Série 1 — Les triangles du formulaire · Triangles particuliers · Psychométriques

Dix questions au format de l'examen, de la plus simple à la plus exigeante. Lancez le chrono : dix minutes pour la série, une minute par question, le rythme du jour J. Cochez vos dix réponses avant d'ouvrir le moindre corrigé, puis corrigez d'un bloc et comptez vos points sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : relisez le corrigé de chaque erreur et nommez le piège qui vous a eu. Cinq ou moins : revenez au cours du chapitre et à l'unité « On résout ensemble » avant de continuer.

Avant tout calcul, repérez l'hypoténuse et cherchez ce qui fixe la forme : un triplet, un facteur commun, un triangle 30-60-90 ou un demi-carré. Et ce sont les carrés des côtés qui s'additionnent, jamais les côtés.

Exercices

Exercice 1

Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit mesurent $33$ et $44$ . Quelle est la longueur de l'hypoténuse ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$\sqrt{77}$
$11\sqrt{7}$
$77$
$55$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $55$

Corrigé :

\begin{aligned}33 &= 11 \times 3 \\ \quad 44 &= 11 \times 4\end{aligned}

un facteur commun, $11$ : c'est le triplet 3-4-5 agrandi $11$ fois

11 \times 5 = 55

l'hypoténuse suit le $5$ du triplet ; aucun carré à calculer

La bonne réponse : « $55$ ». « $77$ » additionne les deux côtés : ce sont leurs carrés qui s'additionnent. « $\sqrt{77}$ » prend la racine de la somme des côtés, sans les élever au carré. « $11\sqrt{7}$ » soustrait les carrés, $\sqrt{44^2 - 33^2}$ , comme si $44$ était l'hypoténuse.

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Exercice 2

Un triangle isocèle a une base de $13$ , et chacun de ses deux côtés égaux mesure un nombre entier. Quel est le plus petit périmètre qu'il puisse avoir ?

$27$
$26$
$25$
$39$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $27$

Corrigé :

x + x > 13

les deux côtés égaux, mis bout à bout, doivent dépasser la base

x > 6{,}5 \ \Rightarrow\ x = 7

le plus petit entier qui convient

13 + 7 + 7 = 27

La bonne réponse : « $27$ ». Des côtés de $7$ sur une base de $13$ donnent un triangle très aplati, mais un vrai triangle. « $25$ » prend des côtés de $6$ : $6 + 6 = 12$ ne dépasse pas $13$ , les deux côtés ne se rejoignent pas. « $26$ » prend $6{,}5$ , la moitié de la base : ce n'est pas un entier, et le triangle serait plat. « $39$ » croit que les côtés égaux doivent mesurer au moins la base, et s'arrête au triangle équilatéral.

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Exercice 3

Les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle mesurent $7$ et $9$ . On construit un carré sur l'hypoténuse (voir la figure). Quelle est l'aire de ce carré ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$256$
$63$
$130$
$\sqrt{130}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $130$

Corrigé :

c^2 = 7^2 + 9^2

l'aire du carré est le carré de son côté, l'hypoténuse $c$

49 + 81 = 130

inutile de calculer $c$ : l'aire vaut directement $c^2$

La bonne réponse : « $130$ ». « $256$ » élève au carré la somme des côtés, $(7 + 9)^2$ , au lieu d'additionner leurs carrés. « $63$ » multiplie les deux côtés : c'est le double de l'aire du triangle, pas l'aire du carré. « $\sqrt{130}$ » est le côté du carré, l'hypoténuse, et non son aire.

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Exercice 4

Les angles d'un triangle sont dans le rapport $1 : 2 : 3$ . Son plus petit côté mesure $9$ . Quelle est la longueur de son plus grand côté ?

$18$
$9\sqrt{2}$
$9\sqrt{3}$
$27$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $18$

Corrigé :

\begin{aligned}x + 2x + 3x &= 180^\circ \ \Rightarrow\ x \\ &= 30^\circ\end{aligned}

les angles valent $30^\circ$ , $60^\circ$ et $90^\circ$

9 \times 2 = 18

le plus petit côté fait face à $30^\circ$ : il vaut la moitié de l'hypoténuse

La bonne réponse : « $18$ ». « $27$ » croit que les côtés suivent le rapport des angles, $1 : 3$ ; ils suivent $1 : \sqrt{3} : 2$ . « $9\sqrt{3}$ » est le côté moyen, celui qui fait face à $60^\circ$ . « $9\sqrt{2}$ » applique le demi-carré, comme si le triangle avait deux angles de $45^\circ$ .

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Exercice 5

Un pavé droit a pour dimensions $2a$ , $3a$ et $6a$ . Quelle est la longueur de sa grande diagonale, celle qui joint deux sommets opposés ?

$49a^2$
$3a\sqrt{5}$
$7a$
$11a$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $7a$

Corrigé :

(2a)^2 + (3a)^2 = 13a^2

Pythagore sur la base $2a \times 3a$ : le carré de sa diagonale

\begin{aligned}13a^2 + (6a)^2 &= 49a^2 \ \Rightarrow\ d \\ &= 7a\end{aligned}

Pythagore une seconde fois, avec la hauteur $6a$

La bonne réponse : « $7a$ ». « $11a$ » additionne les trois dimensions. « $3a\sqrt{5}$ » s'arrête à la diagonale de la plus grande face, $3a \times 6a$ : il manque la troisième dimension. « $49a^2$ » est le carré de la diagonale : il manque la racine.

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Exercice 6

Un parallélogramme a des côtés de $12$ et $8$ , et l'un de ses angles mesure $45^\circ$ . Quelle est son aire ?

$96$
$96\sqrt{2}$
$48\sqrt{2}$
$48$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $48\sqrt{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}h &= \frac{8}{\sqrt{2}} \\ &= 4\sqrt{2}\end{aligned}

la hauteur abaissée sur le côté $12$ découpe un demi-carré (angle de $45^\circ$ ) d'hypoténuse $8$

12 \times 4\sqrt{2} = 48\sqrt{2}

base fois hauteur

La bonne réponse : « $48\sqrt{2}$ ». « $96$ » multiplie les deux côtés comme pour un rectangle : le côté oblique n'est pas la hauteur. « $48$ » divise $8$ par $2$ au lieu de $\sqrt{2}$ pour obtenir la hauteur. « $96\sqrt{2}$ » multiplie $8$ par $\sqrt{2}$ : c'est le chemin du côté vers la diagonale d'un carré, et ici on va de l'hypoténuse vers le côté.

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Exercice 7

Dans le triangle ABC, AB = AC. On prolonge le côté BA au-delà de A jusqu'à un point D (voir la figure). Quel est le rapport $\frac{\widehat{DAC}}{\widehat{ABC}}$ ?

$2$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$\frac{1}{2}$
$1$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $2$

Corrigé :

\widehat{DAC} = \widehat{B} + \widehat{C}

l'angle extérieur en A vaut la somme des deux angles intérieurs qui ne le touchent pas

\begin{aligned}\widehat{B} &= \widehat{C} \ \Rightarrow\ \widehat{DAC} \\ &= 2\,\widehat{B}\end{aligned}

AB = AC : les angles à la base sont égaux

La bonne réponse : « $2$ ». Le rapport ne dépend pas de la taille des angles. « $1$ » prend l'angle extérieur égal à un seul des deux angles opposés. « $\frac{1}{2}$ » renverse le rapport. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut la mesure d'un angle ; or l'égalité $\widehat{DAC} = 2\,\widehat{B}$ vaut pour tout triangle isocèle.

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Exercice 8

Un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $6a$ et $8a$ est inscrit dans un cercle (voir la figure). Quelle est l'aire du disque ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$100\pi a^2$
$50\pi a^2$
$25\pi a^2$
$10\pi a$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $25\pi a^2$

Corrigé :

\sqrt{(6a)^2 + (8a)^2} = 10a

l'hypoténuse : le triplet 6-8-10

\begin{aligned}r &= 5a \ \Rightarrow\ \pi (5a)^2 \\ &= 25\pi a^2\end{aligned}

un angle droit inscrit s'appuie sur un diamètre : l'hypoténuse est le diamètre

La bonne réponse : « $25\pi a^2$ ». « $100\pi a^2$ » prend l'hypoténuse pour le rayon : c'est le diamètre. « $50\pi a^2$ » part bien du diamètre, $10a$ , mais écrit l'aire du disque $\frac{\pi d^2}{2}$ au lieu de $\frac{\pi d^2}{4}$ : la moitié du diamètre n'a pas été élevée au carré. « $10\pi a$ » calcule le périmètre du cercle, pas l'aire du disque.

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Exercice 9

Deux triangles isocèles ont chacun deux côtés égaux de $17$ . La base du premier mesure $16$ , celle du second $30$ . Que peut-on dire de leurs aires ?

Les deux aires sont égales
Le second a la plus grande aire
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
Le premier a la plus grande aire

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A Les deux aires sont égales

Corrigé :

\begin{aligned}\sqrt{17^2 - 8^2} &= 15 \ \Rightarrow\ \frac{16 \times 15}{2} \\ &= 120\end{aligned}

premier triangle : la hauteur tombe au milieu de la base

\begin{aligned}\sqrt{17^2 - 15^2} &= 8 \ \Rightarrow\ \frac{30 \times 8}{2} \\ &= 120\end{aligned}

second triangle : la hauteur et la demi-base ont échangé leurs rôles

La bonne réponse : « Les deux aires sont égales ». Les deux triangles sont faits de demi-triangles 8-15-17. « Le second a la plus grande aire » croit que la plus grande base l'emporte, sans voir que la hauteur fond. « Le premier a la plus grande aire » fait le pari inverse, sur la hauteur seule. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » oublie que trois côtés fixent un triangle : chaque hauteur se calcule par Pythagore.

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Exercice 10

D'une figure, on ne connaît que l'aire. Pour laquelle des figures suivantes cette seule donnée suffit-elle à calculer le périmètre ?

un trapèze isocèle
un triangle isocèle
un rectangle
un triangle équilatéral

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D un triangle équilatéral

Corrigé :

\mathcal{A} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

l'équilatéral n'a qu'une longueur libre, son côté $a$ : l'aire le donne, donc le périmètre $3a$

\begin{aligned}4 \times 9 &= 6 \times 6 \\ &= 36\end{aligned}

deux rectangles de même aire $36$ , de périmètres $26$ et $24$ : l'aire ne fixe pas le rectangle

La bonne réponse : « un triangle équilatéral ». Sa forme est fixée, une seule longueur la décrit. « un rectangle » garde deux longueurs libres : $4 \times 9$ et $6 \times 6$ ont la même aire et pas le même périmètre. « un triangle isocèle » peut s'aplatir ou s'allonger à aire égale, en échangeant base et hauteur. « un trapèze isocèle » a trois longueurs libres : une figure « régulière » à l'œil n'est pas pour autant fixée par une seule longueur.

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Exercices

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