Série 4 — Tangentes, losanges et chasse aux angles

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Dix questions au format de l'examen, de la plus simple à la plus exigeante. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Marquez sur la figure toutes les égalités cachées : deux tangentes menées d'un même point, deux rayons, deux côtés d'un losange, deux aires égales. Chacune donne un triangle isocèle ou un triangle rectangle, et c'est là que la question se résout.

Exercices

Exercice 1

1410ABCDO

Le rectangle ABCD a pour côtés AB = 1414 et AD = 1010. Un disque de rayon 33 est posé dans le coin A : il touche les côtés AB et AD. Quelle est la distance entre le centre du disque et le sommet C ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

  1. 170\sqrt{170}
  2. 274−32\sqrt{74} - 3
  3. 221\sqrt{221}
  4. 274−322\sqrt{74} - 3\sqrt{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 170\sqrt{170}

Corrigé :

O=(3, 3)O = (3,\ 3)

avec A à l'origine : le centre est à 33 de chacun des deux côtés qu'il touche

C=(14, 10)C = (14,\ 10)
112+72=170\sqrt{11^2 + 7^2} = \sqrt{170}

les écarts 14−314 - 3 et 10−310 - 3 sont les côtés de l'angle droit

La bonne réponse : « 170\sqrt{170} ». « 221\sqrt{221} » place le centre sur le côté AB, à 33 de A, au lieu de le décaler de 33 vers l'intérieur dans les deux directions. « 274−32\sqrt{74} - 3 » retranche le rayon de la diagonale AC : le centre n'est ni sur cette diagonale, ni à 33 de A. « 274−322\sqrt{74} - 3\sqrt{2} » retranche la distance de A au centre, ce qui ne vaut que si le centre est sur la diagonale AC, donc pour un carré.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

1012ABCDE

ABCD est un cerf-volant convexe : AB = AD et CB = CD. Ses diagonales AC et BD se coupent en E. Les triangles ABD et CBD ont la même aire. AB = 1010 et BD = 1212. Quelle est la longueur de AC ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

  1. On ne peut pas le savoir avec ces seules données
  2. 1616
  3. 10210\sqrt{2}
  4. 88
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 1616

Corrigé :

[ABD]=BD×AE2[CBD]=BD×CE2\begin{aligned}[ABD] &= \frac{BD \times AE}{2} \\ \quad [CBD] &= \frac{BD \times CE}{2}\end{aligned}

les diagonales d'un cerf-volant sont perpendiculaires : AE et CE sont les hauteurs des deux triangles, sur la même base BD

AE=CEAE = CE

aires égales, même base

AE=102−62=8 ⇒ AC=16\begin{aligned}AE &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8 \ \Rightarrow\ AC \\ &= 16\end{aligned}

E est le milieu de BD : Pythagore dans ABE

La bonne réponse : « 1616 ». « 88 » s'arrête à AE, la moitié de la diagonale. « 10210\sqrt{2} » suppose un carré et prend la diagonale égale au côté fois 2\sqrt{2}. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » ne voit pas que l'égalité des aires impose AE = CE.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

ABCOPQR

Un cercle de centre O et de rayon 33 est inscrit dans le triangle ABC : il touche AB en P, BC en R et CA en Q. On sait que AQ = 55 et BR = 88. Quelle est l'aire du triangle OAB ?

  1. On ne peut pas le savoir avec ces seules données
  2. 3939
  3. 1212
  4. 19,519{,}5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 19,519{,}5

Corrigé :

AP=AQ=5BP=BR=8\begin{aligned}AP &= AQ \\ &= 5 \\ \quad BP &= BR \\ &= 8\end{aligned}

deux tangentes menées d'un même point au cercle sont égales

AB=5+8=13\begin{aligned}AB &= 5 + 8 \\ &= 13\end{aligned}
13×32=19,5\frac{13 \times 3}{2} = 19{,}5

OP, le rayon mené au point de contact, est perpendiculaire à AB : c'est la hauteur de OAB

La bonne réponse : « 19,519{,}5 ». « 1212 » prend BR = 8 pour le côté AB entier : 8×32\frac{8 \times 3}{2}. « 3939 » oublie la moitié de la formule de l'aire. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » cherche les côtés du triangle ABC, inutiles : seuls AB et la hauteur OP comptent.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Un cylindre a une hauteur de 6π6\pi et un rayon de 44. Une fourmi part d'un point du bord de la base inférieure et monte jusqu'au point situé juste au-dessus, sur le bord de la base supérieure, en faisant exactement un tour autour du cylindre. Quelle est la longueur du chemin le plus court ?

