Série 4 — Nécessairement, et en lettres · Triangles · Psychométriques

Une série, dix questions, dix minutes : une minute par question, le rythme de l'examen. Lancez le chrono, répondez aux dix questions sans ouvrir un seul corrigé, puis corrigez toute la série d'un coup et notez votre score sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : reprenez le corrigé de chaque question manquée et nommez le piège qui vous a pris. Cinq ou moins : retournez au cours avant de poursuivre.

Le réflexe de la série : pour une réponse en lettres, essayez des nombres. Donnez aux lettres des valeurs simples qui respectent l'énoncé, calculez, et gardez la seule option qui donne le même nombre. Pour un « nécessairement », cherchez un triangle permis qui fait tomber chaque affirmation.

Exercices

Exercice 1

Dans le triangle $ABC$ , l'angle $\widehat{C}$ est obtus. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$AB > AC + BC$
$AC > BC$
$\widehat{A} < 45^\circ$
$AB$ est le plus grand côté

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $AB$ est le plus grand côté

Corrigé :

\widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ - \widehat{C} < 90^\circ

les deux autres angles sont aigus, donc plus petits que C

\widehat{C} > \widehat{A},\ \widehat{C} > \widehat{B} \Rightarrow AB > BC,\ AB > AC

le plus grand angle fait face au plus grand côté

La bonne réponse : « $AB$ est le plus grand côté ». Au plus un angle d'un triangle n'est pas aigu, et c'est le plus grand. « $\widehat{A} < 45^\circ$ » partage en deux parts égales ce qui reste aux deux autres angles : $50^\circ$ , $10^\circ$ , $120^\circ$ le dément. « $AC > BC$ » dépend des angles en $A$ et en $B$ , que l'énoncé ne compare pas. « $AB > AC + BC$ » croit qu'un angle obtus allonge le côté opposé au-delà de la somme des deux autres : l'inégalité triangulaire l'interdit.

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Exercice 2

$ABCD$ est un quadrilatère convexe. Les triangles $ABC$ et $ABD$ ont la même aire. Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$ABCD$ est un parallélogramme
Les triangles $ACD$ et $BCD$ ont la même aire
$AC = BD$
$AD = BC$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B Les triangles $ACD$ et $BCD$ ont la même aire

Corrigé :

S_{ABC} = S_{ABD} \Rightarrow CD \parallel AB

même base AB, même aire, et C et D du même côté de AB, puisque le quadrilatère est convexe

d(A, CD) = d(B, CD)

deux points d'une parallèle à CD sont à la même distance de CD

S_{ACD} = S_{BCD}

même base CD, même hauteur

La bonne réponse : « Les triangles $ACD$ et $BCD$ ont la même aire ». « $ABCD$ est un parallélogramme » demande en plus $AB = CD$ : on n'a qu'un trapèze. « $AC = BD$ » et « $AD = BC$ » décrivent un trapèze isocèle, un cas particulier qu'une figure symétrique suggère, jamais imposé.

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Exercice 3

Sur la figure, $d_1 \parallel d_2$ et $e_1 \parallel e_2$ . La droite $e_1$ fait un angle de $72^\circ$ avec $d_2$ , et la sécante $s$ un angle de $48^\circ$ avec $e_2$ , comme indiqué. Que vaut l'angle $x$ , entre $s$ et $d_2$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$120^\circ$
$108^\circ$
$24^\circ$
$60^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $60^\circ$

Corrigé :

72^\circ

l'angle entre e₁ et d₁, au sommet du triangle formé par s, d₁ et e₁ : le correspondant de l'angle donné, car d₁ ∥ d₂

48^\circ

l'angle entre s et e₁ : le correspondant de l'angle donné, car e₁ ∥ e₂

180^\circ - 72^\circ - 48^\circ = 60^\circ

le troisième angle du triangle, entre s et d₁

x = 60^\circ

x est son correspondant, entre s et d₂

La bonne réponse : « $60^\circ$ ». « $120^\circ$ » est l'angle extérieur du triangle, $72^\circ + 48^\circ$ , et non le correspondant de l'angle intérieur. « $24^\circ$ » fait une simple différence, $72^\circ - 48^\circ$ . « $108^\circ$ » recopie le supplémentaire de $72^\circ$ , sans passer par le triangle.

