Série 2 — Demi-carrés et demi-équilatéraux · Triangles particuliers · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, de la plus simple à la plus exigeante. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Dès qu'un angle de $45^\circ$ , $30^\circ$ ou $60^\circ$ touche un angle droit, posez sur la figure les proportions $1 : 1 : \sqrt{2}$ ou $1 : \sqrt{3} : 2$ avant de calculer. Et quand une donnée semble manquer, demandez-vous si la réponse en dépend vraiment.

Exercices

Exercice 1

On veut placer dans un plan plusieurs points, de sorte que la distance entre deux quelconques d'entre eux soit toujours la même. Combien de points peut-on placer au plus ?

$6$
$4$
Autant qu'on veut
$3$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $3$

Corrigé :

\begin{aligned}AB &= BC \\ &= CA\end{aligned}

trois points à égale distance forment un triangle équilatéral

\frac{AB}{\sqrt{3}} < AB

un quatrième point devrait être à égale distance de A, B et C : ce ne peut être que le centre du triangle, et il est trop près des sommets

La bonne réponse : « $3$ ». « $4$ » pense au carré : ses côtés sont égaux, mais ses diagonales sont plus longues (dans l'espace, le tétraèdre régulier en place quatre, pas dans un plan). « $6$ » pense à l'hexagone régulier, dont seuls les sommets voisins sont à la même distance. « Autant qu'on veut » pense aux points d'un cercle : ils sont tous à la même distance du centre, pas les uns des autres.

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Exercice 2

Le triangle OAB est rectangle en O, l'origine du repère ; A est sur l'axe des x et B sur l'axe des y. P est le milieu de OA, Q le milieu de OB, et R le milieu de PQ. Le point R a pour coordonnées $(3, 5)$ . Quelles sont les coordonnées de B ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$(0, 12)$
$(20, 0)$
$(0, 20)$
$(0, 10)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $(0, 20)$

Corrigé :

\begin{aligned}P &= \left(\tfrac{a}{2}, 0\right) \\ \quad Q &= \left(0, \tfrac{b}{2}\right)\end{aligned}

avec A = (a, 0) et B = (0, b)

\begin{aligned}R &= \left(\tfrac{a}{4}, \tfrac{b}{4}\right) \\ &= (3, 5)\end{aligned}

un milieu a pour coordonnées la moyenne des coordonnées

\begin{aligned}b &= 4 \times 5 \\ &= 20\end{aligned}

B = (0, 20)

La bonne réponse : « $(0, 20)$ ». « $(20, 0)$ » place B sur l'axe des x : abscisse et ordonnée inversées. « $(0, 10)$ » ne remonte qu'un milieu sur les deux : c'est Q. « $(0, 12)$ » part de l'abscisse de R, $3$ , qui donne A = (12, 0), et non B.

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Exercice 3

On a dessiné $14$ triangles qui ont tous une base de $9$ . La moyenne de leurs hauteurs, sur cette base, est $h$ . Quelle est la somme de leurs aires ?

$126h$
$\frac{9h}{2}$
$63h$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $63h$

Corrigé :

\frac{9}{2}\,(h_1 + h_2 + \dots + h_{14})

même base : la somme des aires est la demi-base fois la somme des hauteurs

\begin{aligned}h_1 + \dots + h_{14} &= 14h \ \Rightarrow\ \frac{9}{2} \times 14h \\ &= 63h\end{aligned}

la somme se tire de la moyenne

La bonne réponse : « $63h$ ». « $126h$ » oublie la moitié de la formule de l'aire. « $\frac{9h}{2}$ » est l'aire d'un seul triangle « moyen » : il manque le facteur $14$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut chaque hauteur séparément ; seule leur somme compte.

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Exercice 4

Dans le triangle ABC, rectangle en C, CA = $12$ et CB = $16$ . D et E sont deux points du côté CB, à des places que l'énoncé ne précise pas, avec DE = $7$ . Quelle est l'aire de la partie grisée, le triangle ABC privé du triangle ADE ?

$54$
$42$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$12$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $54$

Corrigé :

\frac{12 \times 16}{2} = 96

l'aire du grand triangle

\frac{7 \times 12}{2} = 42

le triangle blanc ADE : sa base DE est sur CB, et sa hauteur est CA, quelle que soit la place de D et de E

96 - 42 = 54

La bonne réponse : « $54$ ». « $42$ » est l'aire du triangle blanc, pas celle de la partie grisée. « $12$ » oublie de diviser par $2$ l'aire du triangle blanc : $96 - 7 \times 12$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » veut calculer les deux triangles gris un par un, ce qui demande CD et EB ; la différence, elle, n'en a pas besoin.

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Exercice 5

Dans le trapèze ABCD, les bases AB et DC sont parallèles, AB = $x$ et DC = $4x$ . P est un point de DC et Q un point de AB. L'aire du triangle ABP vaut $S$ . Quelle est l'aire du triangle DCQ ?

$16S$
$\frac{S}{4}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$4S$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $4S$

Corrigé :

\begin{aligned}h_{ABP} &= h_{DCQ} \\ &= h\end{aligned}

le sommet de chaque triangle est sur l'autre base : les deux hauteurs valent la hauteur du trapèze

\frac{4x \cdot h / 2}{x \cdot h / 2} = 4

même hauteur : les aires sont dans le rapport des bases

La bonne réponse : « $4S$ ». « $16S$ » élève le rapport des bases au carré, comme pour deux triangles semblables ; ces deux triangles ne le sont pas. « $\frac{S}{4}$ » renverse le rapport. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut connaître la place de P et de Q ; elle ne change ni les bases ni la hauteur.

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Exercice 6

ABCD est un trapèze isocèle de bases AB et DC (AD = BC), et l'angle ABC mesure $110^\circ$ . E est un point de DC tel que l'angle DAE mesure $35^\circ$ . Quelle est la mesure de l'angle AEC ?

$75^\circ$
$145^\circ$
$110^\circ$
$105^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $105^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{C} &= 180^\circ - 110^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

deux angles adjacents à un même côté oblique sont supplémentaires

\begin{aligned}\widehat{D} &= \widehat{C} \\ &= 70^\circ\end{aligned}

trapèze isocèle : les angles à la base sont égaux

\begin{aligned}\widehat{AEC} &= 70^\circ + 35^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

angle extérieur du triangle ADE en E : la somme des deux angles qui ne le touchent pas

La bonne réponse : « $105^\circ$ ». « $75^\circ$ » est l'angle intérieur AED du petit triangle, le supplémentaire de l'angle cherché. « $110^\circ$ » recopie l'angle de la figure. « $145^\circ$ » additionne $110^\circ$ et $35^\circ$ : il prend l'angle en B pour l'angle en D, sans passer par le supplémentaire.

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Exercice 7

Dans un rectangle, la diagonale fait un angle de $30^\circ$ avec la longueur (le grand côté). Le périmètre du rectangle vaut $p$ . Quelle est sa largeur (le petit côté) ?

$\frac{p\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}+1)}$
$\frac{p}{2(\sqrt{3}+1)}$
$\frac{p}{4}$
$\frac{p}{\sqrt{3}+1}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $\frac{p}{2(\sqrt{3}+1)}$

Corrigé :

L = \ell\sqrt{3}

la diagonale découpe un triangle 30-60-90 : la largeur fait face à $30^\circ$ , la longueur à $60^\circ$

\ell + \ell\sqrt{3} = \frac{p}{2}

le demi-périmètre est la somme des deux côtés

\ell = \frac{p}{2(\sqrt{3}+1)}

La bonne réponse : « $\frac{p}{2(\sqrt{3}+1)}$ ». « $\frac{p\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}+1)}$ » est la longueur : le rapport $\sqrt{3}$ a été posé à l'envers. « $\frac{p}{4}$ » traite le rectangle comme un carré. « $\frac{p}{\sqrt{3}+1}$ » égale la somme des deux côtés au périmètre entier, au lieu du demi-périmètre.

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Exercice 8

Un cercle de rayon $r$ est inscrit dans un hexagone régulier : il touche ses six côtés. Quel est le périmètre de l'hexagone ?

$3r\sqrt{3}$
$2r\sqrt{3}$
$4r\sqrt{3}$
$6r$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $4r\sqrt{3}$

Corrigé :

r = \frac{a\sqrt{3}}{2}

l'hexagone est fait de six équilatéraux de côté $a$ ; le rayon inscrit est la hauteur de l'un d'eux

\begin{aligned}a &= \frac{2r}{\sqrt{3}} \ \Rightarrow\ 6a \\ &= \frac{12r}{\sqrt{3}} \\ &= 4r\sqrt{3}\end{aligned}

La bonne réponse : « $4r\sqrt{3}$ ». « $6r$ » prend le rayon inscrit pour le rayon circonscrit, qui est égal au côté. « $3r\sqrt{3}$ » multiplie $r$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ au lieu de diviser : $a = \frac{r\sqrt{3}}{2}$ . « $2r\sqrt{3}$ » divise par $\sqrt{3}$ en oubliant le $2$ : $a = \frac{r}{\sqrt{3}}$ .

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Exercice 9

On coupe les quatre coins d'un carré, chacun suivant un triangle rectangle isocèle, pour obtenir un octogone régulier de côté $a$ . Quel est le côté du carré de départ ?

$a(1+\sqrt{2})$
$a(1+2\sqrt{2})$
$a\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
$3a$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $a(1+\sqrt{2})$

Corrigé :

c = \frac{a}{\sqrt{2}}

un coin coupé est un demi-carré d'hypoténuse $a$ : ses deux autres côtés valent $\frac{a}{\sqrt{2}}$

a + 2 \times \frac{a}{\sqrt{2}} = a + a\sqrt{2}

le côté du carré : un côté de l'octogone et deux coins

La bonne réponse : « $a(1+\sqrt{2})$ ». « $a\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ » n'ajoute qu'un coin sur les deux. « $3a$ » prend les côtés des coins égaux à $a$ : c'est leur hypoténuse qui vaut $a$ . « $a(1+2\sqrt{2})$ » multiplie par $\sqrt{2}$ au lieu de diviser pour passer de l'hypoténuse aux côtés.

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Exercice 10

ABCD est un trapèze isocèle de bases AB et DC, avec AB < DC. Ses côtés obliques mesurent $2a$ , sa petite base AB mesure $3a$ , et ses angles à la grande base valent $60^\circ$ . Quelle est son aire ?

$\frac{7a^2\sqrt{3}}{2}$
$(3+\sqrt{3})\,a^2$
$8a^2$
$4a^2\sqrt{3}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $4a^2\sqrt{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}DH &= a \\ \quad AH &= a\sqrt{3}\end{aligned}

la hauteur AH découpe un triangle 30-60-90 d'hypoténuse $2a$ : $a$ face à $30^\circ$ , $a\sqrt{3}$ face à $60^\circ$

\begin{aligned}DC &= a + 3a + a \\ &= 5a\end{aligned}

une projection de chaque côté de la petite base

\frac{3a + 5a}{2} \times a\sqrt{3} = 4a^2\sqrt{3}

La bonne réponse : « $4a^2\sqrt{3}$ ». « $8a^2$ » prend le côté oblique $2a$ pour la hauteur. « $\frac{7a^2\sqrt{3}}{2}$ » n'ajoute qu'une projection à la grande base, $4a$ au lieu de $5a$ . « $(3+\sqrt{3})\,a^2$ » échange $30^\circ$ et $60^\circ$ : une hauteur $a$ et des projections $a\sqrt{3}$ .

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Exercices

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