Série 5 — Le niveau de l'examen · Triangles · Psychométriques

Une série, dix questions, dix minutes : une minute par question, le rythme de l'examen. Lancez le chrono, répondez aux dix questions sans ouvrir un seul corrigé, puis corrigez toute la série d'un coup et notez votre score sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : reprenez le corrigé de chaque question manquée et nommez le piège qui vous a pris. Cinq ou moins : retournez au cours avant de poursuivre.

Le réflexe de la série : cherchez d'abord ce que l'énoncé impose sans le dire — un pied de hauteur au milieu, deux tangentes égales, deux triangles égaux, une borne par l'inégalité triangulaire. Le calcul vient ensuite, et il est court.

Exercices

Exercice 1

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ , et $CA = 12$ . Le carré $CDEF$ , de côté $4$ , a son sommet $D$ sur $CA$ , son sommet $F$ sur $CB$ et son sommet $E$ sur l'hypoténuse $AB$ . Que vaut $CB$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$2$
$8$
$\frac{8}{3}$
$6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $6$

Corrigé :

\triangle ADE \sim \triangle ACB

DE ∥ CB : l'angle A commun, un angle droit en D et en C

\begin{aligned}\frac{AD}{AC} &= \frac{DE}{CB} \Rightarrow \frac{12 - 4}{12} \\ &= \frac{4}{CB}\end{aligned}

\begin{aligned}CB &= \frac{4 \times 12}{8} \\ &= 6\end{aligned}

La bonne réponse : « $6$ ». « $\frac{8}{3}$ » apparie mal les côtés : $\frac{AD}{AC} = \frac{CB}{DE}$ . « $8$ » prend $CB$ égal à $AD = 12 - 4$ , comme si le triangle était isocèle. « $2$ » est $FB$ : il faut encore y ajouter le côté du carré.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

$ABCD$ est un losange d'aire $S$ . $M$ est sur $BA$ et $N$ sur $BC$ , avec $BM = BN$ ; $P$ est sur $DA$ et $Q$ sur $DC$ , avec $DP = DQ = BM$ . On retire du losange les triangles $MBN$ et $PDQ$ , et il reste une aire de $\frac{8S}{9}$ . Que vaut le rapport $\frac{BM}{BA}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{\sqrt{2}}{6}$
$\frac{1}{9}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{1}{3}$

Corrigé :

\begin{aligned}S_{MBN} &= \frac{1}{2}\left(S - \frac{8S}{9}\right) \\ &= \frac{S}{18}\end{aligned}

les deux coins ont la même aire

\begin{aligned}\triangle MBN \sim \triangle ABC \\ \quad \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} &= \frac{S/18}{S/2} \\ &= \frac{1}{9}\end{aligned}

BM = BN et BA = BC : MN ∥ AC

\begin{aligned}\frac{BM}{BA} &= \sqrt{\frac{1}{9}} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{1}{3}$ ». « $\frac{1}{9}$ » prend le rapport des aires pour le rapport des côtés, sans racine. « $\frac{\sqrt{2}}{6}$ » compare le coin au losange entier, $\sqrt{\frac{1}{18}}$ , au lieu du demi-losange $ABC$ auquel il est semblable. « $\frac{2}{3}$ » est $\frac{MA}{BA}$ , l'autre morceau du côté.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Dans un triangle, les hauteurs relatives aux côtés $a$ , $b$ et $c$ sont dans le rapport $2 : 3 : 4$ . Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

$a : b : c = 6 : 4 : 3$
$a : b : c = 2 : 3 : 4$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$a : b : c = 4 : 3 : 2$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $a : b : c = 6 : 4 : 3$

Corrigé :

\begin{aligned}a \cdot h_a &= b \cdot h_b \\ &= c \cdot h_c \\ &= 2S\end{aligned}

l'aire S, écrite avec chacun des trois côtés

\begin{aligned}a : b : c &= \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} \\ &= 6 : 4 : 3\end{aligned}

on multiplie les trois inverses par 12

La bonne réponse : « $a : b : c = 6 : 4 : 3$ ». « $a : b : c = 2 : 3 : 4$ » fait suivre aux côtés le rapport des hauteurs : le côté le plus long a la hauteur la plus courte. « $a : b : c = 4 : 3 : 2$ » renverse l'ordre sans prendre les inverses : $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$ ne vaut pas $4 : 3 : 2$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'il faut l'aire : elle se simplifie dans le rapport.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Les diagonales du quadrilatère $ABCD$ sont perpendiculaires et se coupent en $O$ , et $AC = 18$ . L'aire du triangle $ABD$ est le double de celle du triangle $CBD$ . Que vaut $AO$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$12$
$36 - 18\sqrt{2}$
$9$
$6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $12$