  1. 10π10\pi
  2. 29π2+162\sqrt{9\pi^2 + 16}
  3. 2π132\pi\sqrt{13}
  4. 14π14\pi
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 10π10\pi

Corrigé :

2π×4=8π2\pi \times 4 = 8\pi

on déroule la surface latérale : un rectangle dont la largeur est la circonférence

(8π)2+(6π)2=10π\sqrt{(8\pi)^2 + (6\pi)^2} = 10\pi

le chemin devient la diagonale du rectangle : le triplet 6-8-10

La bonne réponse : « 10π10\pi ». « 14π14\pi » additionne la hauteur et la circonférence : monter puis tourner n'est pas le plus court. « 29π2+162\sqrt{9\pi^2 + 16} » prend le diamètre, 88, pour la largeur du rectangle déroulé. « 2π132\pi\sqrt{13} » ne compte qu'un demi-tour, 4π4\pi.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Les angles d'un triangle mesurent xx, yy et zz, avec x<zx < z et y<zy < z. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

  1. x=yx = y
  2. xx et yy sont des angles aigus
  3. x+y>zx + y > z
  4. zz est un angle obtus
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B xx et yy sont des angles aigus

Corrigé :

x≥90∘ ⇒ z>90∘ ⇒ x+z>180∘x \geq 90^\circ \ \Rightarrow\ z > 90^\circ \ \Rightarrow\ x + z > 180^\circ

si xx n'était pas aigu, zz, plus grand, ne le serait pas non plus : deux tels angles ne tiennent pas dans un triangle ; de même pour yy

30∘, 70∘, 80∘30^\circ,\ 70^\circ,\ 80^\circ

un triangle où zz est aigu et où x≠yx \neq y

20∘, 30∘, 130∘20^\circ,\ 30^\circ,\ 130^\circ

un triangle où x+y<zx + y < z

La bonne réponse : « xx et yy sont des angles aigus ». Un triangle a au plus un angle qui n'est pas aigu, et c'est forcément le plus grand. « zz est un angle obtus » croit que le plus grand angle est obtus : 30∘30^\circ, 70∘70^\circ, 80∘80^\circ le dément. « x=yx = y » confond « tous deux plus petits que zz » avec « égaux ». « x+y>zx + y > z » transporte aux angles l'inégalité des côtés : 20∘20^\circ, 30∘30^\circ, 130∘130^\circ la dément.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

abddABCD

Dans le quadrilatère ABCD, les angles ABC et ADC sont droits. AB = aa, BC = bb, et AD = DC = dd. Laquelle des égalités suivantes est nécessairement vraie ?

  1. a+b=d2a + b = d\sqrt{2}
  2. a=ba = b
  3. a2+b2=d2a^2 + b^2 = d^2
  4. a2+b2=2d2a^2 + b^2 = 2d^2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D a2+b2=2d2a^2 + b^2 = 2d^2

Corrigé :

AC2=a2+b2AC^2 = a^2 + b^2

Pythagore dans ABC, rectangle en B

AC2=d2+d2=2d2\begin{aligned}AC^2 &= d^2 + d^2 \\ &= 2d^2\end{aligned}

Pythagore dans ADC, rectangle en D, de l'autre côté de la même diagonale

a2+b2=2d2a^2 + b^2 = 2d^2

La bonne réponse : « a2+b2=2d2a^2 + b^2 = 2d^2 ». « a+b=d2a + b = d\sqrt{2} » égale des sommes de côtés au lieu de sommes de carrés. « a=ba = b » applique Pythagore aux triangles ABD et CBD, qui ne sont pas rectangles. « a2+b2=d2a^2 + b^2 = d^2 » prend AC égal à dd, alors que AC est l'hypoténuse de ADC.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

1612ABCD

Les diagonales du losange ABCD mesurent AC = 1616 et BD = 1212. On coupe les coins B et D du losange en joignant, pour chacun de ces deux sommets, les milieux des deux côtés qui y aboutissent. Quelle est l'aire de la partie restante, grisée sur la figure ?

  1. 144144
  2. 8484
  3. 4848
  4. 7272
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 7272

Corrigé :

16×122=96\frac{16 \times 12}{2} = 96

l'aire du losange

14×48=12\frac{1}{4} \times 48 = 12

chaque coin coupé est semblable au demi-losange ABC (ou ADC), d'aire 4848, avec le rapport 12\frac{1}{2} : son aire en est le quart

96−2×12=7296 - 2 \times 12 = 72

La bonne réponse : « 7272 ». « 4848 » prend le rapport des aires égal au rapport des côtés, 12\frac{1}{2} au lieu de 14\frac{1}{4}. « 144144 » oublie de diviser par 22 l'aire du losange : 192−2×24192 - 2 \times 24. « 8484 » ne retranche qu'un coin sur les deux.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

d₁d₂x?ABCEX

Les droites d1d_1 et d2d_2 sont parallèles. B et C sont sur d2d_2, A est sur d1d_1, et AB = BC. L'angle que fait BA avec le prolongement de CB au-delà de B mesure xx. E est un point de d1d_1, du même côté de A que C (voir la figure). Quelle est la mesure de l'angle EAC ?