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Exercice 4

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , et $AD$ est sa hauteur relative à l'hypoténuse. On donne $AB = c$ et $BD = p$ . Que vaut $BC$ ?

$\frac{c^2}{p}$
$\frac{c^2}{p} - p$
$\frac{p^2}{c}$
$\sqrt{c^2 - p^2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{c^2}{p}$

Corrigé :

\triangle DBA \sim \triangle ABC

un angle droit chacun, et l'angle B commun

\begin{aligned}\frac{BD}{BA} &= \frac{BA}{BC} \Rightarrow BC \\ &= \frac{c^2}{p}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{c^2}{p}$ ». « $\sqrt{c^2 - p^2}$ » est la hauteur $AD$ , par Pythagore dans le triangle $ABD$ . « $\frac{c^2}{p} - p$ » est $DC$ : il y manque le morceau $BD$ . « $\frac{p^2}{c}$ » apparie mal les côtés : $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{BA}$ .

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Exercice 5

Le cercle inscrit dans le triangle $ABC$ touche le côté $AB$ en $P$ . On note $BC = a$ , $CA = b$ et $AB = c$ . Que vaut $AP$ ?

$\frac{b + c - a}{2}$
$\frac{a + b - c}{2}$
$\frac{a + c - b}{2}$
$\frac{c}{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{b + c - a}{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}AP &= AQ \\ &= x \\ \quad BP &= BR \\ &= y \\ \quad CQ &= CR \\ &= z\end{aligned}

Q et R : les points de contact sur CA et sur BC ; deux tangentes issues d'un même point sont égales

\begin{aligned}x + y &= c \\ \quad y + z &= a \\ \quad z + x &= b\end{aligned}

\begin{aligned}2x &= b + c - a \Rightarrow x \\ &= \frac{b + c - a}{2}\end{aligned}

on ajoute la première et la troisième égalité, et on retranche la deuxième

La bonne réponse : « $\frac{b + c - a}{2}$ ». « $\frac{c}{2}$ » place $P$ au milieu de $AB$ , ce qui n'arrive que si $CA = CB$ . « $\frac{a + c - b}{2}$ » est $BP$ , le segment de tangente issu de $B$ . « $\frac{a + b - c}{2}$ » est le segment de tangente issu de $C$ .

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Exercice 6

Dans le triangle $ABC$ , $AB = 15$ et $AC = 10$ . Le point $D$ est sur $AB$ et le point $E$ sur $AC$ , avec $AD = 4$ et $\widehat{ADE} = \widehat{ACB}$ . Quelle fraction de l'aire du triangle $ABC$ l'aire du triangle $ADE$ représente-t-elle ?

$\frac{2}{5}$
$\frac{16}{225}$
$\frac{4}{21}$
$\frac{4}{25}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{4}{25}$

Corrigé :

\triangle ADE \sim \triangle ACB

l'angle A commun et l'angle en D égal à l'angle en C : D correspond à C, E à B

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AC} \\ &= \frac{4}{10} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

AD et AC font face aux angles égaux en E et en B

\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ACB}} &= k^2 \\ &= \frac{4}{25}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{4}{25}$ ». « $\frac{2}{5}$ » prend le rapport des aires égal au rapport des côtés : il faut l'élever au carré. « $\frac{16}{225}$ » associe $AD$ à $AB$ , les côtés posés sur la même droite : $\left(\frac{4}{15}\right)^2$ . Les sommets se correspondent par les angles, et $D$ correspond à $C$ . « $\frac{4}{21}$ » compare le petit triangle au quadrilatère $DBCE$ qui reste, et non au triangle entier.

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Exercice 7

Dans le trapèze $ABCD$ , $AB \parallel DC$ , $AB = a$ et $DC = b$ . Le point $P$ est sur $AB$ . Quelle fraction de l'aire du trapèze l'aire du triangle $DPC$ représente-t-elle ?

