Série 5 — Le niveau de l'examen · Triangles particuliers · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, de la plus simple à la plus exigeante. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

À ce niveau, la question ne dit pas quel triangle chercher. Écrivez d'abord ce que l'énoncé impose (un milieu, une tangence, une même hauteur, deux longueurs égales), puis nommez le triangle particulier qui en sort. Une option « on ne peut pas le savoir » n'est juste que si vous trouvez deux figures conformes à l'énoncé qui donnent deux réponses.

Exercices

Exercice 1

Dans le parallélogramme ABCD, AD = $9$ , AB = $x + 9$ (avec $x > 0$ ), et l'angle DAB mesure $64^\circ$ . E est le point du côté AB tel que EB = $x$ . Quelle est la mesure de l'angle CDE ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$116^\circ$
$58^\circ$
$122^\circ$
$64^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $58^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}AE &= (x + 9) - x \\ &= 9 \\ &= AD\end{aligned}

le triangle ADE est isocèle de sommet A

\begin{aligned}\widehat{AED} &= \frac{180^\circ - 64^\circ}{2} \\ &= 58^\circ\end{aligned}

ses angles à la base

\begin{aligned}\widehat{CDE} &= \widehat{AED} \\ &= 58^\circ\end{aligned}

angles alternes-internes : DC est parallèle à AB

La bonne réponse : « $58^\circ$ ». « $116^\circ$ » prend le supplémentaire de l'angle A, l'angle ADC entier. « $64^\circ$ » recopie l'angle A, sans voir le triangle isocèle. « $122^\circ$ » est l'angle DEB, le supplémentaire de l'angle cherché de l'autre côté de DE.

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Exercice 2

Les triangles ABC et ABD, où C et D sont deux points distincts, sont du même côté de la droite AB et ont la même aire. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

AC = BD
La droite CD est parallèle à AB
AD et BC se coupent en leur milieu
CD = AB

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B La droite CD est parallèle à AB

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{AB \times h_C}{2} &= \frac{AB \times h_D}{2} \ \Rightarrow\ h_C \\ &= h_D\end{aligned}

même base AB, même aire : même hauteur

C et D sont à la même distance de AB, du même côté : ils sont sur une parallèle à AB. Rien ne fixe leur écart sur cette parallèle

La bonne réponse : « La droite CD est parallèle à AB ». Les trois autres sont des propriétés du parallélogramme ABDC, qu'on se représente volontiers sans que l'énoncé l'impose : C et D peuvent glisser sur la parallèle. « CD = AB » n'est vrai que pour un écart particulier. « AC = BD » non plus : C peut s'éloigner de A sans que D bouge. « AD et BC se coupent en leur milieu » est la propriété des diagonales d'un parallélogramme, qui ne tient que si ABDC en est un.

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Exercice 3

Dans le trapèze ABCD, les bases AB et DC sont parallèles, AB = $a$ et DC = $b$ . E est un point de la base AB, et l'aire du triangle DEC vaut $S$ . Quelle est l'aire du trapèze ?

$\frac{S(a+b)}{b}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$2S$
$\frac{S(a+b)}{a}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{S(a+b)}{b}$

Corrigé :

\begin{aligned}S &= \frac{b \times h}{2} \ \Rightarrow\ h \\ &= \frac{2S}{b}\end{aligned}

le sommet E est sur l'autre base : la hauteur du triangle DEC est celle du trapèze, où que soit E

\frac{a + b}{2} \times \frac{2S}{b} = \frac{S(a+b)}{b}

l'aire du trapèze

La bonne réponse : « $\frac{S(a+b)}{b}$ ». « $\frac{S(a+b)}{a}$ » prend AB pour la base du triangle DEC, alors que sa base est DC. « $2S$ » croit que le triangle couvre toujours la moitié du trapèze, ce qui ne vaut que si les deux bases sont égales. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut la place de E ou la hauteur ; la hauteur se tire de $S$ et de $b$ .

