Série 3 — Le triangle qu'on ne vous montre pas

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Dix questions au format de l'examen, de la plus simple à la plus exigeante. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Le triangle utile est rarement tracé. Tracez la hauteur, le rayon ou la perpendiculaire : le triangle rectangle qui apparaît porte la réponse. Pour deux triangles semblables, écrivez les côtés homologues face aux mêmes angles avant d'écrire la proportion.

Exercices

Exercice 1

Dans le triangle ABC, l'angle A est le double de l'angle B, et l'angle C est égal à la somme des angles A et B. Le côté AB mesure 1414. Quelle est la longueur du côté AC ?

  1. 727\sqrt{2}
  2. 143\frac{14}{3}
  3. 77
  4. 737\sqrt{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 77

Corrigé :

C^=A^+B^ ⇒ C^=90∘\begin{aligned}\widehat{C} &= \widehat{A} + \widehat{B} \ \Rightarrow\ \widehat{C} \\ &= 90^\circ\end{aligned}

C vaut la moitié de la somme des trois angles

B^=30∘A^=60∘\begin{aligned}\widehat{B} &= 30^\circ \\ \quad \widehat{A} &= 60^\circ\end{aligned}

A et B se partagent 90∘90^\circ dans le rapport 2:12 : 1

AC=142=7\begin{aligned}AC &= \frac{14}{2} \\ &= 7\end{aligned}

AC fait face à l'angle de 30∘30^\circ : la moitié de l'hypoténuse AB

La bonne réponse : « 77 ». « 143\frac{14}{3} » fait suivre aux côtés le rapport des angles, 30∘30^\circ contre 90∘90^\circ. « 737\sqrt{3} » est BC, le côté qui fait face à 60∘60^\circ. « 727\sqrt{2} » applique le demi-carré à un triangle qui n'a pas d'angle de 45∘45^\circ.

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Exercice 2

Un triangle rectangle isocèle est inscrit dans un cercle de rayon 66. Quelle est l'aire du triangle ?

  1. 7272
  2. 1818
  3. 3636
  4. 99
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 3636

Corrigé :

2×6=122 \times 6 = 12

un angle droit inscrit s'appuie sur un diamètre : l'hypoténuse vaut 1212

122=62 ⇒ (62)22=36\begin{aligned}\frac{12}{\sqrt{2}} &= 6\sqrt{2} \ \Rightarrow\ \frac{(6\sqrt{2})^2}{2} \\ &= 36\end{aligned}

les côtés de l'angle droit d'un demi-carré, puis l'aire

La bonne réponse : « 3636 ». « 99 » prend le rayon pour l'hypoténuse. « 7272 » prend le diamètre pour un côté de l'angle droit. « 1818 » prend le rayon pour un côté de l'angle droit.

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Exercice 3

ABCMH

Le triangle ABC est équilatéral. M est le milieu de BC, et H est le pied de la perpendiculaire menée de M sur AC. Quelle fraction de l'aire du triangle ABC le triangle MHC représente-t-il ?

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 18\frac{1}{8}
  3. 116\frac{1}{16}
  4. 14\frac{1}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 18\frac{1}{8}

Corrigé :

C^=60∘MHC^=90∘\begin{aligned}\widehat{C} &= 60^\circ \\ \quad \widehat{MHC} &= 90^\circ\end{aligned}

MHC est un triangle 30-60-90, semblable à AMC, qui est la moitié de ABC

MCAC=12 ⇒ [MHC][AMC]=14\begin{aligned}\frac{MC}{AC} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow\ \frac{[MHC]}{[AMC]} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

le rapport des hypoténuses, puis son carré pour les aires

14×12=18\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

La bonne réponse : « 18\frac{1}{8} ». « 14\frac{1}{4} » compare MHC à AMC, et oublie que AMC n'est que la moitié de ABC. « 12\frac{1}{2} » prend le rapport des côtés pour le rapport des aires. « 116\frac{1}{16} » élève au carré le rapport de HC à AC, 14\frac{1}{4} : ces deux côtés ne se correspondent pas.

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Exercice 4

k

Un hexagone régulier est posé dans un rectangle : deux de ses côtés opposés sont sur les deux longueurs du rectangle, et deux de ses sommets opposés touchent les deux largeurs (voir la figure). La largeur du rectangle, son petit côté, vaut kk. Quel est le périmètre de l'hexagone ?

  1. 2k32k\sqrt{3}
  2. 4k34k\sqrt{3}
  3. 3k23k\sqrt{2}
  4. 3k3k
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A 2k32k\sqrt{3}

Corrigé :

k=2×a32=a3\begin{aligned}k &= 2 \times \frac{a\sqrt{3}}{2} \\ &= a\sqrt{3}\end{aligned}

entre deux côtés opposés, l'hexagone mesure deux hauteurs d'équilatéral de côté aa

6a=6k3=2k3\begin{aligned}6a &= \frac{6k}{\sqrt{3}} \\ &= 2k\sqrt{3}\end{aligned}

La bonne réponse : « 2k32k\sqrt{3} ». « 3k3k » confond la largeur avec la grande diagonale, 2a2a, qui joint deux sommets opposés. « 3k23k\sqrt{2} » utilise 2\sqrt{2}, comme dans un carré. « 4k34k\sqrt{3} » prend la largeur pour une hauteur d'équilatéral, a32\frac{a\sqrt{3}}{2}, au lieu de deux.

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Exercice 5

hhx?ABCDEF

Les triangles ABC et DEF sont isocèles : AB = AC et DE = DF. On sait que AB = DE, et que la hauteur issue de A dans ABC est égale à la hauteur issue de D dans DEF. L'angle ABC mesure xx. Que vaut nécessairement l'angle EDF ?

  1. xx
  2. On ne peut pas le savoir avec ces seules données
  3. 90∘−x290^\circ - \frac{x}{2}
  4. 180∘−2x180^\circ - 2x
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 180∘−2x180^\circ - 2x

Corrigé :

DEF^=ABC^=x\begin{aligned}\widehat{DEF} &= \widehat{ABC} \\ &= x\end{aligned}

chaque hauteur coupe son triangle en deux triangles rectangles ; avec la même hypoténuse (AB = DE) et le même côté (la hauteur), Pythagore donne la même demi-base : les deux triangles ont la même forme

EDF^=180∘−2x\widehat{EDF} = 180^\circ - 2x

le sommet principal reçoit ce que laissent les deux angles à la base

La bonne réponse : « 180∘−2x180^\circ - 2x ». « 90∘−x290^\circ - \frac{x}{2} » applique la formule de l'angle à la base, comme si xx était l'angle au sommet. « xx » suppose les triangles équilatéraux, ou l'angle au sommet égal à l'angle à la base, sans raison. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » ne voit pas que la hauteur et le côté égal fixent toute la forme du triangle.

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Exercice 6

Un triangle a des angles de 30∘30^\circ, 60∘60^\circ et 90∘90^\circ, et l'un de ses côtés mesure 1010. Combien de triangles différents (non superposables) répondent à cette description ?

  1. 11
  2. 33
  3. 66
  4. 22
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 33

Corrigé :

10, 103, 2010,\ 10\sqrt{3},\ 20

si 1010 fait face à 30∘30^\circ

103, 10, 203\frac{10}{\sqrt{3}},\ 10,\ \frac{20}{\sqrt{3}}

si 1010 fait face à 60∘60^\circ

5, 53, 105,\ 5\sqrt{3},\ 10

si 1010 est l'hypoténuse : trois rôles, trois triangles de tailles différentes

La bonne réponse : « 33 ». « 11 » croit qu'une longueur fixe le triangle, sans se demander quel côté elle mesure. « 22 » ne fait jouer à 1010 que les deux côtés de l'angle droit, et oublie l'hypoténuse. « 66 » compte aussi les triangles retournés ou tournés, qui sont superposables.

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Exercice 7

xyABC

Le triangle ABC est rectangle en C, avec CA = xx et CB = yy. Un carré a pour sommets C, un point de CA, un point de CB et un point de l'hypoténuse AB (voir la figure). Combien mesure le côté du carré ?

  1. x2x+y\frac{x^2}{x+y}
  2. xyx+y\frac{xy}{x+y}
  3. x+yxy\frac{x+y}{xy}
  4. y2x+y\frac{y^2}{x+y}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B xyx+y\frac{xy}{x+y}

Corrigé :

x−ss=xy\frac{x - s}{s} = \frac{x}{y}

le petit triangle du haut, de côtés x−sx - s (le long de CA) et ss, est semblable à ABC : x−sx - s correspond à CA, et ss à CB

xy−sy=sx ⇒ s=xyx+y\begin{aligned}xy - sy &= sx \ \Rightarrow\ s \\ &= \frac{xy}{x+y}\end{aligned}

La bonne réponse : « xyx+y\frac{xy}{x+y} ». « x2x+y\frac{x^2}{x+y} » associe x−sx - s à CB au lieu de CA : les côtés homologues du triangle du haut sont mal appariés. « y2x+y\frac{y^2}{x+y} » fait la même erreur dans le triangle de droite. « x+yxy\frac{x+y}{xy} » renverse le résultat : ce n'est même pas une longueur.

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Exercice 8

s

Un carré de côté ss est placé dans le coin d'un triangle rectangle isocèle : un de ses sommets est le sommet de l'angle droit, deux de ses côtés sont sur les côtés de l'angle droit, et le sommet opposé est sur l'hypoténuse. Quel est le périmètre du triangle ?

  1. 4s+s24s + s\sqrt{2}
  2. 4s+2s24s + 2s\sqrt{2}
  3. 8s8s
  4. 2s+s22s + s\sqrt{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 4s+2s24s + 2s\sqrt{2}

Corrigé :

s+s=2ss + s = 2s

au-dessus du carré reste un petit triangle rectangle isocèle de côté ss : chaque côté de l'angle droit vaut s+ss + s

2s+2s+2s2=4s+2s22s + 2s + 2s\sqrt{2} = 4s + 2s\sqrt{2}

l'hypoténuse d'un demi-carré de côté 2s2s vaut 2s22s\sqrt{2}

La bonne réponse : « 4s+2s24s + 2s\sqrt{2} ». « 2s+s22s + s\sqrt{2} » prend ss pour le côté du triangle : il manque le morceau qui dépasse le carré. « 8s8s » prend l'hypoténuse égale à la somme des deux autres côtés. « 4s+s24s + s\sqrt{2} » prend pour hypoténuse la diagonale du carré, s2s\sqrt{2}, qui va du coin jusqu'à l'hypoténuse.

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Exercice 9

tABCEH

Le triangle ABC est isocèle, avec AB = AC, et H est le pied de la hauteur issue de A. On prolonge BC au-delà de C jusqu'au point E tel que CE = BC. On note BE = tt. Quelle est la longueur de HC ?

  1. t2\frac{t}{2}
  2. On ne peut pas le savoir avec ces seules données
  3. t4\frac{t}{4}
  4. 3t4\frac{3t}{4}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C t4\frac{t}{4}

Corrigé :

BC=t2BC = \frac{t}{2}

C est le milieu de BE

HC=BC2=t4\begin{aligned}HC &= \frac{BC}{2} \\ &= \frac{t}{4}\end{aligned}

dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal tombe au milieu de la base

La bonne réponse : « t4\frac{t}{4} ». « t2\frac{t}{2} » est BC entier : le pied de la hauteur n'a pas été placé au milieu. « 3t4\frac{3t}{4} » est HE, de H jusqu'au bout du segment. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » ne voit pas que H est le milieu de BC dans tout triangle isocèle.

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Exercice 10

818ABCH

Dans le triangle ABC, rectangle en C, H est le pied de la hauteur issue de C. AB = 1818 et AH = 88. Quelle est la longueur de AC ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

  1. 454\sqrt{5}
  2. 1212
  3. 656\sqrt{5}
  4. 2652\sqrt{65}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 1212

Corrigé :

ACAB=AHAC ⇒ AC2=AB×AH\begin{aligned}\frac{AC}{AB} &= \frac{AH}{AC} \ \Rightarrow\ AC^2 \\ &= AB \times AH\end{aligned}

les triangles AHC et ACB sont semblables : l'angle A est commun, et chacun a un angle droit

AC2=18×8=144 ⇒ AC=12\begin{aligned}AC^2 &= 18 \times 8 \\ &= 144 \ \Rightarrow\ AC \\ &= 12\end{aligned}

La bonne réponse : « 1212 ». « 2652\sqrt{65} » applique Pythagore à AB et AH, 182−82\sqrt{18^2 - 8^2}, qui ne sont pas les côtés d'un même triangle rectangle. « 656\sqrt{5} » utilise la projection voisine, HB = 10 : c'est BC. « 454\sqrt{5} » est la hauteur CH, 8×10\sqrt{8 \times 10}.

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