$\frac{b}{a + b}$
$\frac{1}{2}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$\frac{b^2}{(a + b)^2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{b}{a + b}$

Corrigé :

S_{DPC} = \frac{b h}{2}

h : la hauteur du trapèze, qui est aussi celle du triangle

S_{ABCD} = \frac{(a + b) h}{2}

\frac{S_{DPC}}{S_{ABCD}} = \frac{b}{a + b}

La bonne réponse : « $\frac{b}{a + b}$ ». « $\frac{1}{2}$ » applique la règle du parallélogramme, où un tel triangle occupe la moitié : elle ne vaut que pour $a = b$ . « $\frac{b^2}{(a + b)^2}$ » élève au carré, comme pour des figures semblables. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » cherche la hauteur et la place de $P$ : ni l'une ni l'autre ne compte.

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Exercice 8

$ABCD$ est un parallélogramme, avec $AB = x + y$ et $AD = x$ . Le point $E$ est sur $DC$ , et $EC = y$ . On donne $\widehat{ADC} = 64^\circ$ . Que vaut $\widehat{AEC}$ ?

$116^\circ$
$58^\circ$
$122^\circ$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $122^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}DE &= (x + y) - y \\ &= x \\ &= DA\end{aligned}

DC = AB dans un parallélogramme : le triangle ADE est isocèle en D

\begin{aligned}\widehat{DEA} &= \frac{180^\circ - 64^\circ}{2} \\ &= 58^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}\widehat{AEC} &= 180^\circ - 58^\circ \\ &= 122^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $122^\circ$ ». « $58^\circ$ » est l'angle $\widehat{DEA}$ , le supplémentaire de l'angle demandé. « $116^\circ$ » est l'angle $\widehat{DAB}$ du parallélogramme, $180^\circ - 64^\circ$ : il ne regarde pas le point $E$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » ne voit pas le triangle isocèle : $x$ et $y$ s'éliminent.

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Exercice 9

Dans le quadrilatère $ABCD$ , $AB = 2$ , $BC = 3$ , $CD = 9$ et $DA = 8$ (la figure n'est pas à l'échelle). Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

$AC = BD$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$AC > BD$
$AC < BD$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $AC < BD$

Corrigé :

AC < AB + BC = 5

inégalité triangulaire dans le triangle ABC

BD > CD - BC = 6

inégalité triangulaire dans le triangle BCD

AC < 5 < 6 < BD

La bonne réponse : « $AC < BD$ ». « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'un quadrilatère quelconque ne fixe rien : chaque diagonale coupe deux triangles, et l'inégalité triangulaire la borne dans chacun. « $AC > BD$ » regarde l'autre triangle, $ACD$ , où $AC$ pourrait approcher $17$ : seule la borne la plus stricte compte. « $AC = BD$ » prête au quadrilatère les diagonales égales d'un rectangle ou d'un trapèze isocèle.

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Exercice 10

Un cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est tangent en $T$ à la droite $d$ . Le point $A$ est sur $d$ , avec $AT = a$ . La perpendiculaire à $OA$ menée par $O$ coupe $d$ au point $B$ , de l'autre côté de $T$ . Que vaut $AB$ ?

$\frac{a^2 + r^2}{a}$
$\frac{r^2}{a}$
$2a$
$a + \frac{a^2}{r}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{a^2 + r^2}{a}$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{OTA} &= \widehat{OTB} \\ &= 90^\circ\end{aligned}

le rayon OT est perpendiculaire à la tangente

\begin{aligned}\widehat{TOB} &= 90^\circ - \widehat{TOA} \\ &= \widehat{TAO}\end{aligned}

\triangle OTB \sim \triangle ATO \Rightarrow \frac{TB}{TO} = \frac{TO}{TA}

O correspond à A, T à T, B à O

\begin{aligned}TB &= \frac{r^2}{a} \\ \quad AB &= a + \frac{r^2}{a} \\ &= \frac{a^2 + r^2}{a}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{a^2 + r^2}{a}$ ». « $\frac{r^2}{a}$ » s'arrête à $TB$ et oublie d'y ajouter $AT$ . « $a + \frac{a^2}{r}$ » associe $B$ à $A$ dans la similitude : les sommets se correspondent par les angles, et l'angle en $O$ du petit triangle égale l'angle en $A$ du grand. « $2a$ » fait de $T$ le milieu de $AB$ , une symétrie que rien n'impose.

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Exercices

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