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Exercice 4

Dans le triangle ABC, rectangle en C, la hauteur issue de C coupe l'hypoténuse en H, avec AH = $a$ et CH = $2a$ . Quelle est la longueur de BC ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$a\sqrt{5}$
$5a$
$4a$
$2a\sqrt{5}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $2a\sqrt{5}$

Corrigé :

\begin{aligned}CH^2 &= AH \times HB \ \Rightarrow\ HB \\ &= \frac{4a^2}{a} \\ &= 4a\end{aligned}

AHC et CHB sont semblables : la hauteur est la moyenne géométrique des deux projections

\begin{aligned}BC &= \sqrt{CH^2 + HB^2} \\ &= \sqrt{4a^2 + 16a^2} \\ &= 2a\sqrt{5}\end{aligned}

Pythagore dans CHB, rectangle en H

La bonne réponse : « $2a\sqrt{5}$ ». « $4a$ » s'arrête à HB, la projection de BC sur l'hypoténuse. « $a\sqrt{5}$ » est l'autre côté de l'angle droit, AC, $\sqrt{a^2 + 4a^2}$ . « $5a$ » est l'hypoténuse AB, $a + 4a$ , et non un côté de l'angle droit.

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Exercice 5

Un cercle de rayon $r$ passe par les six sommets d'un hexagone régulier. Un second cercle, de même centre, touche les six côtés de l'hexagone. Quelle est l'aire de la couronne comprise entre les deux cercles ?

$\frac{\pi r^2}{4}$
$\pi r^2\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$\frac{3\pi r^2}{4}$
$\frac{\pi r^2}{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{\pi r^2}{4}$

Corrigé :

a = r

les six rayons menés aux sommets découpent l'hexagone en six équilatéraux : le côté vaut le rayon du grand cercle

\rho = \frac{r\sqrt{3}}{2}

le rayon du petit cercle va du centre au milieu d'un côté : c'est la hauteur d'un de ces équilatéraux

\begin{aligned}\pi r^2 - \pi \left(\frac{r\sqrt{3}}{2}\right)^2 &= \pi r^2 - \frac{3\pi r^2}{4} \\ &= \frac{\pi r^2}{4}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{\pi r^2}{4}$ ». « $\frac{3\pi r^2}{4}$ » prend pour rayon du petit cercle la moitié du côté, $\frac{r}{2}$ , au lieu de la hauteur d'un équilatéral. « $\pi r^2\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ » oublie d'élever au carré le facteur $\frac{\sqrt{3}}{2}$ du petit rayon. « $\frac{\pi r^2}{3}$ » échange les rôles des deux cercles : il prend $r$ pour le rayon du cercle inscrit, d'où un grand rayon $\frac{2r}{\sqrt{3}}$ .

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Exercice 6

Un octogone régulier a des côtés de longueur $a$ . Quelle est son aire ?

$a^2(3+2\sqrt{2})$
$2a^2(1+\sqrt{2})$
$a^2\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)$
$a^2(1+2\sqrt{2})$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $2a^2(1+\sqrt{2})$

Corrigé :

\begin{aligned}c &= a + 2 \times \frac{a}{\sqrt{2}} \\ &= a(1+\sqrt{2})\end{aligned}

on complète l'octogone en carré : chaque coin ajouté est un demi-carré d'hypoténuse $a$

4 \times \frac{1}{2}\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = a^2

l'aire des quatre coins

a^2(1+\sqrt{2})^2 - a^2 = a^2(2 + 2\sqrt{2})

le carré moins les coins

La bonne réponse : « $2a^2(1+\sqrt{2})$ ». « $a^2(3+2\sqrt{2})$ » est l'aire du carré entier : les quatre coins n'ont pas été retirés. « $a^2(1+2\sqrt{2})$ » prend $a$ pour les côtés des coins, qui pèsent alors $\frac{a^2}{2}$ chacun : c'est leur hypoténuse qui vaut $a$ . « $a^2\left(\frac{1}{2}+\sqrt{2}\right)$ » n'ajoute qu'un coin au côté du carré, $a\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ .

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Exercice 7

Deux cordes AB et CD d'un cercle se coupent en P, et P est le milieu de chacune d'elles. On sait que AC = $6$ et AD = $8$ . Quelle est l'aire du disque ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$25\pi$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$100\pi$
$10\pi$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $25\pi$

Corrigé :

\begin{aligned}PA &= PB \\ \quad PC &= PD\end{aligned}

les diagonales du quadrilatère ACBD se coupent en leur milieu : c'est un parallélogramme

\widehat{CAD} = 90^\circ

un parallélogramme inscrit dans un cercle est un rectangle (ses angles opposés, égaux, doivent faire $180^\circ$ ) : ses diagonales AB et CD sont des diamètres

\begin{aligned}CD &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10 \ \Rightarrow\ r \\ &= 5 \\ \ \ \pi r^2 &= 25\pi\end{aligned}

La bonne réponse : « $25\pi$ ». « $100\pi$ » prend le diamètre, $10$ , pour le rayon. « $10\pi$ » calcule le périmètre du cercle au lieu de l'aire du disque. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » ne voit pas l'angle droit : les deux milieux font des deux cordes des diamètres.

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Exercice 8

Un cercle de centre O et de rayon $10$ touche la droite d au point T. A est un point du cercle, plus proche de d que O, situé à $6$ de la droite OT. La demi-droite OA coupe d en Q. Quelle est la longueur TQ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$6$
$12$
$4{,}8$
$7{,}5$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $7{,}5$

Corrigé :

\sqrt{10^2 - 6^2} = 8

A est à $8$ de la parallèle à d menée par O : triangle rectangle d'hypoténuse OA = $10$

\begin{aligned}\frac{TQ}{6} &= \frac{OT}{8} \\ &= \frac{10}{8}\end{aligned}

OT est perpendiculaire à la tangente : le petit triangle rectangle de sommet O, de côtés $8$ et $6$ , et le grand, de côtés OT = $10$ et TQ, sont semblables (Thalès)

\begin{aligned}TQ &= \frac{60}{8} \\ &= 7{,}5\end{aligned}

La bonne réponse : « $7{,}5$ ». « $12$ » suppose A au milieu de OQ, comme le dessin peut le laisser croire. « $4{,}8$ » renverse le rapport : $6 \times \frac{8}{10}$ . « $6$ » place Q juste au-dessus de A, comme si OA était perpendiculaire à OT.

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Exercice 9

Les points A, B et C sont sur un cercle de centre O, avec AB = AC, et l'angle BAC mesure $x$ , avec $x < 90^\circ$ . Quelle est la mesure de l'angle ABO ?

$2x$
$90^\circ - \frac{x}{2}$
$90^\circ - x$
$\frac{x}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{x}{2}$

Corrigé :

\widehat{BOC} = 2x

l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc BC

\begin{aligned}\widehat{OBC} &= \frac{180^\circ - 2x}{2} \\ &= 90^\circ - x\end{aligned}

OB = OC : le triangle BOC est isocèle

\begin{aligned}\widehat{ABC} &= \frac{180^\circ - x}{2} \\ &= 90^\circ - \frac{x}{2}\end{aligned}

AB = AC : le triangle ABC est isocèle

\begin{aligned}\widehat{ABO} &= \left(90^\circ - \frac{x}{2}\right) - (90^\circ - x) \\ &= \frac{x}{2}\end{aligned}

O est à l'intérieur du triangle, puisque $x < 90^\circ$

La bonne réponse : « $\frac{x}{2}$ ». « $90^\circ - x$ » s'arrête à l'angle OBC, l'angle à la base du triangle BOC. « $90^\circ - \frac{x}{2}$ » est l'angle ABC entier, sans en retrancher OBC. « $2x$ » est l'angle au centre BOC.

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Exercice 10

A, B et C sont trois points du plan tels que AB = BC = CA = $12$ . Pour quelles valeurs de $d$ existe-t-il un point P du plan tel que PA = PB = PC = $d$ ?

Pour une seule valeur : $d = 4\sqrt{3}$
Pour toute valeur $d \geq 4\sqrt{3}$
Pour une seule valeur : $d = 2\sqrt{3}$
Pour une seule valeur : $d = 6\sqrt{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Pour une seule valeur : $d = 4\sqrt{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}PA &= PB \\ &= PC\end{aligned}

P est sur les médiatrices des trois côtés : dans le plan, elles ne se coupent qu'au centre du triangle

\frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}

la hauteur du triangle

\frac{2}{3} \times 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

le centre est aux deux tiers de chaque hauteur, depuis le sommet : un seul point, une seule distance

La bonne réponse : « Pour une seule valeur : $d = 4\sqrt{3}$ ». « Pour toute valeur $d \geq 4\sqrt{3}$ » pense à des points de plus en plus loin, sur un cercle plus grand, ou hors du plan, au-dessus du centre : dans le plan, aucun autre point n'est équidistant des trois sommets. « Pour une seule valeur : $d = 6\sqrt{3}$ » prend la hauteur entière pour la distance du centre au sommet. « Pour une seule valeur : $d = 2\sqrt{3}$ » prend le tiers de la hauteur, qui est la distance du centre aux côtés.

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Exercices

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