On résout ensemble

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

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Six questions, une par geste du cours : deux isocèles emboîtés, l'octogone et ses demi-carrés, la diagonale à 30∘30^\circ, l'hexagone compté en triangles, Pythagore dans un cube, et deux isocèles à comparer.

Chacune se résout avec vous : à chaque pas, on vous propose deux ou trois gestes. Un mauvais choix vous dit pourquoi il ne marche pas, et vous laisse rejouer. Le bon fait apparaître la ligne de calcul, puis le pas suivant.

Avant de cliquer, dites votre choix à voix basse. C'est l'écart entre votre réflexe et le bon geste qui vous apprend quelque chose. Après chaque question, faites sa jumelle, en bas de page, seul.

1 — Un isocèle en cache un autre

108°?ABCD

Votre jumelle : la première question de la liste, en bas de page.

2 — L'octogone et ses quatre coins

2

Votre jumelle : la deuxième question de la liste.

3 — La diagonale qui fait 30°

Votre jumelle : la troisième question. Attention, l'angle a changé de côté.

4 — L'hexagone dans sa boîte

Votre jumelle : la quatrième question, un triangle dans l'hexagone.

5 — Pythagore deux fois, dans un cube

4ABCDEFGH

Votre jumelle : la cinquième question, dans un pavé.

6 — Deux isocèles face à face

Votre jumelle : la sixième question. Ne devinez pas : calculez.

Si vos six jumelles tombent juste, passez aux séries. Elles reprennent ces gestes avec d'autres habillages, et les combinent comme le fait l'examen.

Exercices

Exercice 1

100°?ABCD

Dans le triangle ABCABC, AB=ACAB = AC et BAC^=100∘\widehat{BAC} = 100^\circ. Le point DD est sur BCBC, et AD=BDAD = BD. Que vaut ADC^\widehat{ADC} ?

  1. 100∘100^\circ
  2. 80∘80^\circ
  3. 40∘40^\circ
  4. 60∘60^\circ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 80∘80^\circ

Corrigé :

B^=C^=180∘−100∘2=40∘\begin{aligned}\widehat{B} &= \widehat{C} \\ &= \dfrac{180^\circ - 100^\circ}{2} \\ &= 40^\circ\end{aligned}

les angles à la base de ABC

AD=BD ⇒ BAD^=40∘\begin{aligned}AD &= BD \ \Rightarrow\ \widehat{BAD} \\ &= 40^\circ\end{aligned}

le deuxième isocèle, de sommet D

ADC^=40∘+40∘=80∘\begin{aligned}\widehat{ADC} &= 40^\circ + 40^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

l'angle extérieur du triangle ABD

La bonne réponse : « 80∘80^\circ ». « 40∘40^\circ » est l'angle à la base, et « 100∘100^\circ » est ADB^\widehat{ADB}, l'angle voisin de celui qu'on cherche.

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Exercice 2

4

Un octogone régulier a des côtés de 44. Quelle est son aire ?

  1. 48+32248 + 32\sqrt{2}
  2. 32+16232 + 16\sqrt{2}
  3. 32+32232 + 32\sqrt{2}
  4. 6464
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 32+32232 + 32\sqrt{2}

Corrigé :

42=22\dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}

le côté d'un coin, demi-carré d'hypoténuse 4

L=4+42L = 4 + 4\sqrt{2}

le côté du carré qui entoure l'octogone

(4+42)2−4×(22)22=48+322−16(4 + 4\sqrt{2})^2 - 4 \times \dfrac{(2\sqrt{2})^2}{2} = 48 + 32\sqrt{2} - 16

le carré, moins quatre coins d'aire 4

32+32232 + 32\sqrt{2}

l'aire de l'octogone

La bonne réponse : « 32+32232 + 32\sqrt{2} ». « 48+32248 + 32\sqrt{2} » est l'aire du carré entier, sans les coins retirés.

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Exercice 3

60°8ABCD

Dans le rectangle ABCDABCD, la diagonale ACAC mesure 88 et fait un angle de 60∘60^\circ avec le côté ABAB. Quelle est l'aire du rectangle ?

  1. 32332\sqrt{3}
  2. 16316\sqrt{3}
  3. 1616
  4. 3232
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 16316\sqrt{3}

Corrigé :

AB=82=4\begin{aligned}AB &= \dfrac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

AB fait face à l'angle en C, qui vaut 30°

BC=43BC = 4\sqrt{3}

BC fait face à l'angle de 60°

4×43=1634 \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}

l'aire

La bonne réponse : « 16316\sqrt{3} ». Attention au sens : l'angle de 60∘60^\circ est en AA, donc c'est ABAB, le côté adjacent, qui vaut la moitié de la diagonale. « 32332\sqrt{3} » oublie cette moitié.

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Exercice 4

ABCDEF

Dans l'hexagone régulier ABCDEFABCDEF, on trace le triangle ACEACE en reliant un sommet sur deux. Quelle fraction de l'aire de l'hexagone ce triangle occupe-t-il ?

  1. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. 12\dfrac{1}{2}
  3. 13\dfrac{1}{3}
  4. 23\dfrac{2}{3}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B 12\dfrac{1}{2}

Corrigé :

hexagone=6△\text{hexagone} = 6 \triangle

six équilatéraux autour du centre

AABC=12a2sin⁡120∘=a234=1△\begin{aligned}\mathcal{A}_{ABC} &= \tfrac{1}{2} a^2 \sin 120^\circ \\ &= \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \\ &= 1 \triangle\end{aligned}

chaque triangle retiré, comme ABC, a l'aire d'un équilatéral entier

6−3=3 ⇒ 36=12\begin{aligned}6 - 3 &= 3 \ \Rightarrow\ \dfrac{3}{6} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}

ACE contient trois équilatéraux sur six

La bonne réponse : « 12\dfrac{1}{2} ». Chacun des trois triangles retirés, comme ABCABC, a deux côtés aa et un angle de 120∘120^\circ : son aire égale celle d'un équilatéral. Il en reste trois sur six. « 13\dfrac{1}{3} » oublie que le triangle central couvre le centre.

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Exercice 5

Un pavé droit mesure 22 sur 33 sur 66. Quelle est la longueur de sa grande diagonale, qui relie deux sommets opposés ?

  1. 1111
  2. 45\sqrt{45}
  3. 77
  4. 13\sqrt{13}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 77

Corrigé :

22+32=132^2 + 3^2 = 13

le carré de la diagonale du fond

13+62=4913 + 6^2 = 49

Pythagore une seconde fois, avec la hauteur

49=7\sqrt{49} = 7

la grande diagonale

La bonne réponse : « 77 ». « 1111 » additionne les trois arêtes, « 13\sqrt{13} » s'arrête à la diagonale du fond, et « 45\sqrt{45} » oublie l'arête 22.

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Exercice 6

25142540ABCDEF

Le triangle ABCABC a des côtés 2525, 2525 et 1414. Le triangle DEFDEF a des côtés 2525, 2525 et 4040. Lequel a la plus grande aire ?

  1. On ne peut pas le savoir
  2. ABCABC
  3. Les deux ont la même aire
  4. DEFDEF
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D DEFDEF

Corrigé :

252−72=24 ⇒ AABC=14×242=168\begin{aligned}\sqrt{25^2 - 7^2} &= 24 \ \Rightarrow\ \mathcal{A}_{ABC} \\ &= \dfrac{14 \times 24}{2} \\ &= 168\end{aligned}

demi-base 7 : le triplet 7-24-25

252−202=15 ⇒ ADEF=40×152=300\begin{aligned}\sqrt{25^2 - 20^2} &= 15 \ \Rightarrow\ \mathcal{A}_{DEF} \\ &= \dfrac{40 \times 15}{2} \\ &= 300\end{aligned}

demi-base 20 : le triplet 15-20-25

300>168300 > 168

la comparaison

La bonne réponse : « DEFDEF ». Cette fois, les demi-triangles ne sont pas les mêmes : 7-24-25 d'un côté, 15-20-25 de l'autre. « Les deux ont la même aire » est le réflexe de la question guidée : il faut refaire le calcul à chaque fois.