Corrigé :

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{BD \cdot AO}{2} \\ \quad S_{CBD} &= \frac{BD \cdot OC}{2}\end{aligned}

même base BD ; les hauteurs sont AO et OC, car AC ⊥ BD

AO = 2\,OC

\begin{aligned}AO + OC &= 18 \Rightarrow 3\,OC \\ &= 18 \Rightarrow AO \\ &= 12\end{aligned}

La bonne réponse : « $12$ ». « $36 - 18\sqrt{2}$ » traite les deux triangles comme semblables et prend le rapport des longueurs égal à $\sqrt{2}$ : ils ont la même base, et le rapport des aires est celui des hauteurs, sans racine. « $9$ » fait de $O$ le milieu de $AC$ . « $6$ » est $OC$ , l'autre morceau.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

Les droites $\ell$ et $m$ sont parallèles. Le point $A$ est sur $\ell$ , les points $B$ et $C$ sur $m$ , et $AB = AC$ . Le point $F$ est sur $\ell$ , du même côté de $A$ que $C$ , et $\widehat{FAB} = \beta$ . Que vaut $\widehat{BAC}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$360^\circ - 2\beta$
$90^\circ - \frac{\beta}{2}$
$2\beta - 180^\circ$
$180^\circ - \beta$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $2\beta - 180^\circ$

Corrigé :

\widehat{ABC} = 180^\circ - \beta

ℓ ∥ m : angles intérieurs du même côté de la sécante AB, supplémentaires

\begin{aligned}\widehat{ACB} &= \widehat{ABC} \\ &= 180^\circ - \beta\end{aligned}

AB = AC

\begin{aligned}\widehat{BAC} &= 180^\circ - 2(180^\circ - \beta) \\ &= 2\beta - 180^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $2\beta - 180^\circ$ ». « $180^\circ - \beta$ » s'arrête à l'angle à la base $\widehat{ABC}$ . « $360^\circ - 2\beta$ » additionne les deux angles à la base sans les retrancher de $180^\circ$ . « $90^\circ - \frac{\beta}{2}$ » prend $180^\circ - \beta$ pour l'angle au sommet du triangle isocèle, alors que c'est un angle à la base.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Dans le triangle $ABC$ , $AB = AC$ , et $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ . Le point $D$ est sur le prolongement de $BC$ au-delà de $C$ , avec $CD = BC$ . On donne $BD = s$ et $AH = h$ . Quelle est l'aire du triangle $AHC$ ?

$\frac{sh}{2}$
$\frac{sh}{4}$
$\frac{sh}{8}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\frac{sh}{8}$

Corrigé :

\begin{aligned}BC &= \frac{BD}{2} \\ &= \frac{s}{2}\end{aligned}

C est le milieu de BD

\begin{aligned}HC &= \frac{BC}{2} \\ &= \frac{s}{4}\end{aligned}

AB = AC : la hauteur tombe au milieu de la base

\begin{aligned}S_{AHC} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{s}{4} \cdot h \\ &= \frac{sh}{8}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{sh}{8}$ ». « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » ne voit pas le pied de la hauteur au milieu de $BC$ : c'est l'égalité $AB = AC$ qui le place. « $\frac{sh}{4}$ » prend $HC$ égal à $BC$ tout entier. « $\frac{sh}{2}$ » est l'aire du grand triangle $ABD$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Dans le quadrilatère $ABCD$ , $AB = 3$ , $BC = 4$ , $CD = 5$ et $DA = 9$ . La diagonale $AC$ a une longueur entière. Combien de valeurs peut-elle prendre ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $2$

Corrigé :

1 < AC < 7

inégalité triangulaire dans le triangle ABC

4 < AC < 14

inégalité triangulaire dans le triangle ACD

4 < AC < 7 \Rightarrow AC \in \{5, 6\}

les deux conditions à la fois

La bonne réponse : « $2$ ». « $5$ » ne regarde que le triangle $ABC$ : $AC$ de $2$ à $6$ . « $9$ » ne regarde que le triangle $ACD$ : de $5$ à $13$ . « $3$ » garde une borne, $4$ ou $7$ , que l'inégalité stricte exclut.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Deux cercles, de centres $O_1$ et $O_2$ et de rayons $r$ et $R$ , avec $r < R$ , sont du même côté d'une droite $d$ , tangente au premier en $T_1$ et au second en $T_2$ . La droite $O_1O_2$ coupe $d$ au point $P$ , et $O_1O_2 = c$ . Que vaut $PO_1$ ?

