Série 3 — Tangentes et triangles semblables · Triangles · Psychométriques

Une série, dix questions, dix minutes : une minute par question, le rythme de l'examen. Lancez le chrono, répondez aux dix questions sans ouvrir un seul corrigé, puis corrigez toute la série d'un coup et notez votre score sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : reprenez le corrigé de chaque question manquée et nommez le piège qui vous a pris. Cinq ou moins : retournez au cours avant de poursuivre.

Le réflexe de la série : la correspondance se fait par les angles ou par les longueurs égales, jamais par la place sur le dessin. Écrivez les deux triangles dans le même ordre de sommets avant d'écrire un seul rapport.

Exercices

Exercice 1

Dans un repère d'origine $O$ , le point $A$ est sur l'axe des abscisses, à l'abscisse $12$ , et le point $B$ sur l'axe des ordonnées, à l'ordonnée $8$ . $M$ est le milieu de $AB$ , et $P$ la projection de $M$ sur l'axe des ordonnées. $N$ est le milieu de $PA$ . Quelles sont les coordonnées de $N$ ?

$(6\,;\,4)$
$(6\,;\,2)$
$(9\,;\,0)$
$(2\,;\,6)$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $(6\,;\,2)$

Corrigé :

\begin{aligned}A &= (12\,;\,0) \\ \quad B &= (0\,;\,8) \\ \quad M &= (6\,;\,4)\end{aligned}

P = (0\,;\,4)

la projection sur l'axe des ordonnées garde l'ordonnée

\begin{aligned}N &= \left(\frac{0 + 12}{2}\,;\,\frac{4 + 0}{2}\right) \\ &= (6\,;\,2)\end{aligned}

La bonne réponse : « $(6\,;\,2)$ ». « $(2\,;\,6)$ » inverse l'abscisse et l'ordonnée. « $(6\,;\,4)$ » s'arrête au premier milieu, $M$ . « $(9\,;\,0)$ » projette $M$ sur l'axe des abscisses au lieu de celui des ordonnées : $P = (6\,;\,0)$ .

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Exercice 2

Les angles $\widehat{A}$ , $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ du triangle $ABC$ sont dans le rapport $2 : 3 : 7$ . Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?

$AB > BC + CA$
$AB < BC$
$AB < BC + CA$
$AB = BC + CA$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $AB < BC + CA$

Corrigé :

\begin{aligned}2 + 3 + 7 &= 12 \\ \quad \frac{180^\circ}{12} &= 15^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}\widehat{A} &= 30^\circ \\ \quad \widehat{B} &= 45^\circ \\ \quad \widehat{C} &= 105^\circ\end{aligned}

AB < BC + CA

l'inégalité triangulaire vaut pour tout triangle, quels que soient ses angles

La bonne réponse : « $AB < BC + CA$ ». « $AB > BC + CA$ » fait suivre aux côtés le rapport des angles, $7 > 2 + 3$ : les côtés sont rangés comme les angles, mais pas dans le même rapport, et aucun côté ne dépasse la somme des deux autres. « $AB = BC + CA$ » décrit un triangle aplati, qui n'existe pas. « $AB < BC$ » inverse l'ordre : $AB$ fait face au plus grand angle, $\widehat{C}$ , c'est le plus grand côté.

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Exercice 3

Le cercle de centre $O$ et de rayon $3$ est inscrit dans le triangle $ABC$ . Il touche $AB$ en $P$ , $BC$ en $R$ et $CA$ en $Q$ . On donne $AQ = 5$ et $BR = 7$ . Quelle est l'aire du triangle $AOB$ ?

$36$
$17{,}5$
$7{,}5$
$18$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $18$

Corrigé :

\begin{aligned}AP &= AQ \\ &= 5 \\ \quad BP &= BR \\ &= 7\end{aligned}

deux tangentes issues d'un même point sont égales

\begin{aligned}AB &= 5 + 7 \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}OP \perp AB \\ \quad OP &= 3\end{aligned}

le rayon au point de contact est la hauteur du triangle AOB

\begin{aligned}S_{AOB} &= \frac{12 \times 3}{2} \\ &= 18\end{aligned}

La bonne réponse : « $18$ ». « $7{,}5$ » prend le segment donné $AQ$ pour un côté entier : $\frac{5 \times 3}{2}$ . « $36$ » oublie de diviser par $2$ . « $17{,}5$ » multiplie les deux segments donnés comme deux côtés d'un angle droit : $\frac{5 \times 7}{2}$ .

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Exercice 4

$ABC$ est un triangle équilatéral, $M$ est le milieu de $BC$ , et $H$ est le pied de la perpendiculaire abaissée de $M$ sur $AC$ . Quelle fraction de l'aire du triangle $ABC$ l'aire du triangle $MHC$ représente-t-elle ?

$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{16}$
$\frac{1}{8}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\frac{1}{8}$

Corrigé :

AM \perp BC

dans le triangle équilatéral, la médiane AM est aussi une hauteur

\triangle MHC \sim \triangle AMC

un angle droit chacun, et l'angle C commun

\begin{aligned}k &= \frac{MC}{AC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

côtés homologues : les deux hypoténuses

\begin{aligned}\frac{S_{MHC}}{S_{AMC}} &= k^2 \\ &= \frac{1}{4} \\ \quad S_{AMC} &= \frac{1}{2}S_{ABC}\end{aligned}

\begin{aligned}S_{MHC} &= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}\,S_{ABC} \\ &= \frac{1}{8}\,S_{ABC}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\frac{1}{8}$ ». « $\frac{1}{4}$ » compare bien $MHC$ à $AMC$ , mais oublie que $AMC$ n'est que la moitié de $ABC$ . « $\frac{1}{16}$ » élève au carré le rapport $\frac{HC}{AC} = \frac{1}{4}$ , deux côtés qui ne se correspondent pas. « $\frac{1}{2}$ » prend le rapport des aires égal au rapport des côtés, $\frac{MC}{AC}$ , et oublie aussi la moitié.

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Exercice 5

Dans le parallélogramme $ABCD$ , $AB = a$ et $AD = b$ , avec $a > b$ . La bissectrice de l'angle $\widehat{DAB}$ coupe le côté $DC$ au point $E$ . Que vaut $EC$ ?

$\frac{a}{2}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$b$
$a - b$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $a - b$

Corrigé :

\widehat{DEA} = \widehat{EAB}

angles alternes-internes : DC ∥ AB

\widehat{EAB} = \widehat{DAE}

AE est la bissectrice

\begin{aligned}\widehat{DEA} &= \widehat{DAE} \Rightarrow DE \\ &= DA \\ &= b\end{aligned}

le triangle ADE est isocèle en D

\begin{aligned}EC &= DC - DE \\ &= a - b\end{aligned}

DC = AB dans un parallélogramme

La bonne réponse : « $a - b$ ». « $\frac{a}{2}$ » place $E$ au milieu de $DC$ , ce que rien n'impose. « $b$ » est $DE$ , l'autre morceau du côté. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » cherche la mesure de l'angle : le triangle isocèle $ADE$ donne $DE$ sans elle.

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Exercice 6

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ . Le carré $CDEF$ a son sommet $D$ sur $CA$ , son sommet $F$ sur $CB$ et son sommet $E$ sur l'hypoténuse $AB$ . On donne $AD = a$ et $FB = b$ . Que vaut le côté du carré ?

$\sqrt{a^2 + b^2}$
$ab$
$\frac{ab}{a + b}$
$\sqrt{ab}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $\sqrt{ab}$

Corrigé :

\triangle ADE \sim \triangle EFB

un angle droit chacun ; DE ∥ CB, donc l'angle en A du premier égale l'angle FEB du second

\begin{aligned}\frac{AD}{EF} &= \frac{DE}{FB} \Rightarrow \frac{a}{c} \\ &= \frac{c}{b}\end{aligned}

c : le côté du carré ; AD et EF touchent les angles égaux

\begin{aligned}c^2 &= ab \Rightarrow c \\ &= \sqrt{ab}\end{aligned}

La bonne réponse : « $\sqrt{ab}$ ». « $\frac{ab}{a + b}$ » est la formule du carré quand $a$ et $b$ sont les côtés entiers $CA$ et $CB$ , pas les morceaux qui dépassent le carré. « $ab$ » oublie la racine : c'est le carré du côté. « $\sqrt{a^2 + b^2}$ » applique Pythagore à $a$ et $b$ , qui ne sont pas les côtés d'un même triangle rectangle.

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Exercice 7

Les diagonales du losange $ABCD$ mesurent $AC = 16$ et $BD = 12$ . $M$ et $N$ sont les milieux de $AB$ et de $AD$ , $P$ et $Q$ ceux de $CB$ et de $CD$ . On retire du losange les triangles $AMN$ et $CPQ$ . Quelle est l'aire de la partie qui reste ?

$84$
$90$
$48$
$72$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $72$

Corrigé :

\begin{aligned}S_{ABCD} &= \frac{16 \times 12}{2} \\ &= 96 \\ \quad S_{ABD} &= 48\end{aligned}

\begin{aligned}\triangle AMN \sim \triangle ABD \\ \quad k &= \frac{1}{2}\end{aligned}

MN joint deux milieux : MN ∥ BD

\begin{aligned}S_{AMN} &= \frac{1}{4} \times 48 \\ &= 12\end{aligned}

de même, CPQ vaut 12

96 - 2 \times 12 = 72

La bonne réponse : « $72$ ». « $48$ » prend le rapport des aires égal au rapport des côtés : chaque coin vaudrait la moitié de $48$ . « $84$ » ne retire qu'un seul des deux coins. « $90$ » élève deux fois au carré : des coins de $3$ , le seizième de $48$ .

