}{2} ». La base de la boîte vaut 288288, et le volume 144π144\pi : il reste la moitié de π\pi. « π\pi » oublie de multiplier les deux dimensions de la base, ou reprend par réflexe le résultat de la scène précédente. « 2π2\pi » retourne la fraction. « π4\dfrac{\pi}{4} » divise une fois de trop — sans doute en confondant le rayon et le diamètre.

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Exercice 2

Un rouleau de carton a un périmètre de base de 1616 et une hauteur de 1212. Un escargot monte du bas vers le point situé juste au-dessus, en faisant exactement un tour, par le plus court chemin. Quelle distance parcourt-il ?

  1. 28\sqrt{28}
  2. 1212
  3. 2828
  4. 2020
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 2020

Corrigé :

deˊplieˊ:16×12\text{déplié} : 16 \times 12

la surface latérale est un rectangle

162+122=400=20\begin{aligned}\sqrt{16^{2} + 12^{2}} &= \sqrt{400} \\ &= 20\end{aligned}

un tour exactement : c'est la diagonale

La bonne réponse : « 2020 ». Une fois le carton à plat, le chemin est la diagonale d'un rectangle 16×1216 \times 12. « 2828 » additionne les deux côtés au lieu de prendre l'hypoténuse — c'est le chemin qui monte tout droit puis fait le tour, plus long. « 1212 » est la hauteur seule, c'est-à-dire le chemin d'un escargot qui ne tournerait pas. « 28\sqrt{28} » additionne les côtés sous le radical au lieu de leurs carrés.

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Exercice 3

Une boîte est posée sur une table, vue de côté, et un de ses coins est marqué en bas à gauche. On la fait rouler vers la droite en la basculant dix fois sur son arête. Où se trouve le coin marqué à la fin ?

  1. En haut à droite
  2. En bas à droite
  3. En bas à gauche
  4. En haut à gauche
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A En haut à droite

Corrigé :

10=4⋅2+210 = 4 \cdot 2 + 2

deux tours complets, puis deux basculements

bas gauche→haut gauche→haut droite\text{bas gauche} \to \text{haut gauche} \to \text{haut droite}

il ne reste que deux pas à jouer

La bonne réponse : « en haut à droite ». Quatre basculements forment un cycle complet : huit d'entre eux ramènent le coin exactement à sa position de départ, et il ne reste que deux pas à jouer — en haut à gauche, puis en haut à droite. « En bas à gauche » serait la réponse pour un multiple de 44, donc pour huit ou douze basculements. « En haut à gauche » s'arrête un pas trop tôt, « en bas à droite » en fait un de trop.

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Exercice 4

Un verre cylindrique de rayon 22 et de hauteur 1818 est plein. On le vide dans un récipient cylindrique de rayon 66. Jusqu'à quelle hauteur l'eau monte-t-elle ?

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Réponse : 2

Corrigé :

V=π⋅22⋅18=72π\begin{aligned}V &= \pi \cdot 2^{2} \cdot 18 \\ &= 72\pi\end{aligned}

le volume du verre

π⋅62⋅x=72π⇒x=7236=2\begin{aligned}\pi \cdot 6^{2} \cdot x &= 72\pi \Rightarrow x \\ &= \frac{72}{36} \\ &= 2\end{aligned}

le π\pi se simplifie des deux côtés

x=2x = 2. Le piège : le rayon est trois fois plus grand, donc le fond neuf fois plus grand, et la hauteur est divisée par 99, pas par 33 (18÷3=618 \div 3 = 6 est faux).

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Exercice 5

Une boîte de dimensions 66, 44 et 55 est pleine d'eau. On la vide dans un cylindre de rayon 22. Jusqu'à quelle hauteur l'eau monte-t-elle ?

  1. 30π\dfrac{30}{\pi}
  2. 3030
  3. 60π\dfrac{60}{\pi}
  4. 30π30\pi
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Réponse : A 30π\dfrac{30}{\pi}

Corrigé :

V=6⋅4⋅5=120\begin{aligned}V &= 6 \cdot 4 \cdot 5 \\ &= 120\end{aligned}

le volume, sans π\pi cette fois

π⋅22⋅x=120⇒x=1204π=30π\begin{aligned}\pi \cdot 2^{2} \cdot x &= 120 \Rightarrow x \\ &= \frac{120}{4\pi} \\ &= \frac{30}{\pi}\end{aligned}

le π\pi passe au dénominateur

La bonne réponse : « 30π\dfrac{30}{\pi} ». « 3030 » oublie le π\pi du fond. « 60π\dfrac{60}{\pi} » ne met pas le rayon au carré (2π2\pi au lieu de 4π4\pi). « 30π30\pi » multiplie par π\pi au lieu de diviser.

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Exercice 6

Un rouleau a un périmètre de base de 2424 et une hauteur de 77. Une ficelle monte du bas jusqu'au point situé juste au-dessus, en faisant exactement un tour, par le plus court chemin. Quelle est sa longueur ?

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Réponse : 25

Corrigé :

deˊplieˊ:24×7\text{déplié} : 24 \times 7

la surface latérale à plat

242+72=625=25\begin{aligned}\sqrt{24^{2} + 7^{2}} &= \sqrt{625} \\ &= 25\end{aligned}

la diagonale du rectangle

2525. Le piège : additionner 24+7=3124 + 7 = 31, c'est faire le tour puis monter. La ficelle tendue suit la diagonale.

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Exercice 7

Un rouleau a un périmètre de base de 33 et une hauteur de 88. Un escargot qui monte en faisant exactement deux tours, par le plus court chemin, parcourt 1010.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

deˊplieˊ:(2×3)×8=6×8\text{déplié} : (2 \times 3) \times 8 = 6 \times 8

deux tours : deux rectangles côte à côte

62+82=100=10\begin{aligned}\sqrt{6^{2} + 8^{2}} &= \sqrt{100} \\ &= 10\end{aligned}

une seule diagonale

Vrai. Deux tours doublent la largeur, pas la hauteur. Le piège : calculer un tour, 32+82=73\sqrt{3^{2} + 8^{2}} = \sqrt{73}, puis doubler — on trouve 273≈172\sqrt{73} \approx 17, beaucoup trop.

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Exercice 8

Une boîte est posée sur une table, vue de côté, un de ses coins marqué en bas à gauche. On la fait rouler vers la droite en la basculant sept fois sur son arête. Où se trouve le coin marqué à la fin ?

  1. En haut à droite
  2. En haut à gauche
  3. En bas à droite
  4. En bas à gauche
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Réponse : C En bas à droite

Corrigé :

7=4⋅1+37 = 4 \cdot 1 + 3

un tour complet, puis trois basculements

bas gauche→haut gauche→haut droite→bas droite\text{bas gauche} \to \text{haut gauche} \to \text{haut droite} \to \text{bas droite}

trois pas à jouer

La bonne réponse : « en bas à droite ». « En haut à droite » s'arrête après deux pas, « en haut à gauche » après un. « En bas à gauche » serait juste pour un multiple de 44 : huit basculements, pas sept.

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Exercice 9

La même boîte, coin marqué en bas à gauche, est basculée 2020 fois vers la droite. Combien de fois le coin marqué se retrouve-t-il en bas à gauche après un basculement, le dernier compris ?

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Réponse : 5

Corrigé :

4, 8, 12, 16, 204,\ 8,\ 12,\ 16,\ 20

le coin revient à sa place à chaque multiple de 44

20÷4=520 \div 4 = 5

cinq tours complets

55. Le piège : compter la position de départ (66), qui n'est pas « après un basculement », ou oublier le dernier (44).

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Exercice 10

Un cône plein d'eau, de rayon 33 et de hauteur 1212, est vidé dans un cylindre de rayon 33. L'eau y monte jusqu'à 44.

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Réponse : Vrai

Corrigé :

V=π⋅32⋅123=36π\begin{aligned}V &= \frac{\pi \cdot 3^{2} \cdot 12}{3} \\ &= 36\pi\end{aligned}

le volume du cône

π⋅32⋅x=36π⇒x=4\begin{aligned}\pi \cdot 3^{2} \cdot x &= 36\pi \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

le même fond : un tiers de la hauteur

Vrai. Même base : le cône remplit le cylindre jusqu'au tiers de sa propre hauteur, 12÷3=412 \div 3 = 4. Le piège : oublier le 13\tfrac13 du cône et trouver 1212.

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