Série 2 — Angles et aires · Triangles · Psychométriques

Une série, dix questions, dix minutes : une minute par question, le rythme de l'examen. Lancez le chrono, répondez aux dix questions sans ouvrir un seul corrigé, puis corrigez toute la série d'un coup et notez votre score sur dix.

Huit ou plus : la série est acquise, passez à la suivante. Six ou sept : reprenez le corrigé de chaque question manquée et nommez le piège qui vous a pris. Cinq ou moins : retournez au cours avant de poursuivre.

Le réflexe de la série : vérifiez que l'angle trouvé est bien celui qu'on demande, et non son supplémentaire ou son voisin. Pour un rapport d'aires, demandez-vous d'où il vient : de triangles semblables (on élève au carré) ou d'une même hauteur (on n'élève pas).

Exercices

Exercice 1

Dans le triangle $ABC$ , $AB = AC$ et $\widehat{BAC} = \alpha$ . On prolonge $BC$ au-delà de $C$ jusqu'au point $D$ . Que vaut $\widehat{ACD}$ , en fonction de $\alpha$ ?

$90^\circ - \frac{\alpha}{2}$
$90^\circ + \frac{\alpha}{2}$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$180^\circ - \alpha$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $90^\circ + \frac{\alpha}{2}$

Corrigé :

\begin{aligned}\widehat{B} &= \widehat{C} \\ &= \frac{180^\circ - \alpha}{2} \\ &= 90^\circ - \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

AB = AC : les angles à la base sont égaux

\begin{aligned}\widehat{ACD} &= \alpha + \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) \\ &= 90^\circ + \frac{\alpha}{2}\end{aligned}

angle extérieur en C : la somme des angles en A et en B

La bonne réponse : « $90^\circ + \frac{\alpha}{2}$ ». « $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ » est l'angle intérieur en $C$ , le supplémentaire de l'angle demandé. « $180^\circ - \alpha$ » retranche de $180^\circ$ un seul angle opposé : l'angle extérieur est la somme des deux angles opposés, $\alpha$ et l'angle en $B$ . « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » oublie que $AB = AC$ fixe les deux angles à la base dès que $\alpha$ est connu.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 10$ et $AC = 16$ . Les points $D$ et $E$ sont sur $AC$ , $D$ entre $A$ et $E$ . La partie grisée, formée des triangles $ABD$ et $BEC$ , a une aire de $50$ . Que vaut $DE$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$10$
$3{,}75$
$3$
$6$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $6$

Corrigé :

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{10 \times 16}{2} \\ &= 80\end{aligned}

\begin{aligned}S_{BDE} &= 80 - 50 \\ &= 30\end{aligned}

l'aire du triangle blanc

\begin{aligned}\frac{DE \times 10}{2} &= 30 \Rightarrow DE \\ &= 6\end{aligned}

sa hauteur est AB, comme celle des deux triangles grisés

La bonne réponse : « $6$ ». « $10$ » prend $50$ pour l'aire du triangle blanc : $\frac{2 \times 50}{10}$ . « $3$ » oublie le facteur $2$ : $\frac{30}{10}$ . « $3{,}75$ » prend $AC$ pour la hauteur du triangle blanc, $\frac{2 \times 30}{16}$ : sa hauteur est $AB$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

Dans le parallélogramme $ABCD$ , $AB = 10$ , $AD = 6\sqrt{2}$ et $\widehat{DAB} = 45^\circ$ . Quelle est l'aire du parallélogramme ?

$60\sqrt{2}$
$30$
$60$
$30\sqrt{2}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $60$

Corrigé :

\begin{aligned}DH &= \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= 6\end{aligned}

H, le pied de la hauteur issue de D : le triangle ADH est rectangle isocèle, son hypoténuse AD vaut DH fois racine de 2

\begin{aligned}S &= AB \times DH \\ &= 10 \times 6 \\ &= 60\end{aligned}

La bonne réponse : « $60$ ». « $60\sqrt{2}$ » multiplie les deux côtés, $10 \times 6\sqrt{2}$ , sans passer par la hauteur. « $30$ » applique la formule du triangle : l'aire d'un parallélogramme n'a pas de division par $2$ . « $30\sqrt{2}$ » fait les deux erreurs : le produit des côtés, puis la division par $2$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

Six triangles ont tous une base de $10$ cm. La somme de leurs aires vaut $150$ cm². Quelle est, en cm, la moyenne de leurs hauteurs relatives à cette base ?

$2{,}5$
$30$
$5$
$25$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $5$

Corrigé :

\frac{10}{2}(h_1 + h_2 + \dots + h_6) = 150

on met la demi-base en facteur

h_1 + h_2 + \dots + h_6 = 30

\frac{30}{6} = 5

La bonne réponse : « $5$ ». « $30$ » est la somme des six hauteurs : il reste à la diviser par $6$ . « $25$ » est l'aire moyenne d'un triangle, $\frac{150}{6}$ , pas sa hauteur moyenne. « $2{,}5$ » oublie le facteur $2$ de la formule de l'aire : $\frac{150}{10 \times 6}$ .

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

$ABCD$ est un trapèze isocèle : $AB \parallel DC$ et $AD = BC$ . Ses diagonales $AC$ et $BD$ se coupent en $E$ . On donne $\widehat{AED} = 100^\circ$ et $\widehat{DAC} = 65^\circ$ . Que vaut $\widehat{DAB}$ ? (La figure n'est pas à l'échelle.)

$115^\circ$
$65^\circ$
$165^\circ$
$105^\circ$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $115^\circ$

Corrigé :

\widehat{EAB} + \widehat{EBA} = 100^\circ

angle extérieur du triangle AEB en E

\begin{aligned}\widehat{EAB} &= \widehat{EBA} \\ &= 50^\circ\end{aligned}

le trapèze isocèle est symétrique

\begin{aligned}\widehat{DAB} &= 65^\circ + 50^\circ \\ &= 115^\circ\end{aligned}

La bonne réponse : « $115^\circ$ ». « $105^\circ$ » prend $100^\circ$ pour l'angle intérieur $\widehat{AEB}$ : chaque angle à la base du petit triangle vaudrait $40^\circ$ . « $165^\circ$ » ajoute l'angle des diagonales à $\widehat{DAC}$ , $65^\circ + 100^\circ$ . « $65^\circ$ » est l'angle $\widehat{ADC}$ , le supplémentaire de l'angle demandé.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

Un triangle a les mêmes angles qu'un triangle de côtés $5$ , $5$ et $6$ , et son aire vaut $48$ . Quel est son périmètre ?

$64$
$32$
On ne peut pas le savoir avec ces seules données
$16$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $32$

Corrigé :

\begin{aligned}h &= \sqrt{5^2 - 3^2} \\ &= 4 \\ \quad S &= \frac{6 \times 4}{2} \\ &= 12\end{aligned}

l'aire du triangle de départ

\begin{aligned}\frac{48}{12} &= 4 \\ &= k^2 \Rightarrow k \\ &= 2\end{aligned}

mêmes angles : les triangles sont semblables, et leurs aires sont dans le rapport k²

\begin{aligned}P &= 2 \times (5 + 5 + 6) \\ &= 32\end{aligned}

La bonne réponse : « $32$ ». « $64$ » prend le rapport des aires, $4$ , pour celui des longueurs. « $16$ » est le périmètre du triangle de départ. « On ne peut pas le savoir avec ces seules données » croit qu'une aire ne fixe pas le périmètre : ici, les angles fixent la forme, et il ne reste qu'une longueur libre, que l'aire détermine.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

Dans le triangle $ABC$ , $\widehat{A} < \widehat{C}$ et $\widehat{B} < \widehat{C}$ . Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$\widehat{A} = \widehat{B}$
$\widehat{C}$ est obtus
$\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ sont aigus
$AB < AC$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ sont aigus

Corrigé :

\widehat{A} < \widehat{C} \Rightarrow 2\widehat{A} < \widehat{A} + \widehat{C} < 180^\circ

donc A est aigu

\widehat{B} < \widehat{C} \Rightarrow 2\widehat{B} < 180^\circ

de même pour B

La bonne réponse : « $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ sont aigus ». Un triangle a au plus un angle qui n'est pas aigu, et c'est le plus grand. « $\widehat{C}$ est obtus » croit que le plus grand angle est forcément obtus : $50^\circ$ , $60^\circ$ , $70^\circ$ le dément. « $\widehat{A} = \widehat{B}$ » lit une égalité dans deux inégalités : $50^\circ$ et $60^\circ$ sont tous deux plus petits que $70^\circ$ . « $AB < AC$ » inverse la règle : $AB$ fait face au plus grand angle, $\widehat{C}$ , c'est le plus grand côté.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

Les triangles $ABC$ et $DBC$ ont la même base $BC$ et la même aire, et les points $A$ et $D$ sont du même côté de la droite $BC$ . Laquelle des affirmations suivantes est nécessairement vraie ?

$AC = BD$
$ABCD$ est un parallélogramme
$AD \parallel BC$
$AB = DC$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $AD \parallel BC$

Corrigé :

\begin{aligned}\frac{BC \cdot h_A}{2} &= \frac{BC \cdot h_D}{2} \Rightarrow h_A \\ &= h_D\end{aligned}

même base, même aire : même hauteur

AD \parallel BC

A et D sont du même côté de BC, à la même distance : ils sont sur une même parallèle à BC

La bonne réponse : « $AD \parallel BC$ ». « $ABCD$ est un parallélogramme » demande en plus $AD = BC$ , que rien n'impose : $D$ peut glisser sur la parallèle. « $AB = DC$ » et « $AC = BD$ » décrivent un trapèze isocèle, un cas particulier qu'une figure symétrique suggère, jamais imposé.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

Sur la figure, $d_1 \parallel d_2$ et $e_1 \parallel e_2$ . La sécante $s$ fait l'angle $\alpha$ avec $d_2$ et l'angle $\beta$ avec $e_2$ , comme indiqué. Que vaut l'angle $x$ ?

$\alpha + \beta$
$180^\circ - \beta$
$\beta - \alpha$
$180^\circ - \alpha - \beta$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D $180^\circ - \alpha - \beta$

Corrigé :

\alpha

l'angle entre s et d₁ : angles correspondants, d₁ ∥ d₂

\beta

l'angle entre s et e₁ : angles correspondants, e₁ ∥ e₂

x = 180^\circ - \alpha - \beta

somme des angles du triangle formé par s, d₁ et e₁

La bonne réponse : « $180^\circ - \alpha - \beta$ ». « $\alpha + \beta$ » est l'angle extérieur du triangle en ce sommet, pas l'angle intérieur $x$ . « $\beta - \alpha$ » prend le supplémentaire de $\beta$ à la place de $\beta$ : $180^\circ - \alpha - (180^\circ - \beta)$ . « $180^\circ - \beta$ » croit $x$ et $\beta$ supplémentaires, sans passer par le triangle.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ . Sa hauteur $AD$ découpe l'hypoténuse $BC$ en $BD = p$ et $DC = q$ . Que vaut $AB$ ?

$\sqrt{p(p + q)}$
$\sqrt{pq}$
$\sqrt{p^2 + q^2}$
$\sqrt{q(p + q)}$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $\sqrt{p(p + q)}$

Corrigé :

\triangle DBA \sim \triangle ABC

un angle droit chacun, et l'angle B commun

\begin{aligned}\frac{BD}{BA} &= \frac{BA}{BC} \Rightarrow AB^2 \\ &= BD \cdot BC \\ &= p(p + q)\end{aligned}

La bonne réponse : « $\sqrt{p(p + q)}$ ». « $\sqrt{q(p + q)}$ » utilise la projection voisine, $DC$ : c'est $AC$ . « $\sqrt{pq}$ » est la hauteur $AD$ . « $\sqrt{p^2 + q^2}$ » applique Pythagore à $BD$ , $DC$ et $AB$ , qui ne forment pas un triangle rectangle.

Vérifier la réponse sur elev

Exercices

La suite se pratique sur elev