  1. x2\frac{x}{2}
  2. xx
  3. 180∘−x180^\circ - x
  4. 90∘−x290^\circ - \frac{x}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A x2\frac{x}{2}

Corrigé :

ABC^=180∘−x\widehat{ABC} = 180^\circ - x

deux angles supplémentaires sur la droite d2d_2

BCA^=180∘−(180∘−x)2=x2\begin{aligned}\widehat{BCA} &= \frac{180^\circ - (180^\circ - x)}{2} \\ &= \frac{x}{2}\end{aligned}

ABC est isocèle de sommet principal B : ses angles en A et en C sont égaux

EAC^=ACB^=x2\begin{aligned}\widehat{EAC} &= \widehat{ACB} \\ &= \frac{x}{2}\end{aligned}

angles alternes-internes entre les deux parallèles

La bonne réponse : « x2\frac{x}{2} ». « 90∘−x290^\circ - \frac{x}{2} » prend xx pour l'angle au sommet B du triangle isocèle, au lieu de son supplémentaire. « 180∘−x180^\circ - x » est l'angle ABC lui-même. « xx » reporte l'angle donné par les parallèles, sans passer par le triangle isocèle.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

45°aABCDEF

ABCD est un losange de côté aa, et l'angle DAB mesure 45∘45^\circ. E est le pied de la perpendiculaire menée de D sur AB, et F le pied de la perpendiculaire menée de B sur DC. Quelle est l'aire du rectangle EBFD ?

  1. a24\frac{a^2}{4}
  2. a2(2−2)2\frac{a^2(2-\sqrt{2})}{2}
  3. a222\frac{a^2\sqrt{2}}{2}
  4. a2(2−1)2\frac{a^2(\sqrt{2}-1)}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D a2(2−1)2\frac{a^2(\sqrt{2}-1)}{2}

Corrigé :

DE=AE=a2\begin{aligned}DE &= AE \\ &= \frac{a}{\sqrt{2}}\end{aligned}

l'angle de 45∘45^\circ en A fait de ADE un demi-carré d'hypoténuse AD = aa

EB=a−a2EB = a - \frac{a}{\sqrt{2}}

le côté AB moins le décalage AE

(a−a2)a2=a222−a22=a2(2−1)2\begin{aligned}\left(a - \frac{a}{\sqrt{2}}\right)\frac{a}{\sqrt{2}} &= \frac{a^2\sqrt{2}}{2} - \frac{a^2}{2} \\ &= \frac{a^2(\sqrt{2}-1)}{2}\end{aligned}

La bonne réponse : « a2(2−1)2\frac{a^2(\sqrt{2}-1)}{2} ». « a2(2−2)2\frac{a^2(2-\sqrt{2})}{2} » prend le côté aa pour la hauteur du rectangle. « a222\frac{a^2\sqrt{2}}{2} » oublie de retrancher le décalage AE : c'est l'aire du losange, base aa fois hauteur. « a24\frac{a^2}{4} » divise aa par 22 au lieu de 2\sqrt{2}, pour la hauteur comme pour le décalage.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

mnABCPQRS

Le triangle ABC est équilatéral de côté ss. P est le point de AB tel que BP = mm ; la parallèle à AC menée par P coupe BC en Q. R est le point de AC tel que CR = nn ; la parallèle à AB menée par R coupe BC en S. On sait que m+n>sm + n > s. Quelle est la longueur de SQ ?

  1. s−m−ns - m - n
  2. m+nm + n
  3. 2s−m−n2s - m - n
  4. m+n−sm + n - s
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D m+n−sm + n - s

Corrigé :

BQ=BP=m\begin{aligned}BQ &= BP \\ &= m\end{aligned}

PQ est parallèle à AC : le triangle PBQ a les angles de ABC, il est équilatéral

SC=CR=n\begin{aligned}SC &= CR \\ &= n\end{aligned}

de même, RSC est équilatéral

SQ=BQ+SC−BC=m+n−s\begin{aligned}SQ &= BQ + SC - BC \\ &= m + n - s\end{aligned}

les deux bases se chevauchent sur SQ : leur somme dépasse BC de la partie commune

La bonne réponse : « m+n−sm + n - s ». « m+nm + n » additionne les deux bases sans retrancher le côté entier. « s−m−ns - m - n » retranche les longueurs données du côté au lieu de compter le chevauchement : le résultat est même négatif. « 2s−m−n2s - m - n » additionne les deux morceaux de BC laissés hors de chaque petit triangle, BS et QC, au lieu de les retrancher de BC.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe