Le réflexe solide

Sur les vingt-cinq sessions dépouillées, une à deux questions par examen portent sur un solide.

Elles ne demandent presque jamais d'appliquer une formule telle quelle. Elles demandent de voir qu'un volume ne change pas de récipient, qu'un rayon doublé vaut une aire quadruplée, ou qu'un couteau enlève une face et en ouvre cinq.

Ce cours tient en six gestes. Le premier passe les cinq solides en revue ; les cinq autres sont les cinq façons dont l'examen s'en sert.

Avant les formules, le vocabulaire : un énoncé l'emploie sans le définir.

Un solide a des faces (les surfaces plates ou courbes qui le ferment), des arêtes (les segments où deux faces se rencontrent) et des sommets (les points où les arêtes se rejoignent).

Sa base est la face sur laquelle on l'imagine posé. Sa hauteur se mesure perpendiculairement à cette base — jamais le long d'un côté penché.

Six faces carrées identiques, douze arêtes toutes égales, huit sommets. C'est le seul solide dont une seule mesure décrit tout. Si son arête vaut $a$ :

Retenez aussi la diagonale d'une face, $a\sqrt{2}$, et la diagonale du cube lui-même, $a\sqrt{3}$ : l'examen les demande sans jamais les donner.

Six faces rectangulaires, opposées deux à deux. Trois mesures le décrivent : longueur $a$, largeur $b$, hauteur $c$.

Le cube n'est qu'un pavé où $a = b = c$ — c'est exactement ce que dit le formulaire de l'examen, et c'est pour cela qu'il ne donne pas de ligne séparée pour le cube.

Deux disques identiques et une surface courbe entre les deux. Deux mesures : le rayon de la base $r$ et la hauteur $h$.

L'aire latérale explique à elle seule un tiers des questions de ce chapitre.

$2\pi r$ est le périmètre de la base, et $h$ la hauteur. La surface courbe d'un cylindre est donc un rectangle : on la découpe le long d'une verticale, et on l'aplatit.

Un disque et une pointe. Le formulaire ne donne que son volume :

L'aire d'un cône n'est jamais demandée, et pour une bonne raison : elle exige la longueur du côté penché, que l'examen ne donne pas. Si une question semble la réclamer, c'est qu'elle demande autre chose.

Une base polygonale et une pointe. Le formulaire ne donne, là encore, que le volume :

Remarquez que $S$ désigne une aire, pas une longueur : une base carrée de côté $6$ donne $S = 36$, pas $S = 6$. C'est l'erreur la plus fréquente sur cette formule.

Elle n'existe pas ici. Sur les vingt-cinq sessions dépouillées, dans les deux langues, aucune question quantitative ne porte sur une sphère, et le formulaire n'en dit pas un mot.

Vous n'avez à retenir ni $\frac{4}{3}\pi r^{3}$ ni $4\pi r^{2}$. Le mot « boule » des énoncés désigne un objet qu'on tire d'un sac, jamais un solide qu'on mesure.

La forme la plus fréquente du chapitre. On remplit un récipient, on le vide dans un autre, et on demande une dimension du second. Il n'y a qu'une seule équation dans toute la question :

Le reste n'est que le remplacement de $V$ par la formule du récipient concerné. Et l'ordre compte : on calcule d'abord le volume du côté où toutes les mesures sont données, jamais du côté où il en manque une.

La même idée sert quand on emboîte au lieu de verser : combien de petits cubes tiennent dans un pavé, combien de verres remplissent un seau.

On divise un volume par un autre, et rien de plus — à condition que les formes s'emboîtent sans laisser de vide, ce que l'énoncé précise toujours.

Le geste qui répond sans calculer un seul volume.

Si toutes les longueurs d'un solide sont multipliées par $k$, chacune de ses aires est multipliée par $k^{2}$ et son volume par $k^{3}$. Cela vaut pour n'importe quel solide et n'importe quelle aire — une face, l'aire totale, une section.

Et la règle se lit dans les deux sens, ce que l'examen exploite au moins une fois par an.

Si un énoncé dit « le volume est multiplié par $2$ », alors $k^{3} = 2$, donc $k = \sqrt[3]{2}$. L'aire est alors multipliée par $k^{2} = \sqrt[3]{4}$ — jamais par $2$.

Trois opérations, une seule méthode : ne jamais recompter le solide entier. On part de l'aire connue et on la corrige.

Découper. Un couteau fait deux choses à la fois : il emporte ce que le morceau retiré montrait à l'extérieur, et il met à l'air libre les parois du trou. Posez deux colonnes, et faites la différence.

Dérouler. La surface latérale d'un cylindre est un rectangle de largeur $2\pi r$ et de hauteur $h$.

Un chemin tracé sur le cylindre garde sa longueur une fois le carton à plat. Dépliez d'abord : la question devient un triangle rectangle.

Assembler. Coller deux solides fait disparaître deux faces — une de chaque côté.

L'aire de l'assemblage est donc la somme des aires moins deux fois la surface de contact. Le volume, lui, s'additionne simplement.

Une question revient sous plusieurs habillages : le volume d'un cube vaut $V$ cm³, son aire vaut $F$ cm². Laquelle des deux est la plus grande ?

Les quatre options proposent $F < V$, $F > V$, $F = V$ et « on ne peut pas le déterminer ». C'est la quatrième qui est juste — une bonne réponse attestée, pas une échappatoire.

La raison est courte : pour un cube d'arête $a$, $V = a^{3}$ et $F = 6a^{2}$. Ces deux nombres s'égalisent en $a = 6$ ; en dessous $F$ l'emporte, au-dessus c'est $V$. L'énoncé ne donne pas $a$, donc il ne décide pas.

Plus profondément : $V$ et $F$ ne se comparent pas, parce qu'ils dépendent de l'unité.

Le même cube peut renverser l'inégalité : d'un mètre d'arête, il donne $F > V$ en mètres, et $F < V$ en millimètres. Deux grandeurs d'unités différentes ne se rangent pas.

Une question sur quatre de ce chapitre ne demande aucun calcul. Elle demande de compter, de tourner ou de reconnaître. Trois réflexes suffisent.

Compter. Un pavé a $6$ faces, $12$ arêtes, $8$ sommets. Une pyramide à base carrée : $5$ faces, $8$ arêtes, $5$ sommets.

Une pyramide à base de $n$ côtés a donc $n+1$ faces, $2n$ arêtes, $n+1$ sommets. Comptez la base à part du reste, toujours, et vous ne vous tromperez pas.

Tourner. Faire rouler une boîte sur une table est une opération périodique : quatre basculements la ramènent dans la même position, et chaque coin marqué à sa place.

Divisez le nombre de basculements par $4$, gardez le reste, et jouez seulement les pas qui restent.

Reconnaître le plan caché dans l'espace. Beaucoup de questions qui parlent d'un cube sont en réalité des questions de géométrie plane.

Une diagonale de face est l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle : elle vaut $a\sqrt2$.

Deux diagonales de face issues d'un même sommet forment, avec celle qui joint leurs extrémités, un triangle équilatéral : elles font un angle de $60°$. Cherchez toujours le triangle avant une formule de volume.

Et la ligne la plus rentable du chapitre : pas de sphère. Si vous croyez avoir besoin de $\frac{4}{3}\pi r^{3}$, relisez l'énoncé — vous avez lu autre chose que ce qui est écrit.