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Exercice 7

120°?ABCD

Dans le triangle ABCABC, AB=ACAB = AC et BAC^=120∘\widehat{BAC} = 120^\circ. Le point DD est sur BCBC, et AD=BDAD = BD. Que vaut ADC^\widehat{ADC}, en degrés ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

B^=C^=180∘−120∘2=30∘\begin{aligned}\widehat{B} &= \widehat{C} \\ &= \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} \\ &= 30^\circ\end{aligned}

le premier isocèle

AD=BD ⇒ BAD^=30∘\begin{aligned}AD &= BD \ \Rightarrow\ \widehat{BAD} \\ &= 30^\circ\end{aligned}

le deuxième isocèle, de sommet D

ADC^=30∘+30∘=60∘\begin{aligned}\widehat{ADC} &= 30^\circ + 30^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

l'angle extérieur du triangle ABD

60∘60^\circ. Le piège : répondre 120∘120^\circ, qui est ADB^\widehat{ADB}, l'angle voisin. Chaque paire de longueurs égales rapporte un angle.

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Exercice 8

310

Dans un carré de côté 1010, on coupe à chaque coin un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l'angle droit mesurent 33. Quelle est l'aire de l'octogone qui reste ?

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Réponse : 82

Corrigé :

3×32=4,5\dfrac{3 \times 3}{2} = 4{,}5

l'aire d'un coin : un demi-carré

10×10−4×4,5=100−18=82\begin{aligned}10 \times 10 - 4 \times 4{,}5 &= 100 - 18 \\ &= 82\end{aligned}

le carré moins quatre coins

8282. Le piège : retirer 4×9=364 \times 9 = 36, comme si chaque coin était un carré entier. Un coin n'en est que la moitié.

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Exercice 9

60°6?ABCD

Dans le rectangle ABCDABCD, la diagonale ACAC mesure 66 et fait un angle de 60∘60^\circ avec le côté ABAB. Alors AB=3AB = 3.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

ACB^=90∘−60∘=30∘\begin{aligned}\widehat{ACB} &= 90^\circ - 60^\circ \\ &= 30^\circ\end{aligned}

le troisième angle du triangle ABC

AB=62=3\begin{aligned}AB &= \dfrac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

AB fait face à l'angle de 30°

Vrai. L'angle de 60∘60^\circ est en AA : le côté qui lui fait face est BC=33BC = 3\sqrt{3}, et c'est ABAB, adjacent, qui vaut la moitié de la diagonale.

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Exercice 10

ABCDEF

L'hexagone régulier ABCDEFABCDEF a une aire de 3030. Quelle est l'aire du triangle ACEACE ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

hexagone=6△\text{hexagone} = 6 \triangle

six équilatéraux autour du centre

ABC=CDE=EFA=1△\begin{aligned}ABC &= CDE \\ &= EFA \\ &= 1 \triangle\end{aligned}

chaque coin retiré a l'aire d'un équilatéral

ACE=6−3=3△=302=15\begin{aligned}ACE &= 6 - 3 \\ &= 3 \triangle \\ &= \dfrac{30}{2} \\ &= 15\end{aligned}

la moitié de l'hexagone

1515. Le piège : 1010, comme si ACEACE occupait un tiers. Il couvre le centre : trois équilatéraux sur six.

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Exercice 11

10121016ABCDEF

Le triangle ABCABC a des côtés 1010, 1010 et 1212. Le triangle DEFDEF a des côtés 1010, 1010 et 1616. Les deux triangles ont la même aire.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

102−62=8 ⇒ 12×82=48\begin{aligned}\sqrt{10^2 - 6^2} &= 8 \ \Rightarrow\ \dfrac{12 \times 8}{2} \\ &= 48\end{aligned}

demi-base 6 : le triplet 6-8-10

102−82=6 ⇒ 16×62=48\begin{aligned}\sqrt{10^2 - 8^2} &= 6 \ \Rightarrow\ \dfrac{16 \times 6}{2} \\ &= 48\end{aligned}

demi-base 8 : le même triplet, retourné

Vrai. Les deux isocèles sont faits des mêmes demi-triangles 6-8-10, posés une fois debout, une fois couchés.

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