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Exercice 8

Les triangles $ABC$ et $DEF$ sont égaux : $AB = DE$ , $BC = EF$ et $CA = FD$ . On donne $\widehat{B} = 50^\circ$ . Le point $P$ est sur $BA$ et le point $Q$ sur $BC$ , avec $\widehat{BPQ} = 75^\circ$ . Le point $R$ est sur $ED$ et le point $S$ sur $EF$ , avec $ER = BQ$ et $ES = BP$ . Que vaut $\widehat{DRS}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$55^\circ$
$125^\circ$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$105^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $125^\circ$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{E} &= \widehat{B} \\ &= 50^\circ\end{aligned}

les triangles sont égaux

\triangle PBQ = \triangle SER

BP = ES, BQ = ER et l'angle compris égal : P correspond à S et Q à R, en croisé

\begin{aligned}\widehat{ERS} &= \widehat{BQP} \\ &= 180^\circ - 50^\circ - 75^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

\begin{aligned}\widehat{DRS} &= 180^\circ - 55^\circ \\ &= 125^\circ\end{aligned}

R est sur le segment ED : angles supplémentaires

La bonne réponse : « $125^\circ$ ». « $105^\circ$ » fait correspondre $R$ à $P$ , parce qu'ils sont sur les côtés qui se correspondent : la correspondance suit les longueurs, et $ER = BQ$ envoie $R$ sur $Q$ . « $55^\circ$ » est l'angle intérieur $\widehat{ERS}$ , pas son supplémentaire $\widehat{DRS}$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » ne voit pas les deux petits triangles égaux.

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Exercice 9

Dans le quadrilatère $ABCD$ , $AB = AD$ et $CB = CD$ . Les diagonales se coupent en $O$ , avec $BD = 2b$ et $AC = d$ . Les triangles $ABD$ et $CBD$ ont la même aire. Que vaut $AB$ ?

$b + \frac{d}{2}$
$\sqrt{b^2 + d^2}$
$\sqrt{b^2 + \frac{d^2}{4}}$
$\sqrt{2}\,b$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\sqrt{b^2 + \frac{d^2}{4}}$

Corrigé :

\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad OB &= OD \\ &= b\end{aligned}

AC est l'axe de symétrie du cerf-volant

\begin{aligned}\frac{BD \cdot AO}{2} &= \frac{BD \cdot OC}{2} \Rightarrow AO \\ &= OC \\ &= \frac{d}{2}\end{aligned}

même base BD : les hauteurs sont AO et OC

AB = \sqrt{b^2 + \frac{d^2}{4}}

Pythagore dans le triangle AOB, rectangle en O

La bonne réponse : « $\sqrt{b^2 + \frac{d^2}{4}}$ ». « $\sqrt{2}\,b$ » cherche un rapport en racine de $2$ , comme si $AOB$ était rectangle isocèle : rien n'impose $AO = OB$ . « $\sqrt{b^2 + d^2}$ » prend toute la diagonale $AC$ pour côté du triangle $AOB$ , au lieu de sa moitié. « $b + \frac{d}{2}$ » additionne les deux côtés de l'angle droit au lieu de leurs carrés.

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Exercice 10

Les droites $\ell$ et $m$ sont parallèles. Les points $B$ et $C$ sont sur $m$ , le point $A$ sur $\ell$ , et $BA = BC$ . Le point $D$ est sur $m$ , de l'autre côté de $B$ par rapport à $C$ , avec $\widehat{ABD} = \alpha$ . Le point $E$ est sur $\ell$ , du même côté de $A$ que $C$ . Que vaut $\widehat{EAC}$ ?

$\frac{\alpha}{2}$
$180^\circ - \frac{\alpha}{2}$
$90^\circ - \frac{\alpha}{2}$
$180^\circ - \alpha$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\frac{\alpha}{2}$

Corrigé :

\widehat{ABC} = 180^\circ - \alpha

angles supplémentaires sur la droite m

\begin{aligned}\widehat{BAC} &= \widehat{BCA} \\ &= \frac{180^\circ - (180^\circ - \alpha)}{2} \\ &= \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

BA = BC

\begin{aligned}\widehat{EAC} &= \widehat{BCA} \\ &= \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

angles alternes-internes : ℓ ∥ m

La bonne réponse : « $\frac{\alpha}{2}$ ». « $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ » prend $\alpha$ pour l'angle au sommet du triangle isocèle, alors que c'est son supplémentaire. « $180^\circ - \alpha$ » s'arrête à l'angle au sommet $\widehat{ABC}$ . « $180^\circ - \frac{\alpha}{2}$ » prend l'angle de l'autre côté de $A$ sur $\ell$ , le supplémentaire de l'angle demandé.

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Exercices

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