$\frac{rc}{R - r}$
$\frac{rc}{R + r}$
$\frac{Rc}{R - r}$
$\frac{c}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{rc}{R - r}$

Corrigé :

O_1T_1 \perp d,\quad O_2T_2 \perp d \Rightarrow O_1T_1 \parallel O_2T_2

chaque rayon est perpendiculaire à la tangente en son point de contact

\triangle PO_1T_1 \sim \triangle PO_2T_2 \Rightarrow \frac{PO_1}{PO_2} = \frac{r}{R}

\begin{aligned}\frac{PO_1}{PO_1 + c} &= \frac{r}{R} \Rightarrow PO_1 \\ &= \frac{rc}{R - r}\end{aligned}

P est au-delà du petit cercle

La bonne réponse : « $\frac{rc}{R - r}$ ». « $\frac{rc}{R + r}$ » place $P$ entre les deux centres : $P$ est au-delà du petit cercle, et $PO_2 = PO_1 + c$ . « $\frac{Rc}{R - r}$ » est $PO_2$ , la distance au grand centre. « $\frac{c}{2}$ » prend le milieu de $O_1O_2$ , une proportion lue sur le dessin.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $a$ , de base $BC$ . Le point $D$ est sur $AB$ , avec $BD = p$ ; la parallèle à $AC$ menée par $D$ coupe $BC$ en $E$ . Le point $F$ est sur $AC$ , avec $CF = q$ ; la parallèle à $AB$ menée par $F$ coupe $BC$ en $G$ . On sait que $p + q > a$ . Que vaut $GE$ ?

$a - q$
$p + q$
$p + q - a$
$a - p - q$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $p + q - a$

Corrigé :

\triangle DBE \text{ équilatéral} \Rightarrow BE = p

DE ∥ AC : le petit triangle a les angles du grand

\triangle FGC \text{ équilatéral} \Rightarrow GC = q

FG ∥ AB

\begin{aligned}BE + GC &= BC + GE \Rightarrow GE \\ &= p + q - a\end{aligned}

les deux bases se chevauchent sur GE, compté deux fois

La bonne réponse : « $p + q - a$ ». « $a - p - q$ » retranche les deux longueurs du côté, comme si les deux petits triangles ne se chevauchaient pas : c'est un nombre négatif ici. « $p + q$ » additionne les deux bases sans retrancher le côté entier. « $a - q$ » est $BG$ , la distance de $B$ à $G$ , et non le segment commun.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Les points $A$ , $B$ et $C$ sont sur un cercle de centre $O$ , avec $AB = AC$ et $\widehat{BAC} = \alpha$ , où $\alpha < 90^\circ$ . Que vaut $\widehat{ABO}$ ?

$\frac{\alpha}{2}$
$2\alpha$
$90^\circ - \frac{\alpha}{2}$
$90^\circ - \alpha$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{\alpha}{2}$

Corrigé :

\widehat{BOC} = 2\alpha

angle au centre, double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc

\begin{aligned}\widehat{OBC} &= \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

OB = OC : triangle isocèle

\begin{aligned}\widehat{ABC} &= \frac{180^\circ - \alpha}{2} \\ &= 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

AB = AC

\begin{aligned}\widehat{ABO} &= \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) - (90^\circ - \alpha) \\ &= \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

O est dans le triangle : ses trois angles sont aigus

La bonne réponse : « $\frac{\alpha}{2}$ ». « $90^\circ - \alpha$ » s'arrête à l'angle à la base du triangle $OBC$ , sans le retrancher de $\widehat{ABC}$ . « $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ » est l'angle $\widehat{ABC}$ tout entier. « $2\alpha$ » est l'angle au centre $\widehat{BOC}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev